北山中学高 2024 届高三上半期考试
数 学 试 题
考试时间：120 分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 是虚数单位 对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，在梯形 中， ， ， ，设 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
4.若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为 ( )
A. B. C. D.
5.已知 中，“ ”是“ ”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发
展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”、“英语 ABC”、“篮球之家”、“生物研启社”
四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲
不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数 的部分图象如图所示，其中
，将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
则 的解析式是( )
A. B.
C. D.
第 1页，共 4页
{#{QQABQYwEogiAABAAARhCAQU6CECQkBACCAoGAEAMsAAAQAFABCA=}#}
cos( ) cos 2
8. 2已知 ， ，则 ( )
2 sin( )
4
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量 ， ，则 ( )
A. B. 向量 在向量 上的投影向量是
C. D. 与向量 方向相同的单位向量是
10.下列说法正确的是( )
A. 一组数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数为
B. 在经验回归方程 中，当解释变量 每增加 个单位时，相应变量 增加 个单位
C. 数据 ， ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， ，
的方差为
D. 一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于
11.已知对任意 ， ，且 ， 恒成立，则 的取值可以是 ( )
A. B. C. D.
12.函数 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，该结论可以推
广为：函数 的图像关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数 已
知函数 ，则( )
A. 的图像必有对称中心
B. 若 ，则函数 为奇函数
C. 若 ，则
D. ，
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 的展开式中常数项是 用数字作答 ．
第 2页，共 4页
{#{QQABQYwEogiAABAAARhCAQU6CECQkBACCAoGAEAMsAAAQAFABCA=}#}
14.在等比数列 中， ， 是函数 的极值点，则 .
15.设等差数列 的前 项和分别是 ，且 ，则 __________．
16.在 中，已知 ， 为边 上一动点，过
点 作一条直线交边 于点 ， ．
若 为 中点，且 ，则 ；
设 ，则 的最大值是 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 10.0 分 已知
求 的最小正周期及单调递增区间；
时， 恒成立，求实数 的范围．
18. 本小题 分 在 ， ， 成等比数列， 是 和 的等差中项， 的前
项和是 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知数列 为公差大于 的等差数列， ，且前 项和为 ，若_____，数列 为等比数列，
且 ．
求数列 ， 的通项公式；
若 ，求数列 的前 项和 ．
19. 本小题 分 某景区的平面示意图为如图的五边形 ，其中 ， 为景区内的乘车观光
游览路线， ， ， ， ， 是步行观光旅游路线 所有路线均不考虑宽度 ，经测量得：
， ， ， ， ，
且 ．
求 的长度；
景区拟规划 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域
面积最大，并求此最大值．
第 3页，共 4页
{#{QQABQYwEogiAABAAARhCAQU6CECQkBACCAoGAEAMsAAAQAFABCA=}#}
20. 本小题 分 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机
抽样，从学校抽取样本容量为 的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀 不优秀
数学 优秀
成绩 不优秀
合计
根据 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
在人工智能中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似
然比．现从该校学生中任选一人， 表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩
不优秀” 请利用样本数据，估计 的值．
现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出 人组成一个小组，从抽取的 人里再随机抽取 人
参加数学竞赛，求这 人中，语文成绩优秀的人数 的概率分布列及数学期望．
附： ，
21. 本小题 分 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
求数列 的通项公式；
设 ，若数列 满足 ，求证： ．
22. 本小题 分 已知函数 ．
1
⑴当a 时，求在曲线 y f (x)上的点（1，f (1))处的切线方程；
2
⑵讨论函数 的单调性；
⑶若 有两个极值点 ， ，证明： ．
第 4页，共 4页
{#{QQABQYwEogiAABAAARhCAQU6CECQkBACCAoGAEAMsAAAQAFABCA=}#}北山中学高2024届高三上半期考试参考答案
一、单选题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、多选题
题目 9 10 11 12
答案 ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17. 解：
化解可得：．……3分
的最小正周期，……4分
由，
可得．
函数的单调递增区间为，……6分
（2） ……7分
……8分
当时，．……9分
要使恒成立，则，即，
可得：．故得实数的范围是．……10分
18. 解：设的公差为，选条件：，，成等比数列，
得，即，……1分
解得或，，，……2分
可得；……3分
选条件：是和的等差中项，得，即，
即，解得：，
；
选条件：的前项和是，即，
解得：．．
设的公比为，由，得，即，……5分
又，；……6分
，
，
则，……8分
两式作差可得：
，……10分
故．……12分
19. 解：在中，，，，
由正弦定理可得，……1分
可得，……3分
在中，由余弦定理可得：，……4分
而，且，
整理可得，……5分
解得或舍，所以的长度为；……6分
在中，由余弦定理可得，当且仅当时取等号；……8分
而，所以，
所以，解得，……10分
所以，……11分
所以面积最大值为．……12分
20. 解：假设数学成绩与语文成绩无关，根据表中数据计算得，
，根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关．……3分
，估计的值为．……6分
按分层抽样，语文成绩优秀的为人，语文成绩不优秀的人，
随机变量的所有可能取值为，，，．……7分
，……8分，……9分
，……10分，……11分
的分布列为
数学期望．……12分
21. 解：，当时，，
两式相减得：，……1分
整理得，……3分，，……4分
当时，，舍或，
是以为首项，为公差的等差数列，则；……6分
证明：由知，，，……8分
，……10分
，，即．……12分
22. 解：⑴由题可知，当时, ……1分
……3分
⑵对函数求导可得，．
当时， 则在上单调递增．……4分
当时，则．
令，则，或．，则 ，……5分
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减．……6分
⑶有两个极值 ，是方程的两个不等实根，
则， ……7分
要证：即证：．……9分
不妨设，即证：即证：对任意的恒成立令，则．……10分
从而在上单调递减故．……11分
所以．……12分
