2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）

2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.在中，已知，，，那么的长为( )
A. B. C. D.
3.关于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的 D. 顶点坐标是
4.下列条件中，不能判定的是( )
A. ， B. ，
C. D.
5.如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于( )
A. B. C. D.
6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知该同学得到以下两个结论：四边形和四边形的面积比等于；四边形和四边形的两条对角线的和之比等于对于结论和，下列说法正确的是( )
A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 和都错误 D. 和都正确
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.若，则 ______ ．
8.A、两地的实际距离米，画在地图上的距离厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是______ ．
9.某印刷厂一月份印书万册，如果第一季度从月份起，每月印书量的增长率都为，三月份的印书量为万册，写出关于的函数解析式是______ ．
10.已知点是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ______ ．
11.在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移个单位，再向下平移个单位，那么平移后的抛物线表达式是______ ．
12.如果一个二次函数图象的顶点在轴上，且在轴的右侧部分是上升的请写出一个符合条件的函数解析式：______ ．
13.如图，一辆小车沿着坡度为：的斜坡从点向上行驶了米，到达点，那么此时该小车上升的高度为______ 米
14.如图，梯形中，，且，若，请用，来表示 ______ ．
15.如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，那么 ______ ．
16.如图，在梯形中，，点是的中点，、的延长线交于点，如果：：，那么： ______ ．
17.在中，，点、分别是边、的中点，与相交于点，如果是等边三角形，那么 ______ ．
18.如图，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，联结，，若，则 ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
二次函数的图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表．
？
由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点的坐标；
如果该二次函数图象与轴交于点，点是图象上一点，求的面积．
20.本小题分
如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、已知，，，．
求的值；
若的面积为，求四边形的面积．
21.本小题分
已知：如图，中，，，，于．
求的长；
如果点是边的中点，求大小．
22.本小题分
如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达处，这时在处的正东方向米的处测得的仰角为、、在同一平面内求、之间的距离结果精确到米，
23.本小题分
已知：如图，在中，点、分别在边、上，，求证：
∽；
．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过原点、点，此抛物线的对称轴与轴交于点，顶点为．
求抛物线的对称轴；
如果该抛物线与轴负半轴的交点为，且的正切值为，求的值；
将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点、分别对应新抛物线上的点、联结，如果点在轴上，轴，且，求新抛物线的表达式．
25.本小题分
在中，点是射线上一点不与、重合，点在线段上，直线交直线于点，．
如图，如果点在的延长线上．
求证：；
联结，如果，，求的长．
如果：：，求：：的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则不符合题意；
符合二次函数的定义，它是二次函数，则符合题意；
整理得，不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则不符合题意；
不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则不符合题意；
故选：．
形如是常数且的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
故选：．
根据三角函数的定义进行选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，抛物线开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、当时，，函数图象不经过原点，原说法错误，不符合题意；
C、，抛物线开口向下，对称轴右侧的部分是下降的，正确，符合题意．
D、由函数解析式可知其顶点坐标为，原说法错误，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
；
，
；
，
；
由不能得到，
故选：．
根据平面向量的相关定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟记平面向量的相关定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设的重心是，连接，延长交于，
，
四边形是矩形，
，，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
，
，，，，
，
．
故选：．
的重心是，连接，延长交于，由三角形重心的性质，得到，由矩形的性质推出，，由平行线分线段成比例得到：：，因此，即可求出，由余角的性质推出，又，即可证明∽，推出．
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由三角形重心的性质，平行线分线段成比例推出，由∽，推出．
6.【答案】
【解析】解：四边形和四边形是相似的图形，，
四边形和四边形是相似比为，
四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于，
四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，
则和都正确，
故选：．
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】：
【解析】解：米厘米，
比例尺：：；
故答案为：：．
根据比例尺图上距离：实际距离，直接求出即可．
本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
利用三月份的印书量一月份的印书量每月印书量的增长率，即可得出关于的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：抛将抛物线，先向左平移个单位，再向下平移个单位，那么平移后的抛物线表达式是：，即．
故答案为：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：二次函数图象的顶点在轴上，在轴的右侧部分是上升的．
二次函数顶点在原点，对称轴是轴，且开口向上，
符合条件的函数解析式为：答案不唯一．
根据题意，二次函数顶点在原点且开口向上即可．
本题考查了二次函数解析式，熟练掌握解析式与图象位置关系式解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设小车上升的高度为米，
斜坡的坡度为：，
米，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
小车上升的高度为米，
故答案为：．
设小车上升的高度为米，根据坡度的概念得到米，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
由题意得，再根据可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16.【答案】：
【解析】解：过点作的垂线，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，
，
．
四边形为矩形，
．
点是的中点，
，
：：，
：：．
，
，，
∽，
：：：，
：：：，
：：：．
故答案为：：．
过点作的垂线，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，可得四边形为矩形，则由题意可得：：，证明∽，则：：：，即：：：，将：化简为：，即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图：连接，延长交于，
点、分别是边、的中点，与相交于点，
是的重心，
是的中线，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的重心，
，
．
故答案为：．
如图：连接，延长交于，由是的重心，得到是的中线，由等腰三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，因此，由三角形重心的性质得到，即可求出．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的重心，等边三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质，三角形重心的性质得到，．
18.【答案】
【解析】解：过点作于点，
将边绕点逆时针旋转，点落在处，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，，
，
解得负值舍去，
，
．
故答案为：．
过点作于点，由旋转的性质得出，证明∽，得出，设，得出，求出即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19.【答案】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
把代入得，
，
，
的面积．
【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则顶点的坐标为，设顶点式，然后把代入求出即可；
先利用抛物线解析式确定，，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】解：，，
，，
，
，，
；
，，
，
，
∽，
，，
，
的面积是，
，
，
∽，
，
的面积，
四边形的面积．
【解析】根据平行线分线段成比例定理求解即可；
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是，同理可得的面积是，根据四边形的面积可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
21.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
过作于，
，
，
：：，
是边的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
．
【解析】由锐角的正弦求出长，由勾股定理求出长，得到长，由勾股定理即可求出长．
过作，由平行线分线段比例定理，推出，得到是的中位线，因此，求出，即可求出．
本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长，证明是的中位线．
22.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
，
在中，，
米，
在中，米，
、之间的距离约为米．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明：，，，
，
，
∽；
，
，
，
∽，
，
．
．
，
∽，
，
．
【解析】利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到∽，利用相似三角形的性质得到，再证明∽，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：把，代入，解得，，
得抛物线的解析式为，
则抛物线的对称轴为直线；
把代入，解得，点的横坐标，舍去，
点的坐标为，
过点作轴，垂足为，
，，
，，
的正切值为，
，即，
解得；
由条件可得如下图象，过点作垂直于的延长线，垂足为，
轴，点的坐标为，
点的坐标为，
由新抛物线是原抛物线平移得到，且顶点的对应点是点，
即原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，
设新抛物线的解析式为，
由点的坐标为，得点的坐标为
，，
，，
∽，
，
，解得，
，
，
新抛物线的解析式为．
【解析】把，代入，求出和的数量关系，即可求出抛物线对称轴；
把代入求出点的坐标，过点作轴，垂足为，在直角三角形中求出和的长，根据的正切值为列方程求出；
根据条件画出图象，过点作垂直于的延长线，垂足为，通过原抛物线上的点、分别对应新抛物线上的点、得到原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，再证明∽，通过对应线段成比例列方程求出的值，进而得到新抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数对称轴，锐角三角函数，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识点．
25.【答案】证明：如图，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
．
解：如图，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
的长是．
解：如图，点在的延长线上，
联结，作交的延长线于点，则，
，
：：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，点在线段上，
，
，
，，
，
，
，
，
与不相似，
不存在的情况，
综上所述，：的值为．
【解析】由，得，因为，所以∽，得，由，得，所以，则，即可证明；
由，得，则，可证明∽，得，所以，而∽，得，所以，则，求得，于是得，求得；
分两种情况讲座，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明≌，得，再证明≌，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
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