2022-2023学年广东省东莞市五校联考九年级（下）第二次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市五校联考九年级（下）第二次质检数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.国家卫健委网站消息：截至年月日，个省自治区，直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过亿剂次，用科学记数法表示亿是( )
A. B. C. D.
2.已知点与点关于原点对称，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：
书名 西游记 水浒传 三国演义 红楼梦
销售量本
依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些西游记，你认为最影响该书店决策的统计量是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
6.设一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点点为的中点，连接，若，则的周长为
( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数如图所示，当直线与新图象有个交点时，的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数中，自变量的取值范围是 ．
12.分解因式： ．
13.在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是__________．
14.已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表格所示，那么它的图象与轴的另一个交点坐标是 ．
15.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
16.计算：．
17.先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，已知 ，平分交于点．
尺规作图：作的角平分线交于点；不写作图过程，只保留作图痕迹
判断四边形的形状，并说明理由．
19.本小题分
为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别 分数段分 频数 频率
组
组
组
组
在表中：______，______；
补全频数分布直方图；
小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在______组；
个小组每组推荐人，然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，的取值范围；
过点作轴，于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
21.本小题分
为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了元桶、元桶的批发价求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
22.本小题分
已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
求证：是的切线；
连接，求证：；
若的半径为，，求的长．
23.本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，把纸片展平，得到折痕；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，根据以上操作，当点在上如图时， ______
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接对角线与、分别交于点、，连接当点在上如图时，判断线段与的位置关系，并说明理由；
拓展应用
在的探究中，改变点在上的位置，当点在线段上时如图，若正方形的边长为，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：亿．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，．
．
故选：．
利用关于原点对称点的坐标性质得出的值即可．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．
此题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握相关运算法则和公式．
【解答】
解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
6.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得，，
．
故选：．
先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
7.【答案】
【解析】解：弧长：，
圆锥底面圆的半径：．
故选：．
本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：，圆锥底面圆的半径：．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设道路的宽应为米，由题意有
，
故选：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作图可知，平分，
，，
，，
，
，点为的中点，
，
的周长为：．
故选：．
根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答．
本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，
当时，，
解得，，
则点坐标为，点坐标为，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，
解得，
当直线与抛物线有唯一公共点时，
方程有相等的实数解，
即有相等的实数解，
则，
解得，
所以当直线与新图象有个交点时，的取值范围为．
故选D．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程．
如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有个交点时，的取值范围．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得到：，
解得，
故答案为．
从两个角度考虑：分式的分母不为；偶次根式被开方数大于或等于；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于混淆．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据点在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式组，从而可以得到的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．
14.【答案】
【解析】解：抛物线经过、两点，
对称轴；
点关于对称轴对称点为，
因此它的图象与轴的另一个交点坐标是．
故答案为：．
根据、两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
15.【答案】
【解析】【分析】
如图，设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．
，，
，
，
，，
， ，
．
故答案为：．
16.【答案】解：原式
．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并即可．
此题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
17.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：如图，射线即为所求；
结论：四边形是平行四边形．
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据要求作出图形即可；
结论：四边形是平行四边形，证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，其中抽中两组同学的有种结果，
抽中两组同学的概率为．
【解析】【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
先根据组频数及其频率求得总人数，再根据频率频数总人数可得、的值；
根据中所求结果即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义即可求解；
画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中、的结果，根据概率公式求解可得．
【解答】
解：本次调查的总人数为人，
，，
故答案为：，；
见答案
由于共有个数据，则其中位数为第、个数据的平均数，
而第、个数据的平均数均落在组，
据此推断他的成绩在组，
故答案为：；
见答案
20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点的坐标为，
由题意得，
解得，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点在点的左侧时，点的坐标为，
当点在点的右侧时，点的坐标为，
当点的坐标为或时，．
【解析】利用待定系数法求出，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
利用数形结合思想解答；
根据直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况解答．
本题考查的是一次函数和反比例函数的知识，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】解：设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价为元桶，乙种消毒液的零售价为元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元．
【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
22.【答案】证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
证明：连接，如图所示：
，
，，
，
，
∽，
，
，
；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
的半径为，，
，，
，
，
，
，
，
在中，．
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
如图中，欲证明是切线，只要证明即可；
连接，如图所示，欲证明，只要证明∽即可；
连接，如图所示，由，可得，在中，根据，计算即可．
23.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由折叠可得：，，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，，
，，
≌，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
点，点，点，点四点共圆，
，
，，
；
正方形的边长为，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
由可知：．
连接，结合折叠的性质，先判定是等边三角形，即可得到的度数；
依据全等三角形的性质，得到，再根据四边形是正方形，得到，，进而得出点，点，点，点四点共圆，由此可得线段与的位置关系；
依据∽即可得到，利用勾股定理进行计算，即可得到的长．
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质以及全等三角形、相似三角形和勾股定理的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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