专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）
1．瞬时速度
(1)平均速度
设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限
是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.
2．抛物线切线的斜率
(1)抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
(2)抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋
近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
3．函数的平均变化率
函数平均变化率的定义
对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x
的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
4．函数在某点处的导数的几何意义
(1)切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.
(2)函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).
5．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.
【题型1 瞬时速度、平均速度】
【方法点拨】
根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【解题思路】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【解答过程】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【解题思路】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.
【解答过程】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．
故选：D.
【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【解题思路】先对函数求导，然后把代入即可求解．
【解答过程】解：因为，
所以，
令，得瞬时速度为．
故选：D.
【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接运用导数的运算法则，计算即可
【解答过程】，，
所以，所以．
故选：A.
【题型2 平均变化率】
【方法点拨】
根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.
【例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据平均变化率的定义直接求解.
【解答过程】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A.
【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【解题思路】根据平均变化率的定义计算即可
【解答过程】由题，函数在区间上的平均变化率为
故选：D.
【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【解题思路】直接利用平均变化率的公式求解.
【解答过程】由题得，
所以
故选：D.
【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解答过程】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.
B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，
B选项结论正确.
C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选：D.
【题型3 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解题思路】根据极限与导数的关系直接求解.
【解答过程】根据极限与导数的关系可知，
故选:D.
【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】根据极限与导数的定义计算．
【解答过程】
故选：A．
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数在处的导数为1，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【解题思路】利用导数的定义和几何意义即可得出．
【解答过程】解：若函数在处的导数为1，
．
则 ．
故选：B．
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数的定义可求得的值.
【解答过程】由导数的定义可得.
故选：D.
【题型4 导数的几何意义】
【方法点拨】
根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.
【例4】（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【解答过程】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【解题思路】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.
【解答过程】由点处的切线方程是可得：,
时，,故,
,
故选：B.
【变式4-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【解题思路】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解.
【解答过程】函数在点处的切线方程为，
则.
故选:C.
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【解答过程】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即
故选：D.
【题型5 函数图象与导函数的关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.
【解答过程】由题中的图象可以看出，在内，，
且在内，单调递增，
在内，单调递减，
所以函数在内单调递增，
且其图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．
故选：D．
【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数图象与导函数之间的关系，进行求解即可.
【解答过程】∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，
∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，
对于B，存在使，
对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，
对于D，对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，
故选A．
【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由导函数的图像分析原函数切线斜率，结合选项依次判断即可.
【解答过程】由导函数图像可知，原函数在区间的切线斜率逐渐减小，在处的切线斜率为1，在区间的切线斜率逐渐增大，
结合选项可知，A、B选项不满足在处的切线斜率为1，排除；C选项在区间的切线斜率先减小再增大，排除；D选项满足要求.
故选：D.
【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【解答过程】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
【题型6 导数的几何意义的应用】
【方法点拨】
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线
升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案．
【解答过程】和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则
故选：D.
【变式6-1】（2022·陕西·教学研究室一模）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；
【解答过程】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即，
在点的切线斜率等于，即，
在点的切线斜率大于，即，
所以；
故选：B.
【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据图象的变化趋势以及导数的几何意义，即可得到结果.
【解答过程】由图象可知，函数在区间上为增函数，但增长的越来越慢；
函数在区间上为减函数，但递减的越来越快；
又分别表示在处切线的斜率，
所以.
故选：B.
【变式6-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【解答过程】依次作出，，，在的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知．
故选：A．专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）
1．瞬时速度
(1)平均速度
设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限
是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.
2．抛物线切线的斜率
(1)抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
(2)抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋
近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
3．函数的平均变化率
函数平均变化率的定义
对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x
的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
4．函数在某点处的导数的几何意义
(1)切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.
(2)函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).
5．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.
【题型1 瞬时速度、平均速度】
【方法点拨】
根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 平均变化率】
【方法点拨】
根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.
【例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【题型3 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数在处的导数为1，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 导数的几何意义】
【方法点拨】
根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.
【例4】（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式4-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 函数图象与导函数的关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 导数的几何意义的应用】
【方法点拨】
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线
升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2022·陕西·教学研究室一模）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
