2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）联考数学模拟试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）联考
数学模拟试卷（12月份）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi+2＝2z，则在复平面内z对应的点的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
2．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（　　）
A．l⊥α B．l∥α C．l α D．l∥α或l α
3．（5分）已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）已知向量（1，0），向量（1，1），则|34|的值为（　　）
A．17 B．5 C． D．25
5．（5分）直线x+y﹣b＝0与曲线x有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．|b|＝2 B．﹣2≤b≤2
C．﹣2≤b≤2或b＝2 D．﹣2≤b＜2或b＝2
6．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M，N．若以MN为直径的圆经过右焦点F2，且|MF2|＝|NF2|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知椭圆的上焦点为F，M是椭圆上一点，点，当点M在椭圆上运动时，|MA|+|MF|的最大值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．4
8．（5分）在△OAB中，OA＝AB，∠OAB＝120°．若空间点P满足S△PABS△OAB，则直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是（　　）
A． B． C． D．1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列说法中正确的有（　　）
A．若事件A，B互斥，且P（A+B）＝1，则A，B是对立事件
B．不可能事件的概率为0
C．若A+B是必然事件，则P（A）+P（B）＝1
D．若事件A，B是对立事件，则A+B是必然事件
（多选）10．（5分）关于双曲线1，下列说法正确的有（　　）
A．实轴长为4
B．焦点为（±2，0）
C．右焦点到一条渐近线的距离为4
D．离心率为5
（多选）11．（5分）如图，在矩形AEFC中，，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P﹣ABC，则（　　）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥P﹣ABC外接球的半径为
（多选）12．（5分）设T为抛物线C：y2＝4x上一定点，直线l交C于P，Q两点（P，Q异于点T），记直线PT，QT的斜率分别为k1，k2，则下列条件中，能使直线l过定点的是（　　）
A． B．k1k2＝﹣1
C．k1+k2＝1 D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知为一个单位向量，与的夹角为45°，若在上的投影向量为，则　 　．
14．（5分）甲，乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，方差为20，乙的平均尺寸为12，方差为40．那么全部100件产品的平均尺寸为 　 　，方差为 　 　．
15．（5分）圆锥的母线长是12，母线与轴的夹角是30°，则圆锥的侧面积是 　 　．
16．（5分）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数f（x），f（x）的最小值为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且点P的横坐标为3．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）点A、B是第一象限内抛物线E上的两个动点，点C（t，0）为x轴上的动点，若△ABC为等边三角形，求实数t的取值范围．
18．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．
（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；
（2）用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a、b、c，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a、b、c的所有可能取值．（不要求证明）
19．（12分）在三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，OA⊥OB，∠AOC＝∠BOC＝60°，M，N分别为AB，OC的中点，设，，．
（1）用表示，并求；
（2）求OM与NB所成角的余弦值．
20．（12分）已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x﹣y﹣5＝0上且与y轴切于点M（0，﹣2），
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，BP＝DP，∠BCD＝60°，AD⊥PD．
（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）若线段PC上存在点F，满足，且平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为，求实数λ的值．
22．（12分）已知椭圆经过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M在椭圆C上，求△ABM面积的最大值．
2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）联考数学模拟试卷（12月份）
答案与解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
由zi+2＝2z，得（a2+b2）i+2＝2a+2bi，
∴，解得a＝1，b＝1，
∴z＝1+i，
则在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．
故选：A．
2．【解答】解：根据题意，，
则有，
∴l∥α或l α．
故选：D．
3．【解答】解：抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），焦点为F（，0），准线为l：x，
M（﹣1，y0）是抛物线上一点，则y02＝2p，
由题意可得D（，），
由于△MFD为等边三角形，则有|MF|＝|MD|＝|FD|，
即有12p，可得p．
故选：A．
4．【解答】解：根据题意，向量（1，0），向量（1，1），则34（﹣1，﹣4），
故|34|；
故选：C．
5．【解答】解：曲线x有即 x2+y2＝4（x≥0），表示一个半圆（该半圆位于x轴及x轴右侧的部分）．
如图，A（0，2）、B（2，0）、C（0，﹣2），
当直线x+y﹣b＝0经过点C时，0﹣2﹣b＝0，求得 b＝﹣2；
当直线y＝﹣x+b经过点B、点A时，0+2﹣b＝0，求得b＝2；
当直线x+y﹣b＝0和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得2，求得b＝2，或 b＝﹣2（舍去），
故要求的实数b的范围为﹣2≤b＜2或b＝2，
故选：D．
6．【解答】解：若若以MN为直径的圆经过右焦点F2，
则，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2为等腰直角三角形，
设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，
两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2a，
在直角三角形HF1F2中可得
4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，
化为c2＝3a2，
即e．
故选：C．
7．【解答】解：取椭圆的下焦点E，取椭圆上任一点M，由题意可得A在椭圆外，
由椭圆的定义可得：|MA|+|MF|＝|MA|+2a﹣|ME|≤2a+|AE|，当且仅当A，E，M三点共线时取得最大值，
由椭圆的方程可得c2＝a2﹣b2＝9﹣5＝4，所以下焦点E（0，﹣2），2a＝6，
所以|AE|4，
所以|MA|+|MF|的最大值为6+4＝10，
故选：B．
8．【解答】解：设OA＝AB＝2，又∠OAB＝120°，
∴△OAB的面积为，
又S△PABS△OAB，而AB＝2，
∴易得P到AB的距离为，
∴P在以AB为轴以为半径的圆柱的母线l所在直线上，
∴要使OP与平面OAB所成角最大，
则OP必须垂直于柱的母线l所在直线，且与圆柱母线l相切于点P，
设切点的半径为PM，则PM垂直于母线l所在直线，
∴母线l所在直线垂直于OP与半径PM所确定的平面OPM，
又母线l所在直线平行于轴AB，
∴AB垂直于平面OPM，又AB 平面OAB，
∴平面OPM⊥平面OAB，
∴OP与底面OAB所成最大角为∠POM，
∵AB垂直于平面OPM，∴AB⊥OM，
即M为平面OAB内，且OM垂直于AB所在直线，垂足点为M，
又OA＝2，∠OAM＝60°，OM⊥MB，
∴易得OM，又PM，
∴sin∠POM，∴∠POM＝30°，
∴tan∠POM＝tan30°．
故直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：事件A，B互斥，且P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1，
所以A，B为对立事件，A正确；
不可能事件的概率为0，B正确；
若A+B是必然事件，则P（A+B）＝1，但P（A）+P（B）＝1不能判断，C错误；
若事件A，B是对立事件，则A+B是必然事件，D正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：依题意a＝2，b＝4，c2，
所以实轴长2a＝4，A选项正确；
焦点为（±2，0），B选项错误；
右焦点（2，0）到渐近线2x﹣y＝0的距离为4，C选项正确；
离心率e，D选项错误．
故选：AC．
11．【解答】解：由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP 平面PAC，
所以BP⊥平面PAC，
在△PAC中，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在△PAC中，，
，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点A到平面PBC的距离为d，
由VB﹣PAC＝VA﹣PBC，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以△PAC的外接圆的半径，
设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，
又因为BP⊥平面PAC，
则，所以，
即三棱锥P﹣ABC外接球的半径为，故D正确．
故选：BD．
12．【解答】解：设T（a，b），由题意知，直线l不过点T，
设直线l方程为m（x﹣a）+n（y﹣b）＝1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
则k1，k2，
令X＝x﹣a，Y＝y﹣b，
则x＝X+a，y＝Y+b，
∴mX+nY＝1，（Y+b）2＝4（X+a），k1，k2，
∵T为抛物线C：y2＝4x上，
∴b2＝4a，∴Y2+2bY﹣4X＝0，
∴Y2+（2bY﹣4X）（mX+nY）＝0，
即（2bn+1）Y2+（2mb﹣4n）XY﹣4mX2＝0，两边同除以X2得，
（2bn+1）（）2+（2mb﹣4n）4m＝0，①
则k1，k2是方程①的两根，
∴k1+k2，k1k2．
对于A：若1，即k1+k20，
∴mb＝2n，令m＝1，2（x﹣a）+m（y﹣b）＝1，②
令m＝﹣1，﹣2（x﹣a）﹣b（y﹣b）＝1，③
则方程组②③无解，
∴直线2m（x﹣a）+mb（y﹣b）＝1不过定点，故A不满足；
对于B：∵k1k21，∴4m﹣2bn＝1，
∵直线l方程为m（x﹣a）+n（y﹣b）＝1，
令x＝4+a，y＝﹣b，则直线l过点（4+a，﹣b），故B正确；
对于C：由k1+k21，得﹣2mb+n（4﹣2b）＝1，
令x＝2b+a，y＝4﹣b，则直线l过点（2b+a，4﹣b），故C正确；
对于D：∵1，
∴m（b﹣2）﹣2n＝0，令m＝1，则2（x﹣a）+（b﹣2）（y﹣b）＝1，④
令m＝﹣1，则﹣2（x﹣a）﹣（b﹣2）（y﹣b）＝1，⑤
则方程组④⑤无解，∴直线2m（x﹣a）+m（b﹣2）（y﹣b）＝1不过定点，故D不满足．
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：∵在上的投影向量为，且||＝1，
∴2，
∴2，
又∵与的夹角为45°，
∴||||cos45°2，
∴||＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：根据题意，设甲生产的零件依次为a1，a2，……，a40，乙生产的零件依次为b1，b2，……，b60，
甲的平均尺寸为10，方差为20，则（a1+a2+……+a40）＝10，变形可得a1+a2+……+a40＝40×10＝400，
S2甲（a12+a22+……+a402）﹣102＝20，变形可得：a12+a22+……+a402＝120×40＝4800，
乙的平均尺寸为12，方差为40，则（b1+b2+……+b40）＝10，变形可得b1+b2+……+b60＝60×12＝720，
S2乙（b12+b22+……+b602）﹣122＝40，变形可得：b12+b22+……+b602＝184×60＝11040，
故全部100件产品的平均尺寸（a1+a2+……+a40+b1+b2+……+b60）11.2；
其方差S2（a12+a22+……+a402+b12+b22+……+b602）﹣11.22＝32.96；
故答案为：11.2，32.96．
15．【解答】解：根据题意，如图所示，
圆锥的顶点为S，底面圆的圆心为O，则母线长SA＝12，
因为圆锥的母线与轴的夹角是30°，可得，
即圆锥的底面圆的半径为r＝6，
所以圆锥的侧面积为S＝πr SA＝π×6×12＝72π．
故答案为：72π．
16．【解答】解：根据题意，函数f（x），
其几何意义为x轴上的点到点（﹣1，﹣1）和（1，﹣1）的距离之和，
设A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），
与A关于x轴对称的点为A′（﹣1，1），则|BA′|2，
必有f（x）2，
即f（x）的最小值为2，
故答案为：2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）由题意可设P（3，y0），其中y0＞0，
双曲线的渐近线方程为，
∵点P在双曲线的渐近线上，∴，
则P，又点P在抛物线y2＝2px上，∴12＝2p×3，解得p＝2，
故抛物线E的标准方程为：y2＝4x；
（2）设直线AB的方程为x＝my+n，联立，消去x整理得，y2﹣4my﹣4n＝0，
Δ＝16m2+16n＞0，即m2+n＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
∵点A、B在第一象限，∴y1+y2＝4m＞0，y1y2＝﹣4n＞0，故m＞0，n＜0，
设线段AB的中点为M（x3，y3），则，∴点M的坐标为（2m2+n，2m），
∴，
点C（t，0）到直线x＝my+n的距离，
∵△ABC为等边三角形，∴CM⊥AB，，
∴，，
∴t﹣n＝2m2+2①，②，
将①代入②可得③，∴，∴，
将③代入①可得，∴，
故t的取值范围为．
18．【解答】解：（1）根据折线图体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13＝30（人），
所以该校高一年级学生“体育良生”的人数为（人）．
（2）用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为．
（3）由于甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70，80），b∈[80，90），其中a，b，c∈N，当三人的体育成绩方差s2最小时，a、b、c的所有可能取值79.84，90或79，85，90．
19．【解答】解：（1），
∵OA＝OB＝OC＝2，OA⊥OB，，
∴222＝4，0，2×2cos60°＝2，
∴1；
（2），，
1，
||，||，
．
所以，OM与NB所成角的余弦值为．
20．【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣y﹣5＝0上且与y轴切于点M（0，﹣2），
所以设圆心坐标为C（a，b），则，
解得a＝3，b＝﹣2，
所以圆心C（3，﹣2），半径，
故圆的方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝9．
（2）由（1）知圆C的圆心为（3，﹣2），半径r＝3，
由弦长为4，故弦心距d＝1，
因为直线l过点P（2，0），
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣0＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
故弦心距，
故，解得，
所以直线方程为，
即3x+4y﹣6＝0，
当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件，
故l的方程为3x+4y﹣6＝0或x＝2．
21．【解答】证明：（1）因为BC＝CD＝2，∠BCD＝60°，所以△BCD为三角形，
所以BD＝2，∠CBD＝60°，
因为AB∥CD，∠BCD＝60°，
所以∠ABC＝120°，则∠ABD＝60°，
因为AB＝4，BD＝60°，
在三角形ABD中，由余弦定理有：AD2＝AB2+BD2﹣2AB BD cos∠ABD12，即AD，
所以AD2+BD2＝AB2，所以AD⊥BD，
因为AD⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD 平面PBD，所以AD⊥平面PBD，
因为AD 平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD；
解：（2）取BD的中点M，连接PM，
因为BP＝DP，BD＝2，所以PM⊥BD，且PM，
由（1）知平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PM 平面PBD，所以PM⊥平面ABCD，
过D作PM的平行线Dz，则DA，DB，Dz两两互相垂直，
以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，1，3），C（，1，0），
所以，（2，0，0），P（0，1，3），
设F（x，y，z），因为，所以（）＝λ（﹣x，1﹣y，3﹣z），
解得，y＝1，，即，
所以，
设平面BDF的法向量为，
则，令z1＝1，则，y1＝0，得，
设平面ADP的法向量为，
则，令z2＝1，得y2＝﹣3，x2＝0，得，
因为平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为，
所以，
解得λ＝±2，因为λ≥0，所以λ＝2．
22．【解答】解：（1）椭圆经过两点，
则，解得，故椭圆方程为．
（2），设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为l：y＝﹣x+m，
，即5x2﹣8mx+4（m2﹣1）＝0，Δ＝80﹣16m2＝0，即，
要使△MAB的面积最大，则M为直线l与椭圆在第三象限的切点，此时，
l的方程为：，又直线AB的方程为x+y﹣1＝0，
点M到直线AB的最大距离为直线AB与直线l的距离d，，
又，
所以△MAB的最大面积．
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