河南省驻马店高级中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省驻马店高级中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 581.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-14 23:00:54 | ||
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文档简介
驻马店高中2023-2024学年高二上期第三次月考试题
数学
注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡对应区域内上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
4.试卷满分：150分；考试时间：120分钟.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.在“”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（ ）
A.2种 B.4种 C.6种 D.12种
5.已知，则的值为（ ）
A. B.1 C.2 D.
6.直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于点），，则下列说法不正确的有（ ）
A.
B.若，则
C.设，到直线的距离分别为，，则
D.若直线，，的斜率分别为，，，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A.设，为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B.过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有3条
C.若曲线为双曲线，则或
D.过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
11.已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（ ）
A.直线与直线共面 B.
C.直线与直线的所成角为60° D.三棱锥的体积为
12.已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，.则下列说法正确的是（ ）
A.四边形的面积的最小值为
B.最小时，弦长为
C.最小时，弦所在直线方程为
D直线过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.从6名短跑运动员中选出4人参加接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有______种参赛方案（结果用数字作答）.
14.端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽.思原随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则______.
15.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______.
16.若、为椭圆的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）.设直线，，.
（1）若直线，，交于同一点，求的值；
（2）若直线与直线关于直线对称，求直线的方程.
18（12分）.已知展开式的系数和为16，求的展开式中，
（1）常数项；
（2）系数最大的项.
19（12分）.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同.
（1）从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；（2）若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率.
20（12分）已知直角三角形的顶点，直角顶点的坐标为，顶点在轴上.
（1）求直角三角形的外接圆的一般方程；
（2）设的中点为，动点满足，为的中点，其中为坐标原点，为三角形的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.
21（12分）.2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景.灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式.现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
22（12分）.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，且焦距为，椭圆的上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点，且与椭圆交于，两点（不与重合），直线与直线分别交直线于，两点.判断是否存在定点，使得点，关于点对称，并说明理由.
驻马店高中2023-2024学年高二上期第三次月考
数学参考答案
1-8.DBDCA BCC 9.ABD 10.AD 11.BD 12.AD
13.240 14. 15. 16.
17.（1）∴∴
（2）取其关于直线对称点
∴∴
18.（1）因为展开式的系数和为16，所以
故，设的展开式的第为，，
令得，，所以常数项为.
（2）设的展开式的第项系数最大
，解得，所以系数最大的项为第3或第4项，
所以系数最大的项为或
19.（1）设“从1号箱中第1次取得红球”为事件，“从1号箱中第2次取得红球”为事件，，，所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为.
（2）设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件，则事件，，彼此互斥，，，，
，，.
所以.
所以取出的这个球是红球的概率为.
20.【答案】（1）（2）
【小问1详解】由题意知：直线的斜率为，∵，
∴直线的斜率为，直线的方程为：，令，则，∴
由于三角形是以为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为，
从而外接圆的圆心为，半径为3
∴三角形外接圆的方程为：，其一般方程为：
【小问2详解】
由（1）知：三角形的外接圆的圆心，∵为的中点，∴
∵，∴的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为：则，，从而，，
∴点的轨迹方程为：①
设，，∵为的中点，则有，从而，∴
代入①得点的轨迹方程为：.
21.【详解】（1）因为，平面，是圆柱底面的直径，
所以，则，，，
则有，所以；
又为的中点所以，，，，
则有，所以；又，所以平面，平面，所以平面平面；
（2）由题意可知，平面，，
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为
则，，，，，
，，.
由（1）知，平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
22.【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）依题意，，，，，，
则，解得，而半焦距，于是，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
由消去得，
，即，
则，，
直线的方程为，直线的方程为，
设，两点的纵坐标分别为，，于是，，
显然
，因此
所以存在，使得点，关于点对称.
数学
注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡对应区域内上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
4.试卷满分：150分；考试时间：120分钟.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.在“”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（ ）
A.2种 B.4种 C.6种 D.12种
5.已知，则的值为（ ）
A. B.1 C.2 D.
6.直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于点），，则下列说法不正确的有（ ）
A.
B.若，则
C.设，到直线的距离分别为，，则
D.若直线，，的斜率分别为，，，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A.设，为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B.过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有3条
C.若曲线为双曲线，则或
D.过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
11.已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（ ）
A.直线与直线共面 B.
C.直线与直线的所成角为60° D.三棱锥的体积为
12.已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，.则下列说法正确的是（ ）
A.四边形的面积的最小值为
B.最小时，弦长为
C.最小时，弦所在直线方程为
D直线过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.从6名短跑运动员中选出4人参加接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有______种参赛方案（结果用数字作答）.
14.端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽.思原随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则______.
15.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______.
16.若、为椭圆的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）.设直线，，.
（1）若直线，，交于同一点，求的值；
（2）若直线与直线关于直线对称，求直线的方程.
18（12分）.已知展开式的系数和为16，求的展开式中，
（1）常数项；
（2）系数最大的项.
19（12分）.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同.
（1）从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；（2）若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率.
20（12分）已知直角三角形的顶点，直角顶点的坐标为，顶点在轴上.
（1）求直角三角形的外接圆的一般方程；
（2）设的中点为，动点满足，为的中点，其中为坐标原点，为三角形的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.
21（12分）.2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景.灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式.现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
22（12分）.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，且焦距为，椭圆的上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点，且与椭圆交于，两点（不与重合），直线与直线分别交直线于，两点.判断是否存在定点，使得点，关于点对称，并说明理由.
驻马店高中2023-2024学年高二上期第三次月考
数学参考答案
1-8.DBDCA BCC 9.ABD 10.AD 11.BD 12.AD
13.240 14. 15. 16.
17.（1）∴∴
（2）取其关于直线对称点
∴∴
18.（1）因为展开式的系数和为16，所以
故，设的展开式的第为，，
令得，，所以常数项为.
（2）设的展开式的第项系数最大
，解得，所以系数最大的项为第3或第4项，
所以系数最大的项为或
19.（1）设“从1号箱中第1次取得红球”为事件，“从1号箱中第2次取得红球”为事件，，，所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为.
（2）设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件，则事件，，彼此互斥，，，，
，，.
所以.
所以取出的这个球是红球的概率为.
20.【答案】（1）（2）
【小问1详解】由题意知：直线的斜率为，∵，
∴直线的斜率为，直线的方程为：，令，则，∴
由于三角形是以为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为，
从而外接圆的圆心为，半径为3
∴三角形外接圆的方程为：，其一般方程为：
【小问2详解】
由（1）知：三角形的外接圆的圆心，∵为的中点，∴
∵，∴的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为：则，，从而，，
∴点的轨迹方程为：①
设，，∵为的中点，则有，从而，∴
代入①得点的轨迹方程为：.
21.【详解】（1）因为，平面，是圆柱底面的直径，
所以，则，，，
则有，所以；
又为的中点所以，，，，
则有，所以；又，所以平面，平面，所以平面平面；
（2）由题意可知，平面，，
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为
则，，，，，
，，.
由（1）知，平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
22.【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）依题意，，，，，，
则，解得，而半焦距，于是，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
由消去得，
，即，
则，，
直线的方程为，直线的方程为，
设，两点的纵坐标分别为，，于是，，
显然
，因此
所以存在，使得点，关于点对称.
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