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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第28章
课标要求 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cos A、 tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化 与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。．
内容分析 本章"锐角三角函数"属于三角学，是《数学课程标准》中"空间与图形"领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章"锐角三角函数"。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后 一部分的重要基础，掌握锐角三角函数 的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。．
学情分析 教科书先研究了正弦函数，' 正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对运求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利下一篇直角三角形中，角所对的边是斜边的一半"这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。．
单元目标 （一）教学目标 1、正确理解锐角三角函数的定义； 2、熟练应用特殊角的三角函数值解决相关问题； 3、能根据所给条件解直角三角形； 4、能应用锐角三角函数和勾股定理的知识解决生活中的实际问题，达到学以致用。. （二）教学重点、难点 教学重点:锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；特殊角的三角函数值. 教学难点:经历探索30度、45度、60度角的三角函数值的过程，学会三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.本章安排了两个数学活动.这两个活动都是测量实物的高度.从数学角度看，都用到锐角三角函数或解直角三角形的知识. 2.“活动1”是制作测角仪，并用它测量树的高度.这个活动可以分解为两个小活动，一是制作测角仪，二是利用测角仪测量树的高度.利用半圆形量角器制作测角仪比较简单，关键是让学生明白测角仪的工作原理. 按照教科书中给出的测量步骤，利用测角仪测量树高时，可以从测角仪上读出∠ABC的度数，进而可以计算出角a的数，再测量出测量者距离树根的距离，I 及测量者的眼睛距离地面的高度，就可以求出树的高度． 3.“活动2"是利用“活动1"中制作的测角仪测量塔高。从本质上讲，“活动2"与“活动1”是同一类活动，都是利用测角仪测量一 个实物的高度，只是活动中采用的测量方法有所不同."活动2"提供了一种利用测角仪测量“底部不可及”物体高度的方法. 2.本章教学建议： (-)注意加强知识间的纵向联系 第27章"相似"为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用"相似三角形的对应边成比例"可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了"在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半"，得出了"在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于"。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形(的对边分别是70和50)归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。． (二)注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识(在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形)以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。 3.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数28.1锐角三角函数(1) 128.1锐角三角函数(2)128.1锐角三角函数(3) 128.1锐角三角函数(4) 128.2解直角三角形（1）128.2解直角三角形（2）128.2解直角三角形（3）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务28.1锐角三角函数(1) 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.锐角三角函数的概念． 2.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．活动一：学生自主探索出锐角三角函数的概念． 活动二：能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比.28.1锐角三角函数(2)1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.掌握锐角三角函数的概念． 2.熟练锐角三角函数概念的理解. 活动一：学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论． 活动二：探究巩固例题． 28.1锐角三角函数(3) 1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 1.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 2．掌握与特殊角的三角函数值有关的计算．活动一：经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性． 活动二：探究巩固例题．28.1锐角三角函数(4) 1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小. 3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题． 1.利用计算器求锐角三角函数的值． 2.计算器的按键顺序． 活动一：会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（1）1.理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 1.运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 2.灵活运用锐角三角函数解直角三角形.活动一：灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 活动二：共同探究综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形. 活动三：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（2）1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题． 让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．1.将实际问题转化为解直角三角形问题. 2.将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.活动一：学生可相互交流，认真思考问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（3）1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。 2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。 3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法．1.理解方位角、坡度和坡角的概念． 2.利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．活动一：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法。 活动二：让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺．活动三：完成例题学习巩固知识点．
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28.2解直角三角形（3）
人教版 九年级 下册
教材分析
进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力．
教学目标
教学目标：1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；进一
步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
教学重点:理解方位角、坡度和坡角的概念．
教学难点:利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．
新知导入
情境引入
方位角
南偏西45 °
北偏东37°
37°
北
南
西
东
64°
45°
70°
南偏东70°
北偏西26 °
西南
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。
新知讲解
合作学习
A
B
C
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
思考
问题
坡角、坡度的概念
1.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平宽度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作 i 。
α
h
l
提炼概念
4.斜坡的坡角越大，则坡度越大，坡面越陡。
3.坡度通常写成 1∶m 的形式（ m 可以是小数或无理数）
2.坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比，没有单位。
1.坡度等于坡角的正切值.
α
h
l
1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
α
L
h
30
1：1
试一试，你最棒！
典例精讲
例1：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(参考数据：sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan65°≈2.14， sin34°≈0.56， cos34°≈0.83， tan34°≈0.67)
C
P
A
B
34°
65°
北
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8海里
在Rt△BPC中，∠B＝34°
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
例2、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
在Rt△CDE中，∠CED=90°
（2）如图在 Rt△ABF中，α=33.7°
∵
∴
因此，斜坡AB的长为10.8米．
（1）
归纳概念
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂练习
必做题
1、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的坡度为（ ）
A.1:4 B. 1:2 C.1:3 D. 1:
D
2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡
AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE= m，
那么斜坡AB长为 m．
1.6
选做题
3. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
答案：AE= 米＞800米，
所以古建筑会遭到破坏.
北
东
A
D
B
60°
30°
E
综合拓展题
4. 为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8m时，大坝加高了几米？
解题思路：
分别过点H、G作HM⊥CD，GN⊥CD，垂足分别为点M、N，则HM：DM=1：1.2，GN：CN=1：0.8，易证四边形GHMN是矩形
所以 MN = HG = 4.8m，HM = GN 。
设：HM= x m
则DM=1.2x，CN=0.8x
所以 1.2 x+0.8x+4.8=6
解得 x= 0.6
即：大坝加高了0.6米。
作业布置
必做题
1.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若
它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，
则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A.6 m B. m C.2 m D.3 m
C
选做题
2. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米，参考数据： ， ）
解题思路：
分别过点C、D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E、 F，易知 CE = DF = 4m，EF = CD = 12m。
在Rt△ADF中，易得 AF = DF = 4m；
在Rt△BCE中，易得
所以：
综合拓展题
3.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安
全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这
样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,
参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
解：（1）在Rt△ABC中， BC=AC=AB sin 45°= m
在Rt△ADC中AD= m
CD= m
∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07 m ,
改善后的斜坡会加长2.07 m；
（2）这样改造能行．
∵CD-BC≈ ×2.449- ×1.414
≈2.59<6-3
∴这样改造能行．
答：改善后的斜坡坡面会加长2.07 m；这样改造能行.
课堂总结
方位角问题的实际应用题解法：
直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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分课时教学设计
第6课时《 28.2解直角三角形（3） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.
学习者分析 学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型．
教学目标 1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题. 2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题.
教学重点 理解方位角、坡度和坡角的概念．
教学难点 利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 方位角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。 练一练： 如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。 90° 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角的含义及其所代表的实际意义，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ (1)坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为. (2)坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则 tanα=. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 学生自主探究，得出结论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，理解坡度和坡角的概念，培养学生学以致用的能力，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？ 分析与解 易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中 PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，即由,得PC=AP· cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt△BPC中，由，得从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i== 如图，坡度通常写成i=h:l的形式。 ※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. ②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆． 例2 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α 和 β 的度数； （2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)． ． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的坡度为（ ） A.1:4 B. 1:2 C.1:3 D. 1: 2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE= m，那么斜坡AB长为 m． 选做题： 3. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ 【综合拓展类作业】 4. 为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8m时，大坝加高了几米？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ） A.6 m B. m C.2m D.3 m 选做题： 2. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米，参考数据： ， ） 【综合拓展类作业】 3.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？ （2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安 全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这 样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01, 参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
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