河北省张家口市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

张家口市2023-2024学年高一上学期期末考试
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知，则的零点所处的区间是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5.，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则ab的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.4
7.函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各式最小值为2的是（ ）
A. B.（且）
C. D.为第一象限角）
10.已知，则在直角坐标系中角的终边可能在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.下列说法正确的是（ ）
A.若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点
B.函数有且只有1个零点
C.函数有2个零点
D.若，则函数有3个零点
12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称 B.
C. D.方程有5个不等的实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.终边落在第一象限的角的集合表示为_________________.
14.扇形的圆心角为弧度，周长为7米，则扇形的面积为___________平方米.
15.已知，则的最小值为___________.
16.在函数①，②，③，③，⑤中，满足对于定义域内任意的，且，都有的是___________.（请将所有满足条件的函数序号填在横线上）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知为角终边上一点.
（1）求和的值；
（2）求的值.
18.（本题满分12分）
设不等式的解集为.
（1）求集合A；
（2）若，求实数m的取值范围.
19.（本题满分12分）
近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系：
.
（1）欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围；
（2）当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量（精确到0.1）.
20.（本题满分12分）
已知函数满足以下几个条件
①，；②当时，；③.
（1）求证：为奇函数；
（2）解不等式：.
21.（本题满分12分）
已知函数，且.
（1）求实数a的值；
（2）若的图象与直线有且只有一个交点，求实数m的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1），，求a的取值范围；
（2）若，，，求a的取值范围.
张家口市2023-2024学年高一上学期期末考试
数学答案
1.C
【解析】对于集合A，，故.
对于集合B，，故..故选：C.
2.C
3.B
【解析】，为上的减函数.
，
根据区间上零点存在定理，在区间上必有一个零点.故选：B.
4.D
【解析】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似.故选：D.
5.B
【解析】，，，故c最小.
将，，故，即.故选：B.
6.A
【解析】解析：
由不等式的性质，，所以
所以，所以，即的最大值为.故选：A.
7.D
【解析】在上单调递增等价于函数满足①在上单调递增，②且.即，解得，
因为是的充分不必要条件.故选：D.
8.D
【解析】设，易知在上单调递增.
原式可整理为，分离变量可得即.因为在上单调递增，所以.故选D.
9.AC
【解析】对于A，当且仅当时取得最小值2，故A正确；
对于B，当，时，，，故B错误；
对于C，，当且仅当，时取得最小值2，故C正确；
对于D，，但由于为第一象限角，所以，使得不等式等号不能取到，故D错误.故选：AC.
10.BD
【解析】.
故.所以角在第二象限或第四象限.故选：BD.
11.BCD
【解析】对于A，在上连续，且，但.故A错误；
对于B，方法一：在上单调递增，当时，，
当时，，由零点存在定理可知函数有且只有1个零点.
方法二：，两个函数图象显然有一个交点，故B正确；
对于C，可转化为，函数，图象有两个交点.故C正确；
对于D，令，则由解得或
若，即，，方程有两个不等正根
若，即，解得
综上共三个零点，故D正确.故选：BCD.
12.ABD
【解析】对于A，令，，则，可知函数满足当时，，即函数的图象关于直线对称.故A正确；
对于BC，方法如下
方法一：利用函数图象既关于原点对称又关于直线对称，且当时，.可以将图象拓展如图所示
由图象规律可知B正确；，故C错误；
方法二：由A选项可知.
又因为为奇函数，所以.可得到，用换掉x可得，再用换掉x可得
对于D，的解的个数问题可转化为曲线与图象的交点个数问题如图所示
故选：ABD.
13.
14.
【解析】设扇形半径为r，由扇形弧长公式可知弧长为，周长为.
故，.故面积.
15.32
【解析】，可得
，又因为
所以.以上不等式等号的取得条件都是.
16.②⑤（全部都写对才可给分）
【解析】设函数的定义域为I，由且可得，即.令，由题意对于任意的，当时，都有，即在定义域I上单调递减，①③两个函数显然不满足.
对于②为减函数也为定义域内的减函数，故为上的减函数，满足题意.同理⑤满足.
对于④在和上都单调递减，但是在定义域上不是单调递减函数，故④不满足.应填入②⑤.
17.【解析】（1）由三角函数的定义可得 （2分）
（4分）
（1）利用诱导公式化简
（8分）（注：一个诱导公式1分）
（10分）
18.【解析】（1），即 （2分）
解得，即 （3分）
所以 （4分）
（2）因为
①当时，即，解得，满足题意 （6分）
②当时，需满足 （9分）（每个不等式1分）
解得 . （11分）
综上满足的m的取值范围为 （12分）
19.【解析】（1）电动自行车流量不少于10千辆/小时，
即 （2分）
化简可得 ， 解得 ，
又因为最高设计时速为25千米/小时，故，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则 （4分）
（2） （6分）
由基本不等式可得 . （8分）
当且仅当“”即“”时取到最小值. （10分）
此时电动车流量有最大值，最大值为
故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时. （12分）
20.【解析】（1）因为，
令，可得，故. （1分）
令，
所以. （3分）
即，，所以为奇函数. （4分）
（2）取，且
由①可得
即 （6分）
因为，所以.
由②知 故
所以在上单调递增 （8分）
由③可知 ， （9分）
因为在上单调递增，所以且 （10分）
即，
所以或，解得或，
解集为或 （12分）
21.【解析】（1），即 （2分）
解得或，因为，所以 （4分）
（2）的图象与直线有且只有一个交点方程有且只有一个实数根. （6分）
即时，，
时，有且只有一个根，令 （7分）
当时，，，
对称轴为，在只有一个根，
可得或，解得 （9分）
当时，，，在只有一个根，对称轴为，，解得 （11分）
综上，或 （12分）
22.【解析】（1），即
当时，显然不满足条件. （2分）
当时，需满足
解得 . （4分）
（2），即.
因为，所以
即 （6分）
当时，显然成立. （7分）
当时，设，
的对称轴为，故 （9分）
又因为在上单调递减，在上单调递增.
所以. （11分）
（此步骤，用不等式方法得出最小值为2亦给分，但必须指出）
要使，成立，则需满足
即，解得
综上：满足条件的a的取值范围为 （12分）（写成区间、解集形式均可给分）