湘教版2023-2024学年数学九年级期末考试试题 提升卷二（含解析）

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2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（湘教版）
（提升卷二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）正比例函数与反比例函数（k是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（本题3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的30万字累积到九年级共阅读121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
5．（本题3分）下列各组中的四条线段，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，6cm，12cm，18cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．cm，cm，cm，5cm D．5cm，2cm，3cm，6cm
6．（本题3分）如图，在中，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，，若反比例函数经过两点，则的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）中国是严重缺水的国家之一．下列关于我国水资源说法正确的有（ ）
①人均占有水量约为2400立方米；
②人均占有水量只相当于世界人均的；
③被联合国列为13个贫水国家之一；
④我国年水资源总量约为亿立方米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项． 根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）

A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有400人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若反比例函数的图象过点，则等于 ．
12．（本题3分）如图，点在反比例函数的图象上，连接，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积，则 ．
13．（本题3分）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是 ．
14．（本题3分）若一元二次方程的两个根是，则的值是 ．
15．（本题3分）已知：如图：，，求 ．
16．（本题3分）若两个相似三角形的周长之比为，则它们的面积之比为 ．
17．（本题3分）一个人从山下沿角的坡路登上山顶，共走了，那么这山的高度是 ．
18．（本题3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命 x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不少于2200小时的灯泡的数量为 只．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程：
(1)； (2)．
20．（本题8分）一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接，求的面积．
(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围．
21．（本题10分）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接．
(1)求证：．
(2)若点E为中点，，的面积为18，求的面积．
22．（本题10分）如图，等边中，边长为4，D是上动点，，

(1)求证：；
(2)当， 时，求．
23．（本题10分）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)分别以点，A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，求线段的长．
24．（本题10分）今年大德福超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
25．（本题10分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”，“重视”，“比较重视”，“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查为________调查（填“抽样”或“全面”）；
(2)求在此次调查中一共抽取了多少名学生，并补全条形统计图；
(3)若该校共有800名学生，请估计该校学生对自己视力保护的重视程度为“非常重视”的学生有多少名？
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试卷第2页，共7页
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参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，因为k的符号不明确，所以应分两种情况讨论．
【详解】解：时，函数与同在一、三象限，C选项符合；
时，函数与同在二、四象限，无此选项．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了正比例和反比例的概念；
根据乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例逐项判断即可．
【详解】解：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数的和一定，未读的页数与已读的页数不成正比例，说法错误；
②如果保持圆的半径不变，圆的周长也不变，而圆周率是定值，故圆的周长与圆周率不成正比例，说法错误；
③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例，说法正确；
④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例，说法正确；
正确说法的个数有2个，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年30万字累积到九年级共阅读121万字，建立关于x的一元二次方程：七年级人均阅读量+八年级人均阅读量+九年级人均阅读量．
【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得：．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，求出的值，即可判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根情况是解题的关键．
【详解】解：方程整理得，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
5．C
【分析】本题主要考查了比例线段．根据比例线段的概念，利用“最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等”逐项判断即可解答．
【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点，可得，根据对应边成比例可知，进而可得的坐标，代入即可得，由两角对应相等得到三角形相似是解题关键．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

，
，
，
关于原点对称，
，
为直角三角形，
，
，
，
，
把的坐标代入可得，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，过点作轴于，轴于，解直角三角形求得，，根据旋转的性质得出, ，解直角三角形求得，，即可求得的坐标，作出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于，轴于，则，
在等腰中，∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】解：∵在中，，
∴．
∴，
故选：D．
9．D
【解析】略
10．C
【分析】由播音额人数和所占的百分比可以计算出样本容量，即可判断A，由1600乘以最喜欢体育课外活动的人数所占的比例，即可判断B，由200乘以最喜欢艺术课外活动的人数所占的比例，即可判断D，由乘以喜欢科技部分的人数所占的百分比即可判断C．
【详解】解：（人），
这次调查的样本容量是200，故A选项说法正确，不符合题意；
（人），
全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有400人，故B选项说法正确，不符合题意；
（人），
被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人，故D选项说法正确，不符合题意；
，
扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是，故C选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体，读懂统计图，是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解答即可，只需把所给点的坐标代入函数即可，比较简单．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，据此可得答案．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，连接，过点作轴的垂线，垂足为，的面积，
，
图象在第二象限，
，
故答案为：．
13．或
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论．
【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则，
，
解得：，
此时原方程化为，
，即，
此时三边为，，能构成三角形，
；
若，则或，即方程有一根为，
把代入方程，得，
解得：，
此时方程为，
解得：，，
方程另一根为，
、、能构成三角形，
，综上，的值为或，
故答案为：或．
14．
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由可得，从而得到，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键.
【详解】解：根据题意可得，山的高度，
故答案为：．
18．460
【分析】本题考查利用样本估计总体，用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：（只），
即这1000只灯泡中使用寿命不少于2200小时的灯泡的数量为460，
故答案为：460．
19．(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，因式分解法．
（1）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；
（2）解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，即，
∴，
∴或，
∴．
20．(1)，
(2)12
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用：
（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得：，
∴点，
把点，点代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或．
21．(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可；
（2）先求出，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，则的面积为8，再由三角形中线平分三角形面积得到，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴的面积为8，
∵点E为中点，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．
（1）由条件可得出，可得到，且，可证得结论；
（2）利用（1）结论可得出，且，代入可求得．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
23．(1)
(2)的长为
【分析】（1）由题意可得，则点A的坐标为，代入，求出的值即可．
（2）连接，过点A作于点，由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可．
【详解】（1）解：轴，
，
∵，，
∴，
，
点A的坐标为，
将代入，
得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：连接，过点A作于点，如图所示：
由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，
，
设线段的长为，则，
点A的坐标为，
，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
线段的长为．
【点睛】本题考查作图——基本作图、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．(1)四、五这两个月销售量的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商场月获利元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，则四月份的销售量为件，五月份的销售量为件，再根据五月份的销售量为400件列出方程求解即可；
（2）设商品降价m元时，商场月获利元，则月销售量为件，每件的利润为，再根据总利润每件利润销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去），
∴四、五这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价m元时，商场月获利元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∴当商品降价5元时，商场月获利元．
【点睛】，
25．(1)抽样
(2)80名，补全条形统计图见解析
(3)40名
【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的应用：
（1）根据“随机在校内调查了部分学生”可知此次调查为抽样调查；
（2）用“不重视”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，求得总人数后，用总人数减去其他重视程度的人数求出重视的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“非常重视”人数所占的百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：此次调查随机在校内调查了部分学生，
此次调查为抽样调查，
故答案为：抽样；
（2）解：此次调查中抽取学生总数为：（名），
重视的学生有：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：（名），
答：该校学生对自己视力保护的重视程度为“非常重视”的学生有40名．
答案第12页，共13页
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