数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算 课件（共17张ppt）

(共17张PPT)
课时4 向量的数乘运算
新授课
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算.
2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义.
3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
任务：作出和向量，并结合所做向量，小组讨论解决下列问题.
目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算.
如图，已知非零向量 ，作出向量 和 .
问题1：观察图象，与初向量 相比，向量 长度和方向分别是怎样？
问题2：向量 与初向量 相比，长度和方向又分别是怎样？
如图，因为 ，长度是原来的3倍，方向相同.
如图，因为 ，长度是原来的3倍，方向相反.
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 .
它的长度与方向规定如下：
归纳总结
（1） ；
（2）当 时， 的方向与 方向相同；当 时， 的方向与 方向相反；
（3） ； .
注：数与向量的乘积仍是向量.
如果把非零向量 的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量 ，向量 该如何用向量 表示？它们之间的关系是怎样的？
思考
=3.5 ，向量 与向量 方向相同， 长度是 的3.5倍
练一练
A．0 B． C． D．
B
目标二：类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义．
任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律.
(1)回顾下实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？
①交换律： ；②结合律： ；③分配律： .
(2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？试着用数学语言表示出来.
结合律①： 分配律②： ，③ .
证明：结合律①：
当 或 或 时，结合律成立；
当 ， 且 时，可得 ,所以 .
当 同号时，结合律中等式两边的向量符号与 向量方向相同，当 异号时，结合律中等式两边的向量符号与 向量方向相反.因此，向量 是相等向量.
(3)如何证明猜想的向量数乘运算律？
结合律①： 分配律②： ，③ .
证明：分配律②：
当 或 或 时，②式显然成立；
当 ， 且 时，可分如下两种情况：
同号时， 、 的方向相同，所以
即 ，由 同号，知②式两边向量的方向都与 方向相同，或都与 方向相反，即②式两边向量的方向相同.所以②式成立.
异号时，当 ，知②式两边向量的方向都与 方向相同，当 ，知②式两边向量的方向都与 方向相同，所以②式两边向量的方向相同.所以②式成立.
证明：分配律③：
当向量 共线，或 时，③式显然成立.
当向量 不共线，且 时，可分为如下两种情况：
当 时，如图，在平面内任取一点O，作 则
由作法知 ,有 ， ， ，所以 ,因此 ∽ ，
所以 ， ，因此 在同一条直线上， , 的方向相同，所以 ，所以 .
当 时，亦可证得 .
综上： .
设 是实数，那么
结合律： ；
分配律： ， .
特别地，我们有 ， .
归纳总结
练一练
关于向量，下列结论错误的是（ ）.　
A.
B．
C．
D．
A
任务2：根据向量数乘运算律，小组讨论下列运算律下，其向量数乘的几何意义.
设 是实数，那么
结合律：
①
分配律：
②
③
以 为例：
等式①的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或压缩至原来的 倍，再伸长或压缩至原来的 倍，与将表示向量 的有向线段伸长或压缩至原来的 倍所得结果相同.
等式②的的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或压缩至原来的 倍，与将
表示向量 的有向线段伸长或压缩至原来的 倍后，再与将表示向量 的有向线段伸长
或压缩至原来的 倍相加，所得到的结果相同.
等式③的的几何意义：将表示向量 的有向线段先相加，再伸长或压缩至原来的 倍，
与将表示向量 的有向线段伸长或压缩至原来的 倍后再相加所得到的结果相同.
结合律：① 分配律：② ③
1.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
2.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 .
归纳总结
练一练
如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的靠近B的三等分点．那么　　
A． B． C． D．
D
由E是DC中点，F是BC靠近B的三等分点得
, ，所以 .
任务：根据关键词“向量数乘”，构建知识导图.
向量的线形运算
向量的数乘的定义
向量数乘的运算律及其几何意义
线性运算