2023-2024学年数学九年级期末考试试题 提升卷一（湘教版）含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学九年级期末考试试题 提升卷一（湘教版）含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-14 20:04:29 | ||
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文档简介
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2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（湘教版）
（提升卷一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）一元二次方程的根情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．（本题3分）已知m，n是方程的两根，则（ ）
A．8 B．7 C．9 D．6
5．（本题3分）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．（本题3分）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在中，，，，则的长度是( )
A．2 B． C． D．
8．（本题3分）“中学生假期环保小组”的同学随机调查了“幸福小区”户家庭一周内使用环保方便袋的数量（单位：个），数据如下：，．利用以上数据估计，该小区户家庭一周内要使用环保方便袋约（ ）
A．2100个 B．14000个 C．20000个 D．98000个
9．（本题3分）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
10．（本题3分）如图，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ．
12．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
14．（本题3分）如图，正方形的边长为8，点分别是边上的动点，且，连接交于点，点为上一点，且，连接，则的最小值为 ．
15．（本题3分）若，则的值为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则 ．
17．（本题3分）如图，正方形中，是边上的一点，，，将沿翻折得到，延长交于点，连接，则的长为 ．
18．（本题3分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程：
(1)； (2)（用公式法）．
20．（本题8分）计算：
(1)； (2)；
21．（本题8分）图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点．
(1)求a的值与反比例函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围为 ．
22．（本题10分）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)为何值时，是以为斜边的直角三角形？
(3)为何值时，是等腰三角形？
23．（本题10分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．（本题10分）如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
25．（本题12分）某中学六年级全体同学参加课外活动小组情况如图所示（每人都参加且只参加一项），已知参加音乐小组的同学有60人．
(1)该学校六年级共有学生多少人？
(2)若参加体育小组的同学比参加美术小组的同学少15人，求参加科技小组的学生有多少人？
(3)直接写出美术小组同学比体育小组同学多 （填百分比）．
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试卷第2页，共6页
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参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上．根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断．
【详解】解：A、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
故选：D
2．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限，
∴，则，
∴一次函数的应该经过第二、四象限，
又∵，
∴该直线与y轴交于正半轴，
故B、C选项错误；
∵当反比例函数图象位于第二、四象限时，，则，
∴一次函数的应该经过第一、三象限，
故D选项错误．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故有两个不相等的实数根，
故选C．
4．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根时，，熟记根与系数的关系是解题的关键．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到， ，根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值即可．
【详解】解已知m，n是方程的两根，
，，，
，
，
=，
=，
=，
=
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】，
与是位似图形
，
的周长的周长
的周长为4
的周长为
故选：C
6．C
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，解直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，三角形内外角关系，过点F作，证明，结合内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解：过点F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了余弦的定义；根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选：A．
8．B
【解析】略
9．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质：①当时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；②当时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴图象分别位于第二、四象限，故此选项不符合题意；
B、当时，，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意；
C、∵，∴当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
D、∵，∴当或时，随的增大而增大，又∵当时，，∴当时，，当时，，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得的值，设，，则可得，由此可求得的值.
熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键.
【详解】，
，
.
，
，
，
设，
则，
，
即.
故选：D
11．或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数与反比例函数的交点是，，
故当时，或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
故答案为：．
13．17
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a的取值范围，可得a的所有值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得且．
化为整式方程得：，
解得，
∵分式方程有正整数解，
∴a可以取1，6，11，
∵，
∴，即，
∴满足条件的a的值为6，11，
∴满足条件的所有整数a的和为．
故答案为：17．
14．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由“”可证，可得，可证，则点在以为直径的圆上运动，当点在上时，有最小值，最小值为，通过证明，可得，即可求解．添加恰当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，取中点，连接，
，
∵四边形是正方形，
，，，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴当点在上时，有最小值，最小值为，
，
，，
，，
，
∴，
，
的最小值为，
故答案给为：．
15．
【分析】本题考查了比例的性质；
设，则，，然后代入式子计算即可．
【详解】解：设，则，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查解直角三角形，设，则，利用勾股定理分别求出和的长解题的关键．
【详解】解：设，则，
∴，，
∴
∴，
故答案为：．
17．
【分析】连接，交于点，根据折叠的性质得出，，证明，在中，，勾股定理求得，根据，设，则，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵正方形中，是边上的一点，，
∴，则，
∵将沿翻折得到，
∴，，
如图所示，连接，交于点
在中，
∴
∴
设
则，
在中，
即
解得：
∴,
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∵
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．0.56
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【详解】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为．
故答案为：0.56．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(1)
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）
∴
解得；
（2）
，，
∴
解得，．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答关键；
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题；
（1）把代入为，可求出反比例函数的关系式，再求出点坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴
解得：
∴反比例函数的表达式为：．
把点代入反比例函数，得
解得：
∴
∵一次函数的图象过点和,联立二元一次方程组，得
解得：
∴一次函数的表达式为：．
（2）解：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方
当时，或．
故答案为：或．
22．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）只需要证明判别式大于0即可证明结论；
（2）利用根与系数的关系得到，再由勾股定理得到，利用完全平方公式的变形得到，解方程，再根据，即可得到答案；
（3）由（1）可知方程有两个不相等的实数根，则，即为腰，由此可得是方程的一个根，把代入原方程求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴为腰，
∴是方程的一个根，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，勾股定理，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
(1)根据，得到，证明即可．
(2)根据，得到，列式计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴，
解得（舍去），
∵，
故．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质：
（1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论；
（2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可．
熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，（公共角），
，
∴，
（2），，
，
，
，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
25．(1)该学校六年级共有学生300人
(2)参加科技小组的学生有105人
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图，百分数的应用；
（1）用总人数乘以参加科技小组的学生所占的比例即可；
（2）分别用总人数乘以参加美术小组、体育小组的学生所占的比例，可求出参加美术小组、体育小组的学生的人数，即可求出参加科技小组的学生的人数；
（3）分别求出参加美术小组的学生人数比参加体育小组多的学生人数除以参加体育小组的人数，再计算即可．
【详解】（1）解：（人）
答：该学校六年级共有学生300人．
（2）解：参加美术小组：（人）
参加体育小组：（人）
参加科技小组：（人）
答：参加科技小组的学生有105人
（3）解：美术小组同学比体育小组同学多
答案第16页，共16页
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2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（湘教版）
（提升卷一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）一元二次方程的根情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．（本题3分）已知m，n是方程的两根，则（ ）
A．8 B．7 C．9 D．6
5．（本题3分）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．（本题3分）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在中，，，，则的长度是( )
A．2 B． C． D．
8．（本题3分）“中学生假期环保小组”的同学随机调查了“幸福小区”户家庭一周内使用环保方便袋的数量（单位：个），数据如下：，．利用以上数据估计，该小区户家庭一周内要使用环保方便袋约（ ）
A．2100个 B．14000个 C．20000个 D．98000个
9．（本题3分）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
10．（本题3分）如图，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ．
12．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
14．（本题3分）如图，正方形的边长为8，点分别是边上的动点，且，连接交于点，点为上一点，且，连接，则的最小值为 ．
15．（本题3分）若，则的值为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则 ．
17．（本题3分）如图，正方形中，是边上的一点，，，将沿翻折得到，延长交于点，连接，则的长为 ．
18．（本题3分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程：
(1)； (2)（用公式法）．
20．（本题8分）计算：
(1)； (2)；
21．（本题8分）图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点．
(1)求a的值与反比例函数的解析式；
(2)当时，x的取值范围为 ．
22．（本题10分）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)为何值时，是以为斜边的直角三角形？
(3)为何值时，是等腰三角形？
23．（本题10分）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．（本题10分）如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
25．（本题12分）某中学六年级全体同学参加课外活动小组情况如图所示（每人都参加且只参加一项），已知参加音乐小组的同学有60人．
(1)该学校六年级共有学生多少人？
(2)若参加体育小组的同学比参加美术小组的同学少15人，求参加科技小组的学生有多少人？
(3)直接写出美术小组同学比体育小组同学多 （填百分比）．
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试卷第2页，共6页
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参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上．根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断．
【详解】解：A、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
故选：D
2．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限，
∴，则，
∴一次函数的应该经过第二、四象限，
又∵，
∴该直线与y轴交于正半轴，
故B、C选项错误；
∵当反比例函数图象位于第二、四象限时，，则，
∴一次函数的应该经过第一、三象限，
故D选项错误．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故有两个不相等的实数根，
故选C．
4．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根时，，熟记根与系数的关系是解题的关键．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到， ，根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值即可．
【详解】解已知m，n是方程的两根，
，，，
，
，
=，
=，
=，
=
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】，
与是位似图形
，
的周长的周长
的周长为4
的周长为
故选：C
6．C
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，解直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，三角形内外角关系，过点F作，证明，结合内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解：过点F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了余弦的定义；根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选：A．
8．B
【解析】略
9．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质：①当时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；②当时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴图象分别位于第二、四象限，故此选项不符合题意；
B、当时，，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意；
C、∵，∴当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
D、∵，∴当或时，随的增大而增大，又∵当时，，∴当时，，当时，，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得的值，设，，则可得，由此可求得的值.
熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键.
【详解】，
，
.
，
，
，
设，
则，
，
即.
故选：D
11．或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数与反比例函数的交点是，，
故当时，或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
故答案为：．
13．17
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a的取值范围，可得a的所有值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得且．
化为整式方程得：，
解得，
∵分式方程有正整数解，
∴a可以取1，6，11，
∵，
∴，即，
∴满足条件的a的值为6，11，
∴满足条件的所有整数a的和为．
故答案为：17．
14．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由“”可证，可得，可证，则点在以为直径的圆上运动，当点在上时，有最小值，最小值为，通过证明，可得，即可求解．添加恰当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，取中点，连接，
，
∵四边形是正方形，
，，，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴当点在上时，有最小值，最小值为，
，
，，
，，
，
∴，
，
的最小值为，
故答案给为：．
15．
【分析】本题考查了比例的性质；
设，则，，然后代入式子计算即可．
【详解】解：设，则，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查解直角三角形，设，则，利用勾股定理分别求出和的长解题的关键．
【详解】解：设，则，
∴，，
∴
∴，
故答案为：．
17．
【分析】连接，交于点，根据折叠的性质得出，，证明，在中，，勾股定理求得，根据，设，则，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵正方形中，是边上的一点，，
∴，则，
∵将沿翻折得到，
∴，，
如图所示，连接，交于点
在中，
∴
∴
设
则，
在中，
即
解得：
∴,
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∵
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．0.56
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【详解】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为．
故答案为：0.56．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(1)
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）
∴
解得；
（2）
，，
∴
解得，．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答关键；
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题；
（1）把代入为，可求出反比例函数的关系式，再求出点坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴
解得：
∴反比例函数的表达式为：．
把点代入反比例函数，得
解得：
∴
∵一次函数的图象过点和,联立二元一次方程组，得
解得：
∴一次函数的表达式为：．
（2）解：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方
当时，或．
故答案为：或．
22．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）只需要证明判别式大于0即可证明结论；
（2）利用根与系数的关系得到，再由勾股定理得到，利用完全平方公式的变形得到，解方程，再根据，即可得到答案；
（3）由（1）可知方程有两个不相等的实数根，则，即为腰，由此可得是方程的一个根，把代入原方程求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴为腰，
∴是方程的一个根，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，勾股定理，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
(1)根据，得到，证明即可．
(2)根据，得到，列式计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴，
解得（舍去），
∵，
故．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质：
（1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论；
（2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可．
熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，（公共角），
，
∴，
（2），，
，
，
，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
25．(1)该学校六年级共有学生300人
(2)参加科技小组的学生有105人
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图，百分数的应用；
（1）用总人数乘以参加科技小组的学生所占的比例即可；
（2）分别用总人数乘以参加美术小组、体育小组的学生所占的比例，可求出参加美术小组、体育小组的学生的人数，即可求出参加科技小组的学生的人数；
（3）分别求出参加美术小组的学生人数比参加体育小组多的学生人数除以参加体育小组的人数，再计算即可．
【详解】（1）解：（人）
答：该学校六年级共有学生300人．
（2）解：参加美术小组：（人）
参加体育小组：（人）
参加科技小组：（人）
答：参加科技小组的学生有105人
（3）解：美术小组同学比体育小组同学多
答案第16页，共16页
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