天津市双菱中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、选择题：（每个3分，共9题）
1．（2020高一上·和平期末） （ ）．
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高一上·和平期末）已知x、y都是实数，那么“ ”的充分必要条件是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020高一上·静海月考）已知扇形的面积为 ，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2020高一上·和平期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·南海月考）已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值是（ ）.
A．或2 B．2 C． D．1
7．（2020高一上·和平期末）已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
8．（2020高一上·吉安期中）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·和平期末）已知函数 ，函数 ，若 有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：（每个4分，共6题）
10．命题“”的否定为 .
11．（2020高一上·和平期末）化简 ．
12．（2020高一上·和平期末）已知角 是第四象限角，且满足 ，则 ．
13．（2020高一上·和平期末）若 ，则 的最小值为 .
14．的单调增区间是 .
15．（2020高一上·和平期末）若函数 满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是 .
三、解答题：（49分）
16．求值：
（1）：
（2）
（3）
17．已知函数的定义域为A，集合.
（1）求集合A；
（2）若全集，，求；
（3）若是的充分条件，求a的取值范围.
18．（2019高一上·万载月考）函数 的定义域为 ．
（1）设 ，求t的取值范围；
（2）求函数 的值域．
19．设函数且是定义域为的奇函数.
（1）求值；
（2）若，试判断的单调性并求使不等式0恒成立的的取值范围；
（3）若，求在上的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式化简求值。
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，即，所以集合；
，所以解得：，所以集合，则，
所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求出集合A，B，再根据集合的并、补求解即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A， ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，不符合题意；
对于B， ，即“ ”是“ ”的充要条件，符合题意；
对于C，由 得， 或 ， ，不能推出 ，由 也不能推出 ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D，由 ，不能推出 ，由 也不能推出 ，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出 “ ”的充分必要条件。
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题知： ，解得 .
，所以扇形的周长为 .
故答案为：D
【分析】首先由扇形的面积公式代入数值计算出r的值，由此得出弧长的值，从而求出扇形的周长.
5．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 在 上是增函数，
又 ， ， ， ， ，
根据零点存在性定理可知，函数 的零点所在的大致区间是 ，
故答案为：C。
【分析】利用零点存在性定理求出函数 的零点所在区间。
6．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，，求得或-1，
当时，， 在上是增函数，不满足题意；
当时，， 在上是减函数，满足题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数定义得求出m，进而代入分析其单调性，确定m的值.
7．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用指数函数的单调性结合对数函数的单调性，再结合特殊值对应的指数与对数与a，b，c大小关系比较，从而比较出a，b，c的大小。
8．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.
9．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 ，
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象，
由图可知，当直线在 处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故： ，解得： ，
故答案为：A.
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，再画出函数的图象，再利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数y=f(x)与函数的图象，从而结合已知条件函数 有两个零点， 从而求出实数m的取值范围。
10．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则“”的否定为“”.
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题直接写答案即可.
11．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式 ，
故答案为：1。
【分析】利用对数的运算法则和指数幂的运算法则，从而化简求值。
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
，即 ，
角 是第四象限角， ，
，
故答案为： 。
【分析】利用诱导公式结合已知条件化简求出的值，再利用角 是第四象限角，结合同角三角函数基本关系式，从而求出角的正弦值，进而求出角的正切值。
13．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当 时取等号，
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
14．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的定义域为，
因为在定义域内单调递减，根据题意可知求函数在上的单调递减区间，
由二次函数的性质可得函数t在上的单调递减减区间为，故函数的单调递增区间是.
故答案为：．
【分析】先求函数的定义域，再结合二次函数的性质，利用复合函数单调性求解即可．
15．【答案】[4，8)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】 对任意的实数 都有 成立，
函数 在 上单调递增，
，
解得： ， ，
故答案为：[4，8)。
【分析】利用增函数的定义结合已知条件，判断出函数是增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
16．【答案】（1）解：
原式
（2）解：
原式
（3）解：
原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；三角函数的化简求值；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据分母有理化、根式与分数指数幂互化和指数运算性质即可解答.
（2）根据换底公式和对数运算性质即可解答.
（3）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
17．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为，故函数的定义域为；
（2）解：当时，集合，全集，所以 或，
所以或；
（3）解：若是的充分条件，则有，
当时，有，解得，符合题意；
当时，由，则有，解得，
综上可知，a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算；函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据具体函数求定义域的方法求解函数的定义域，即可得到集合A；
（2）将代入集合B，再根据集合的交、补集运算求解即可；
（3）依题意有，按和讨论列不等式，解出a的取值范围即可.
18．【答案】（1）解： 在 上单调递增
．
（2）解：函数 可化为： ，
在 上单调递减，在 上单调递增
比较得 ，
，
所以函数的值域为 ．
【知识点】函数的值域；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）由题意，可先判断函数 ， 单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（2）由于函数 是一个复合函数，可由 ，将此复合函数转化为二次函数 ，此时定义域为 ，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数 的值域．
19．【答案】（1）解：因为且是定义域上的奇函数，所以，
所以，经检验当时，，，为奇函数，所以.
（2）解：由（1）得，，又且，所以，，所以为减函数，为增函数，为减函数，所以为R上减函数，
恒成立，所以，
所以的取值范围为.
（3）解：，即，解得或（舍去），所以，令，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，设，对称轴为，
开后向上，所以当时，，即在上的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数是定义在R上奇函数，所以求出k的值，然后检验即可；
（2）先判断的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，转化为一元二次不等式恒成立问题，利用图象判定即可；
（3）根据已知条件先求出a的值，然后换元，转换成二次函数在给定区间求最值的问题求解即可.
1 / 1天津市双菱中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、选择题：（每个3分，共9题）
1．（2020高一上·和平期末） （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式化简求值。
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，即，所以集合；
，所以解得：，所以集合，则，
所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求出集合A，B，再根据集合的并、补求解即可.
3．（2020高一上·和平期末）已知x、y都是实数，那么“ ”的充分必要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A， ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，不符合题意；
对于B， ，即“ ”是“ ”的充要条件，符合题意；
对于C，由 得， 或 ， ，不能推出 ，由 也不能推出 ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D，由 ，不能推出 ，由 也不能推出 ，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出 “ ”的充分必要条件。
4．（2020高一上·静海月考）已知扇形的面积为 ，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题知： ，解得 .
，所以扇形的周长为 .
故答案为：D
【分析】首先由扇形的面积公式代入数值计算出r的值，由此得出弧长的值，从而求出扇形的周长.
5．（2020高一上·和平期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 在 上是增函数，
又 ， ， ， ， ，
根据零点存在性定理可知，函数 的零点所在的大致区间是 ，
故答案为：C。
【分析】利用零点存在性定理求出函数 的零点所在区间。
6．（2023高一上·南海月考）已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值是（ ）.
A．或2 B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，，求得或-1，
当时，， 在上是增函数，不满足题意；
当时，， 在上是减函数，满足题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数定义得求出m，进而代入分析其单调性，确定m的值.
7．（2020高一上·和平期末）已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用指数函数的单调性结合对数函数的单调性，再结合特殊值对应的指数与对数与a，b，c大小关系比较，从而比较出a，b，c的大小。
8．（2020高一上·吉安期中）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.
9．（2020高一上·和平期末）已知函数 ，函数 ，若 有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 ，
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象，
由图可知，当直线在 处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故： ，解得： ，
故答案为：A.
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，再画出函数的图象，再利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数y=f(x)与函数的图象，从而结合已知条件函数 有两个零点， 从而求出实数m的取值范围。
二、填空题：（每个4分，共6题）
10．命题“”的否定为 .
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则“”的否定为“”.
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题直接写答案即可.
11．（2020高一上·和平期末）化简 ．
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式 ，
故答案为：1。
【分析】利用对数的运算法则和指数幂的运算法则，从而化简求值。
12．（2020高一上·和平期末）已知角 是第四象限角，且满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
，即 ，
角 是第四象限角， ，
，
故答案为： 。
【分析】利用诱导公式结合已知条件化简求出的值，再利用角 是第四象限角，结合同角三角函数基本关系式，从而求出角的正弦值，进而求出角的正切值。
13．（2020高一上·和平期末）若 ，则 的最小值为 .
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当 时取等号，
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
14．的单调增区间是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的定义域为，
因为在定义域内单调递减，根据题意可知求函数在上的单调递减区间，
由二次函数的性质可得函数t在上的单调递减减区间为，故函数的单调递增区间是.
故答案为：．
【分析】先求函数的定义域，再结合二次函数的性质，利用复合函数单调性求解即可．
15．（2020高一上·和平期末）若函数 满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】[4，8)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】 对任意的实数 都有 成立，
函数 在 上单调递增，
，
解得： ， ，
故答案为：[4，8)。
【分析】利用增函数的定义结合已知条件，判断出函数是增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题：（49分）
16．求值：
（1）：
（2）
（3）
【答案】（1）解：
原式
（2）解：
原式
（3）解：
原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；三角函数的化简求值；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据分母有理化、根式与分数指数幂互化和指数运算性质即可解答.
（2）根据换底公式和对数运算性质即可解答.
（3）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
17．已知函数的定义域为A，集合.
（1）求集合A；
（2）若全集，，求；
（3）若是的充分条件，求a的取值范围.
【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为，故函数的定义域为；
（2）解：当时，集合，全集，所以 或，
所以或；
（3）解：若是的充分条件，则有，
当时，有，解得，符合题意；
当时，由，则有，解得，
综上可知，a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算；函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据具体函数求定义域的方法求解函数的定义域，即可得到集合A；
（2）将代入集合B，再根据集合的交、补集运算求解即可；
（3）依题意有，按和讨论列不等式，解出a的取值范围即可.
18．（2019高一上·万载月考）函数 的定义域为 ．
（1）设 ，求t的取值范围；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1）解： 在 上单调递增
．
（2）解：函数 可化为： ，
在 上单调递减，在 上单调递增
比较得 ，
，
所以函数的值域为 ．
【知识点】函数的值域；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）由题意，可先判断函数 ， 单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（2）由于函数 是一个复合函数，可由 ，将此复合函数转化为二次函数 ，此时定义域为 ，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数 的值域．
19．设函数且是定义域为的奇函数.
（1）求值；
（2）若，试判断的单调性并求使不等式0恒成立的的取值范围；
（3）若，求在上的最小值.
【答案】（1）解：因为且是定义域上的奇函数，所以，
所以，经检验当时，，，为奇函数，所以.
（2）解：由（1）得，，又且，所以，，所以为减函数，为增函数，为减函数，所以为R上减函数，
恒成立，所以，
所以的取值范围为.
（3）解：，即，解得或（舍去），所以，令，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，设，对称轴为，
开后向上，所以当时，，即在上的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数是定义在R上奇函数，所以求出k的值，然后检验即可；
（2）先判断的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，转化为一元二次不等式恒成立问题，利用图象判定即可；
（3）根据已知条件先求出a的值，然后换元，转换成二次函数在给定区间求最值的问题求解即可.
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