山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（含答案）

鄄城县2023-2024学年高一上学期1月月考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C．D．
6．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数
C．是偶函数 D．是奇函数
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知集合，，若，，则（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为或
D．关于的不等式解集为
11．已知函数的图象关于直线对称，函数对任意非负实数，都满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．不等式的解集为
D．存在，对任意都有
12．在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A． B．的最大值为2
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为_________．
14．若函数，是偶函数，则_________．
15．如图，直角中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点．其中的面积与扇形的面积之比为3：2，记，则_________．
16．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）已知，求的值．
18．（12分）已知集合，或
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．已知是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
20．（12分）已知函数，．
（1）当时，的最大值及相应的值；
（2）将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值．
21．设函数，将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于轴对称．
（1）求的值；
（2）在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像；
（3）设关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）求证：；
（2）若对任意的，使得有解，求实数的取值范围；
（3）若时，函数有四个不同零点，求实数的取值范围．
高一数学参考答案
一、单项选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B B C B A B
二、多项选择题：
9 10 11 12
BD BC ACD ACD
8．【详解】解：若在上单调递增，则
解得，即实数的取值范围为．故选：B．
11．【详解】由的图象关于直线对称，得，
即，亦即，函数为偶函数，A正确；
由，得，
设且，则，
令，，则，
即，因此在上单调递减，
令，则，，B错误；
不等式，即有，
于是，解得，C正确；
当时，对任意，都有，D正确．故选：ACD
12．【详解】，
，
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确．故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．1 15． 16．① 3
16．【详解】由题意知，当时，，
由新定义的函数知，，则，
有，即，
解得；
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1）
（2）
18．（12分）
【解析】（1）若，则集合，
又或，所以或．
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，
①当时，，解得，满足题意；
②当时，由，则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
19．（12分）
【解析】（1）当时，有，而是偶函数，则
，
所以函数的解析式是．
（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，
由得：，于是得，
即有，整理得：，解得，
所以不等式的解集为．
20．（12分）
【解析】（1）解：由函数
因为，可得，
即，所以，
所以，
又由，可得，
当时，即时，函数的最大值为2．
（2）解：将的图象向左平移个单位后关于原点对称，
可得，
因为关于原点对称，即为奇函数，可得，
因为，当时，；当时，，
所以的所有可能的取值为或．
21．（12分）
【解析】
（1）
．
，是偶函数，并且，；
（2）由（1）的结论得，取5点得下表：
作下图：
0 0 0
（3）由（1）得，原方程为：，
，…①，
令，，则关于的函数图像如下图：
由图可知：当时，任意一个对于2个，
当时，任意一个对应1个，并且；
变为：，即，
即不论为何值，总是原方程的一个解，
欲使得原方程有2个解，必须是，；
综上，，．
22．（12分）【解析】
（1）因为
所以，；
（2）
，，
，即；
（3）令，因为，所以，，
函数有四个不同零点等价于在有两个不同的零点
由二次方程根的分布知识可得：，解得．