专题5.4 导数的运算（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·宁夏·高二期中（文））设函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据幂函数的求导公式求导即可.
【解答过程】∵，
∴，
解得.
故选：B.
2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据求导公式直接求导可得.
【解答过程】，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：D.
3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式可写出直线方程.
【解答过程】，则，根据导数的几何意义，切线的斜率为：，又，即切线过点，根据点斜式方程，切线为：，即.
故选：D.
4．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.
【解答过程】根据导数的运算公式
,
当时,,
,即.
满足方程,
即,
.
故选:A.
5．（3分）（2022·河南·高三开学考试（文））已知，为的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先对求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值排除C即可.
【解答过程】因为，则，
又因为，所以为奇函数，由此可排除B、D；
，说明的图像在区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确.
故选：A.
6．（3分）（2023·山东潍坊·高三期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【解题思路】直线过定点，利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.
【解答过程】∵过定点，且在上，
又∵，则，
∴在处的切线斜率为，
结合图象可得：
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
综上所述：实数的取值范围为或.
故选：C.
7．（3分）（2022·北京·高三阶段练习）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可.
【解答过程】因为，所以，
依题意可得，
所以,
所以且，或且，
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.
故选：B.
8．（3分）（2021·全国·高二课时练习）函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：
①；②；③；④
其中为恒均变函数的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④
【解题思路】针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解.
【解答过程】对于①，，，满足，故①为恒均变函数；
对于②，
，，满足，
故②为恒均变函数；
对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；
对于④，当，时，，
，
即此时，故④不为恒均变函数.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·广东·高三开学考试）下列函数的求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对每一选项的函数分别求导即得解.
【解答过程】解：A. ，所以该选项错误；
B. ，所以该选项正确；
C. ，所以该选项正确；
D. ，所以该选项错误.
故选：BC.
10．（4分）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【解题思路】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.
【解答过程】设切点为，，
所以切线的斜率，
则此曲线在P处的切线方程为 ，
又此切线过坐标原点，所以，
由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，
故选：AD．
11．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）设定义在上的函数与的导数分别为与，若，，且，则（ ）
A． B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．的周期为4
【解题思路】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可．
【解答过程】解：，
令，得，故A错误；
，，
，
∵，，
，
令，得，
，
关于直线x＝2对称，
，
∴ 函数的图像关于点对称，故B、C正确；
，
，
，
，
，
即，
，
的周期，故D正确．
故选：BCD．
12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.
【解答过程】对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.
对于B，，，，又，对于 ，使得，则恒成立，所以B符合.
对于C，，，，又，对于 ，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
对于D，，，，又，对于 ，使得，则，，所以D符合.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知函数的导函数为，若，则 .
【解题思路】求导，得到，代入，求出，得到导函数解析式，再代入求出答案.
【解答过程】，
故，
即，解得：，
则，
故.
故答案为：.
14．（4分）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ．
【解题思路】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可；
【解答过程】∵，∴，设切点为，则，解得．
故答案为: .
15．（4分）（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））已知是函数y＝f（x）的导函数，定义为的导函数，若方程＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（）+f（）+……+f（）＝ 4037 ．
【解题思路】对f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求导得＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），再对求导得＝6x﹣6，并令＝6x﹣6＝0，求得对称中心，再利用对称性求解.
【解答过程】∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，
∴＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），＝6x﹣6，
由＝6x﹣6＝0可得x＝1，而f（1）＝1，
根据已知定义可知，f（x）的对称中心（1，1），
从而有f（2﹣x）+f（x）＝2，
所以f（）+f（）+……+f（）＝24037．
故答案为：4037.
16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 ①② .①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
【解题思路】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.
【解答过程】的导函数，，
故在上恒成立，
所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数，，
由可得，解得，
所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；
的导函数，，
因为为上的“严格凸函数”，故在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以③不正确.
所以正确命题为：①②.
故答案为：①②.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解题思路】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.
【解答过程】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【解题思路】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【解答过程】（1）
解：因为，则，
所以，，解得.
（2）
解：因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【解题思路】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【解答过程】（1）由，
得 ；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
20．（8分）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为.
(1)求和的值；
(2)已知，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.
【解题思路】（1）结合导数以及求得的值.
（2）求得点的坐标并代入解析式，从而求得.
【解答过程】（1），
由于，所以.
.
所以.
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，
所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
21．（8分）（2022·山西·高三阶段练习）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.
【解答过程】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐点”A为.
（2）证明：设，是图像上任意一点，则.
，是关于“拐点”的对称点为.
把点坐标代入得左边，
右边，∴左边＝右边.
∴点在的图像上.
∴关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.
22．（8分）（2022·江苏·高二专题练习）记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
【解题思路】（1）对与进行求导，由和，结合新定义，即可求出与的“”点；
（2）对与分别求导，根据新定义列式，求出a的值.
【解答过程】（1）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，
解得.
所以函数与的“”点是2.
（2）因为，
设为函数与的一个“”点.
由且得，
由②得代入①得，所以.
所以.专题5.4 导数的运算（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·宁夏·高二期中（文））设函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·河南·高三开学考试（文））已知，为的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2023·山东潍坊·高三期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或或
7．（3分）（2022·北京·高三阶段练习）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2021·全国·高二课时练习）函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：
①；②；③；④
其中为恒均变函数的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·广东·高三开学考试）下列函数的求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
11．（4分）（2022·广东·高三阶段练习）设定义在上的函数与的导数分别为与，若，，且，则（ ）
A． B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．的周期为4
12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知函数的导函数为，若，则 .
14．（4分）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ．
15．（4分）（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））已知是函数y＝f（x）的导函数，定义为的导函数，若方程＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（）+f（）+……+f（）＝ ．
16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
20．（8分）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为.
(1)求和的值；
(2)已知，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.
21．（8分）（2022·山西·高三阶段练习）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
22．（8分）（2022·江苏·高二专题练习）记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.
（1）求与的“Q点”；
（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.
