数学人教A版（2019)选择性必修第二册4.2.3等差数列的概念（共19张ppt）

(共19张PPT)
课时3 等差数列的概念
新授课
1.理解等差数列以及等差中项的概念.
2.掌握等差数列通项公式，能运用公式解决相关问题.
3.理解等差数列的函数性质.
任务1：阅读教材P12的4个数列，根据表格，回答问题，归纳等差数列的定义.
目标一：理解等差数列以及等差中项的概念.
问题：四个数列存在什么共性？
每个数列从第二项开始，后项与前项之差为定值.
数列1 9,18,27,36,45,54,63,72,81.
数列2 38,40,42,44,46,48
数列3 25,24,23,22,21.
数列4 ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，….
概念生成
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
符号表示： 或 .
练一练
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差.
（1） 0， 1，3， 5， 7， 9； （2） 3，3，3，3，3，3；
（3） 3x，6x，9x，12x，15x； （4）95，82，69，56，43，30 ；
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111； （6） 1，－2，3，－4，5，－6.
解：(1)不是，因为第二项与第一项之差为1，后面的后项与前项之差为2，所以这不是等差数列.
(2)是， 的常数列； (3)是， ；
(4)是， ； (5)不是，d不是同一常数；
(6)不是，理由同上.
概念生成
注：①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： 是否为同一个常数.
②公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差.
③公差d可以是正数，负数，也可以为0.
任务2：探究等差中项.
若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
思考
概念生成
等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.
例如，等差数列1,3,5中，3是1与5的等差中项.
练一练
1.写出等差中项
（1）2 ，______， 4； （2）－1 ，______， 5；
（3）0 ，______， 0； （4）－12，______，0
2.如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为 (　　 )
A．－1 B．1 C．3 D．4
解：由题可知，6=2a+a-6，解得a=4，故选D.
3
2
0
-6
D
任务1：探究等差数列的通项公式.
目标二：掌握等差数列通项公式，能运用公式解决相关问题.
我们知道，若{ }数列是以 为首项，d为公差的等差数列，则
，即 .
问题1：分别用 ，d表示数列 ；
问题2：根据问题1的规律，思考等差数列{ }的通项公式该如何表达？
新知讲解
等差数列通项公式：首项为 ，公差为d的等差数列{ }的通项公式为
思考1
除了上述利用归纳法猜想得到等差数列通项公式的方法之外，还有没有其他方法？
…
解：将上述等式等号两边相加，得 ，即 .
思考2
在等差数列{ }中，如何用第m项 和公差d表示 ？
归纳总结
等差数列通项公式：(1) ；
(2) .
任务2：利用利用等差数列通项公式求解等差数列相关问题.
1.已知等差数列{ }的通项公式为 ,求{ }公差和首项；
解：当n≥2时，由{ }的通项公式 可得 ，于是 ，把n=1代入通项公式 得
所以， { }的公差为-2，首项为3.
2.求等差数列8，5，2....的第20项.
解：由已知条件，得d=5-8= -3，将首项及公差代入通项公式得：
，将n=20代入上式子，得 . 所以，这个数列的第20项是-49.
3. -401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项？如果是，是第几项？
3. -401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项？如果是，是第几项？
解：由 得到这个数列的通项公式为
令 解关于n的方程，得n=100. 所以-401是这个数列的项，是第100项.
思考2
如何求解与等差数列有关的通项问题？
归纳总结
求通项公式的方法：
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用 直接求得公差，再利用
写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
练一练
在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
解：设等差数列{an}的公差为d.
∵a5＝10，a12＝31，则
解得
∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.
任务：探究等差数列的函数性质.
目标三：理解等差数列的函数性质.
问题1：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
解： ，因此等差数列可以看成是关于自变量为n的一次函数，其中斜率为公差d，常数项为 .
归纳总结
如图所示，在平面直角坐标系中画出函数的图象 ，就得到一条斜率为d，截距为
的直线.在这条直线上描出点
(1，f(1))，(2，f(2))，…，(n，f(n))，…，就得到了等差数列{ }的图象；
反之，任给一次函数f(x)=kx+b(k，b为常数)，则f(1)=k+b，f(2)=2k+b，…，f(n)=nk+b，…，构成一个等差数列{nk+b}，其首项为k+b，公差为k.
思考
从函数的角度，如何判断等差数列的单调性？
归纳总结
等差数列单调性：当d＞0时，数列{ }单调递增;
当d＜0时，数列{ }单调递减；
当d＝0时，等差数列{ }为常数列.
任务：根据下列关键词，构建知识导图.
“等差数列”、“通项公式”、“类加法”、“函数特点”.