2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）联考数学模拟试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）联考数学模拟试卷（12月份）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）已知三点M（﹣1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（5分）已知点A（﹣1，6），B（0，1），若直线l：（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）＝0与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[0，1] D．[﹣1，0]∪[1，+∞）
3．（5分）设点关于坐标原点的对称点是N，则|MN|＝（　　）
A．4 B． C． D．2
4．（5分）已知x，a，b，c，y成等差数列，d，y，e，x也成等差数列，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0与直线l切于点，则直线l的方程为（　　）
A．xy+2＝0 B．xy+4＝0 C．xy﹣4＝0 D．xy﹣2＝0
6．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于，则n的最大值为 （　　）
（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（5分）如图，在空间四边形OABC中，点E在OA上，满足，点F为BC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，则a2023的值可能为（　　）
A．1 B．﹣1 C．22022 D．
（多选）10．（5分）已知直线l：kx﹣y﹣k+1＝0（k≠1）与⊙O：x2+y2＝9交于A，B两点，则（　　）
A．直线l恒过定点（1，1）
B．使得的直线l有2条
C．△OAB面积的最大值为
D．⊙O在A，B两点处的切线的交点在直线x+y﹣9＝0上
（多选）11．（5分）方程表示的曲线中，可以是（　　）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
（多选）12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则（　　）
A．.PA⊥BD
B．.BC⊥平面PBD．
C．.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D．.PB与平面ABCD所成角为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）过三点（0，2），（﹣2，1），（0，0）的圆的方程　 　．
14．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，．则与的夹角的余弦值为 　 　；在的投影向量　 　．
15．（5分）设Sn是等比数列{an}（n∈N*）的前n项和，且a3，S3，则a1＝　 　．
16．（5分）已知离心率为的椭圆1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知平面内两点M（4，﹣2），N（2，4）．
（1）求MN的垂直平分线方程；
（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18．（12分）已知数列{an}的通项公式为a1，an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若100，求满足条件的最大整数值．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线间的距离为2，且点P（m，2）抛物线C上．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且PA⊥PB，PD⊥AB于点D，Q（0，3），求DQ的最大值．
20．（12分）数列{an}满足a1＝1，an+1an+1．
（1）写出a2，a3，a4，a5；
（2）求数列{an}的通项公式．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，AB＝AP，点E，F分别为BP，CP的中点．
（1）证明：BP⊥平面AEF；
（2）若AD＝2AB＝4，求平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为k＝1的直线过椭圆C的右焦点，交椭圆A，B两点，求AB线段的长．
2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）联考数学模拟试卷（12月份）
答案与解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：三点M（﹣1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），
故，，
故．
故选：C．
2．【解答】解：由直线l：（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）＝0，
变形可得（2x﹣y﹣1）k+x+2y﹣8＝0，由可得直线l恒过定点P（2，3），
kPA1，kPB1，
若直线l：（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）＝0与线段AB有交点，
则直线l斜率的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．
3．【解答】解：∵点关于坐标原点的对称点是N（﹣1，1，），
∴|AB|4．
故选：A．
4．【解答】解：∵x，a，b，c，y成等差数列，
∴c﹣a（y﹣x），
又∵d，y，e，x成等差数列，
∴e﹣d＝x﹣y，
∴．
故选：D．
5．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心坐标（2，0），
所以，由题意与直线l垂直的斜率为：，所以切线的斜率为：，
所以切线方程为：y（x﹣1），即xy+2＝0；
故选：A．
6．【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为，
第二次操作去掉的线段长度之和为，
第三次操作去掉的线段长度之和为，
……，
第n次操作去掉的线段长度之和为，由题意可知，，
则，
则nlglg30＝﹣1﹣lg3，
所以n（lg2﹣lg3）≥﹣1﹣lg3，
即n，
又lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，
代入上式，可得n≤8，
故选：C．
7．【解答】解：∵，点F为BC的中点，
∴，（），
∴，
故选：D．
8．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，焦距为2，
∴m﹣2＞5﹣m＞0并且m﹣2﹣5+m＝1，
解得m＝4，
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：依题意，由，
可得，
即，
化简整理，得（an+1an﹣1）（2an+1﹣an）＝0，
∴，或an+1an＝1，
①当时，∵a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴，
②当an+1an＝1时，可得an＝1，下面用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝1，命题成立，
当n＝k（k≥1，k∈N*），假设ak＝1成立，
则当n＝k+1时，∵ak+1ak＝1，
∴，命题成立，
由上可知，an＝1成立，此时a2023＝1，
∴a2023＝1或a2023＝（）2022．
故选：AD．
10．【解答】解：对于A，直线方程可化为l：k（x﹣1）﹣（y﹣1）＝0，显然x＝1 y＝1，
即直线l恒过定点（1，1），故A正确；
对于B，由，圆的半径为3，得弦心距，
结合图形及A易知，满足题意得弦所在直线为x＝1或y＝1，即直线l斜率k＝0，或不存在，
由题意l斜率存在，故只有1条满足题意，故B错误；
对于C，设弦心距为d，则△OAB的面积，
结合A可知，由二次函数的单调性可知，当时，，故C正确；
对于D，设两切线交点为P（x0，y0），则O、P、A、B四点共圆，以OP为直径，
故其圆心为，半径为，该圆方程为，
与x2+y2＝9作差得切点弦AB的方程为x0x+y0y＝9，
又AB过点（1，1），所以x0+y0＝9 x+y＝9，
即交点P在直线x+y＝9上，故D正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：因为2﹣m≠3﹣m，则该曲线不表示圆，故C错误；
若（2﹣m）（3﹣m）＜0，即2＜m＜3时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确；
若，即m＜2时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确；
该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；
故选：AB．
12．【解答】解：对于A，设PD＝AD＝1，则AB＝2，由余弦定理可得BD，
∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴BD⊥PD，
又AD∩PD＝D，
∴BD⊥平面PAD，∴PA⊥BD，故A正确；
对于B，由A选项分析易知BC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，
∴BC⊥PD，又BD∩PD＝D，
∴BC⊥平面PBD，故B正确；
对于C，∵AB∥CD，∴∠PCD为异面直线AB和PC所成角，
∵PD＝1，CD＝AB＝2，∴PC，
∴cos∠PCD，故C错误；
对于D，∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，
∴tan∠PBD，∴∠PBD，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：由于所求的圆经过三点（0，2）、（﹣2，1）和（0，0），
故圆心在直线y＝1上，设圆心的坐标为M（a，1），且a＜0，
根据圆心M到（﹣2，1）和（0，0）的距离相等，
可得a+2，求得a，故圆心M（，1），半径为a+2，
故要求的圆的标准方程为（x）2+（y﹣1）2，
故答案为：（x）2+（y﹣1）2．
14．【解答】解：因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为．
故答案为：；（1，﹣1，0）．
15．【解答】解：因为等比数列{an}中，a3，S3，
当q＝1时，a1，
q≠1时，，
解可得，q，a1，
综上，a1＝2或，
故答案为：2或，
16．【解答】解：由离心率为e，…①
椭圆1（a＞b＞0）中，||+||＝2a；
0，
∴⊥，
∴△PF1F2的面积为 || ||＝4，
∴|| ||＝8，
又4c2，
∴4c2+16＝4a2，…②
由①②解得a2＝12，c2＝8，∴b2＝4，
∴椭圆的方程为1．
故答案为：1．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）平面内两点M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），
又直线MN的斜率为，
所以线段MN的中垂线的斜率为，…………………（3分）
线段MN的中垂线的方程为，
即x﹣3y＝0．…………………（5分）
（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN＝﹣3，
所以此时直线l的方程为y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；…………………（7分）
当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，
所以直线方程为x＝3；…………………（9分）
综上知，直线l的方程为x＝3或3x+y﹣9＝0．…………………（10分）
18．【解答】解：（1）∵a1，an+1，
∴，
∴，又，
∴{}是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∴，又为单调增函数，
∴满足的最大正整数n为99．
故满足条件的最大整数值为99．
19．【解答】解：（1）因为抛物线C：y2＝2px的焦点到准线间的距离为2，
所以p＝2．
又因为点P（m，2）抛物线C上，
所以m＝1．
（2）设，，
所以，．
因为PA⊥PB，
所以，
所以y1y2+2（y1+y2）+20＝0，
又直线AB的方程为：，
即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，
所以直线AB：4x﹣（y1+y2）（y+2）﹣20＝0，
所以直线恒过M（5，﹣2），
因为PA⊥AB于点D，
所以点D在以PM为直径的圆上，
即圆心为（3，0），半径为，
则，
所以DQ的最大值．
20．【解答】解：（1）由题意，a2a1+11+1，
a3a2+11，
a4a3+11，
a5a4+11．
（2）根据题意，可设an+1﹣t（an﹣t），
化简整理，得an+1ant，
由an+1an+1，可知t＝1，
解得t＝2，
∴an+1﹣2（an﹣2），
∵a1﹣2＝﹣1，
∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，
∴an﹣2＝﹣（）n﹣1，
∴an＝2﹣（）n﹣1，n∈N*．
21．【解答】（1）证明：因为AB＝AP，所以AE⊥BP，
又AP⊥平面ABCD，且BC 平面ABCD，
则AP⊥BC，
又BC⊥AB，且AP∩AB＝A，
故BC⊥平面PAB，
因为BP 平面PAB，
故BC⊥BP，
因为点E，F分别为BP，CP的中点，
则EF∥BC，
所以EF⊥BP，
又AE∩EF＝E，
故BP⊥平面AEF；
（2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，2，1），
所以，
设平面AEF的法向量为，
则，
令x＝1，则z＝﹣1，
故，
设平面AFP的法向量为，
则，
令b＝﹣1，则a＝2，
故，
所以，
故平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值为．
22．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），F2（1，0），
所以|F1F2|＝2，
又|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，
解得a＝2，
则b2＝a2﹣c2＝3，
故椭圆C的标准方程为；
（2）因为斜率为k＝1的直线过椭圆C的右焦点F2（1，0），
所以直线方程为y＝x﹣1，
联立，消去y并整理得7x2﹣8x﹣8＝0，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
故．
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