2023-2024学年数学九年级期末考试试题 提升卷三（湘教版）含解析

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2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（湘教版）
（提升卷三）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，一次函数的图象与反比例函数是的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．下列结论正确的是（ ）

A．点A和点关于原点对称 B．当时，
C．反比例函数中都随的增大而减小 D．的面积等于的面积
3．（本题3分）一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（本题3分）已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似．（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（本题3分）在中，点D、E分别在边上，以下能推出的条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）某校为了解七年级900名学生在本次体育测试的成绩情况．现随机抽取若干名学生的体育测试成绩进行统计，并绘制了如下两幅统计图．
则下列结论不正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是100
B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的10%
C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为
D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格人数约630人
9．（本题3分）如图是麓山在八年级900名学生中随机调查部分学生每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．请你估计该校八年级学生每周课外阅读时间在2～4小时的约有（）
A．440人 B．180人 C．160人 D．120人
10．（本题3分）某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（ ）人被传染．
A．380 B．6859 C．7220 D．6498
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ．
12．（本题3分）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有 ．
13．（本题3分）已知关于x的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为5，则m的值为 ．
14．（本题3分）是方程的一个根，则另一个根为______．
15．（本题3分）若，则 ．
16．（本题3分）在中，如果、均为锐角，且满足，那么 ．
17．（本题3分）小江为了估计某山区羊群里羊的数量，先捕捉45只羊给它们分别作上标记，然后放回，过段时间后再捕捉150只羊，发现其中5只有标记，那么该山区羊群里的羊约有 ．
18．（本题3分）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程：
(1)； (2)；
．
20．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，，求的面积．
21．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)当时，求的值；
(2)请判断方程根的情况，并说明理由；
(3)若的一个根是，求方程的另外一个根．
22．（本题10分）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．

(1)求的长；
(2)求点E到地面的高度的长．
23．（本题10分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．．
(1)求：支架点D到立柱的距离；
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
24．（本题10分）如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，．
(1)求的面积；
(2)求的正弦值．
25．（本题12分）某校为了进一步改进本校八年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在八年级所有班级中，每班随机抽取了部分学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A—非常喜欢”、“B—比较喜欢”、“C—不太喜欢”、“D—很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________；
(3)若该校八年级共有1000名学生，请你估计该年级学生对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
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试卷第2页，共7页
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参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先求出，进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，，
∴，
故选A
2．D
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．利用反比例函数与一次函数的对称性判断①，图象法判断②，增减性判断③，值的几何意义，判断④．从图象中有效的获取信息，掌握一次函数和反比例函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数是的图象交于，两点，
∴当时，，即，
当时，，即，
∴点A和点B关于原点对称错误；故①错误；
由图象可知：当或时，，故②错误；
由图象可知：当在同一象限内时，随x的增大而减小，故③错误；
把代入，则，
∵点都在反比例函数的图象上，轴，轴
∴； 故④正确；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，确定出矩形的长和宽，代入周长和面积公式计算即可求解，掌握了解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵矩形的长和宽恰好是方程的两个根，
∴矩形的长为，宽为，
∴矩形的周长为，面积为，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．根据题意分类讨论是解题的关键．
由勾股定理得，，由题意知，分当在上，在上两种情况求解：当在上时，，则，计算求解即可；当在上时， ，则，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由题意知，分当在上，在上两种情况求解：
当在上时，，由题意知，，
∴，即，
解得，；
当在上时，，由题意知，，
∴，即，
解得，；
综上所述，的值为或，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可．
【详解】解：画出图形如下：
A、由不能得出相似，故不能判定；
B、由不能得出相似，故不能判定；
C、∵，则有，∴，则，
∴，从而；
D、由不能得出相似，故不能判定；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的值．
【详解】解：作交的延长线于点D，如图所示，
由图可知，，
，
，
故选：C．
7．D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值．
本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的正弦值转化成求的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【详解】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
8．C
【分析】根据两幅统计图分别进行判断即可；
【详解】本次抽样调查的样本容量是，故A选项不符合题意；
体育测试成绩在40分以下占抽取人数的，故B选项不符合题意；
在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为，故C选项符合题意；
若把体育成绩在45分以上 (含45分) 定为合格，则全校初三学生体育成绩合格人数约 (人)，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
9．B
【分析】本题考查频数分布直方图，利用样本估计总体，从频数分布直方图中得出各组频数是解决问题的关键．根据频数分布直方图中各组的频数计算2～4小时的百分比，再乘以即可．
【详解】解：估计该校八年级学生每周课外阅读时间在2～4小时的约有（人），
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去）；
即每轮传染中平均每个人传染了18个人，
，
答：按这样的速度第三轮后共有6859人被传染．
故选：B
11．
【分析】本题考查反比例函数的性质．根据时，y的值随x的值的增大而增大，得到，求解即可．掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
12．②③④
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．根据题意得出和异号，再分别判断各项即可．
【详解】解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，若，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则，
若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则，
综上：和异号，
∵和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
∵和异号，则，故②正确；
，故③正确；
或，故④正确；
故正确的有②③④，
故答案为：②③④．
13．2
【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法，可求出原方程的两个实数根，情况讨论：当两个根相等时，求出m的值；当两个根不相等时，求出m的值，再讨论三角形三边关系求出最终m的值．
【详解】解析：由题意，，
解得，．
①当关于x的一元二次方程有两个相等的实数根时，，
∵的周长为5，
∴三角形第三边为3，
∵，
∴1，1，3不能组成三角形，
∴不符合题意，舍去．
②当关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根时，
∵的周长为5，
∴三角形第三边为，
∵，
∴1，2，2能组成三角形．
综上所述，m的值为2．
故答案为：2
14．2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根是α，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．熟练掌握比例的性质，代数式求值是解题的关键．
由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．/90度
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．先根据条件求出、度数，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】解析　∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴ ．
故答案为：
17．1350只
【分析】先计算出样本中有标记的羊所占的比值，再用45除以这个比值即可算出羊群中一共有多少只羊．
【详解】样本中有标记的羊所占的比为：，
∴该山区羊群里的羊约有（只）．
故答案为：1350只．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，解题的关键是计算出样本中有标记的羊所占的比值．
18．/
【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，，可设，则，然后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如下图，
由题意可知，，
设，则，
∴．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择适当的方法解方程．
（1）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）去分母华为整式方程，然后解方程，最后验根即可．
【详解】（1）解：
解得：，；
（2）解：
，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（3）解：
解得：，
经检验是原方程的解，
∴方程的解为．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，求出直线与x轴的交点C的坐标，再根据三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
又在反比例函数的图象上，
，
点，
由于直线过点，，
解得
一次函数的解析式为；
（2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，
直线与x轴的交点，即，
．
21．(1)，
(2)方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，还考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）当时，方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）计算出，由此即可得出答案；
（3）设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，方程为，
，
或，
解得：，；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
理由如下：
，
，
方程有两个不相等的实数根；
（3）解：设方程的另一个根为，
若的一个根是，
，
，
方程的另一个根为．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键．
（1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案；
（2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案．
【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
，
，
，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）由题意可得：，
，
，
，
解得：，
答：点到地面的高度的长为．
23．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键
（1）：如图，延长，交点为，则，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，比较与3的大小，然后作答即可．
【详解】（1）解：如图，延长，交点为，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴支架点D到立柱的距离为米；
（2）解：不能，理由如下：
由题意知，（米），
∴（米），
∵，
∴能．
24．(1)4
(2)
【分析】本题考查解直角三角形
（1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题．
（2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题．
【详解】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，．
，
，
，
又，
，，
．
（2）解：在中，
．
过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，
在中，
．
，
．
在中，
．
25．(1)见解析
(2)“B—比较喜欢”
(3)估计该年级学生对数学学习“不太喜欢”的有250人
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）用1000乘以样本中对数学学习“不太喜欢”的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，调查的学生有：（人），
选B的学生有：（人），
B所占的百分比是：，
D所占的百分比是：，
故补全的条形统计图与扇形统计图如图所示，
（2）解：由条形统计图可知，喜欢程度“B—比较喜欢”的人数最多，
∴所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是“B—比较喜欢”，
故答案为：“B—比较喜欢”．
（3）解：人，
∴估计该年级学生对数学学习“不太喜欢”的有250人．
答案第16页，共16页
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