专题5.2 导数的概念及其意义（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·江苏·高二专题练习）函数在处的导数为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】利用导数的定义即可求出结果.
【解答过程】，所以函数在处的导数为.
故选：D.
2．（3分）（2021·江苏·高二单元测试）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】利用导数的定义求解.
【解答过程】因为，
，
所以斜率，
．
故选：C.
3．（3分）（2022·浙江·高二期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据导数的定义求解.
【解答过程】因为,
所以,
故选:A.
4．（3分）（2022·山东·高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.
【解答过程】解：因为存在导函数且满足，
所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，
故选：A.
5．（3分）（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【解答过程】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
6．（3分）（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（ ）
A． B． C． D．无法确定的大小关系
【解题思路】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.
【解答过程】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以在区间上的平均变化率由大变小，即．
故选：A．
7．（3分）（2021·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
【解答过程】因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
故选：C.
8．（3分）（2022·北京·高二阶段练习）为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同.
B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同.
C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同
D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度
【解题思路】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．
【解答过程】对于A选项，在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，瞬时变化率为切线的斜率，故不相同，故A错误；
对于B选项，在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故B错误；
对于C选项， 这个时间段内，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率大于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率小于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，故存在使得甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同，故C错误；
对于D选项，在内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在时刻，甲乙血管中药物浓度相同，故若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度，D正确.
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
【解答过程】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
10．（4分）（2022·安徽·高二阶段练习）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据导数的几何意义判断即可.
【解答过程】因为函数的导函数在区间上是增函数，
即在区间上，函数各点处的斜率k是递增的，
由图知选BCD．
故选：BCD.
11．（4分）（2021·全国·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解题思路】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，故C正确．同理D正确．
故选：CD.
12．（4分）（2022·浙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D．已知函数，则
【解题思路】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.
【解答过程】由题意可知，，故A错误；
根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.
因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；
函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，
又，
所以，故D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高二期末）已知，则 ．
【解题思路】先求出，然后代入中求解即可.
【解答过程】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
14．（4分）（2022·上海高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则 3 ．
【解题思路】利用函数平均变化率的计算公式计算.
【解答过程】解：函数在区间上的平均变化率为，
解得.
故答案为：3.
15．（4分）（2022·上海·高三期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【解题思路】直接根据导数的定义计算得到答案.
【解答过程】，
故.
故答案为：2.
16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 3 ．
（1）；
（2）；
（3）对于，存在，使得；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
【解题思路】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可.
【解答过程】解：由题意，可知，，．
由题中图像可知，且，因此，
而，所以，
因此，此时，所以（1）正确；
因为，
，故成立，（2）正确；
由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确；
t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数，，，求实数a，b的值.
【解题思路】先根据导数的定义求出，再由可求出，然后由求出，
【解答过程】解：∵
，
∴.
又，∴.
故，.
18．（6分）（2022·湖南·高二课时练习）一个做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度；
(3)求t＝0s到t＝2s的平均加速度.
【解题思路】求出平均速度，＝，由极限得出瞬时速度表达式，
（1）由得初始速度；
（2）代入得瞬时速度；
（3）由可得平均加速度．
【解答过程】(1)
在t0到t0＋Δt的时间内，轿车的平均速度为＝＝＝3－2t0－Δt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3－2t0.
所以，当t＝t0时轿车的瞬时速度v(t0)＝3－2t0.
初速度v(0)＝3m/s.
(2)
t＝2s时的瞬时速度v(2) ＝－1m/s.
(3)
t＝0s到t＝2s的平均加速度＝＝－2m/s2.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
(1)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(2)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(3)若设，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
【解题思路】（1）（2）由解析式展开并化简，再将、代入求值即可.
（3）根据，结合直线斜率的两点式说明几何意义即可.
【解答过程】（1）
.
当且时，，
所以平均变化率.
（2）
当且时，，
所以平均变化率.
（3）
在（1）中，，
它表示曲线上两点与所在直线的斜率；
在（2）中，，
它表示曲线上与所在直线的斜率.
20．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）如图，A，B，C，D，E，F，G为函数图象上的点．在哪些点处，曲线的切线斜率为0？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？
【解题思路】根据导数的定义以及函数的图象判断即可．
【解答过程】解：根据导数的定义结合图象可知，
在，处曲线的切线的斜率是0，
在，，处曲线的切线的斜率是正，
在，处的曲线的切线的斜率是负，
在处的切线的斜率最大，在处的切线的斜率最小．
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
【解题思路】（1）用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况；
（2）先求k＝f′（2），再求切线的方程得解.
【解答过程】解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
当t＝2时，f（2）＝0．
当t＝2时，切线的斜率
k＝f′（2）＝
，
所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0．
22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数图象上两点、.
（1）若割线的斜率不大于，求的范围；
（2）求函数的图象在点处切线的方程.
【解题思路】（1）求出割线的斜率（平均变化率），解不等式可得；
（2）求出进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程．
【解答过程】（1）由题意得，割线的斜率为
，
由，得，
又因为，所以的取值范围是.
（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为
，
又，
所以切线的方程为，
即.专题5.2 导数的概念及其意义（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·江苏·高二专题练习）函数在处的导数为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（3分）（2021·江苏·高二单元测试）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）（2022·浙江·高二期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（3分）（2022·山东·高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（3分）（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（ ）
A． B． C． D．无法确定的大小关系
7．（3分）（2021·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）（2022·北京·高二阶段练习）为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同.
B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同.
C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同
D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
10．（4分）（2022·安徽·高二阶段练习）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）（2021·全国·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
12．（4分）（2022·浙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D．已知函数，则
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高二期末）已知，则 ．
14．（4分）（2022·上海高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则 ．
15．（4分）（2022·上海·高三期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ．
（1）；
（2）；
（3）对于，存在，使得；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数，，，求实数a，b的值.
18．（6分）（2022·湖南·高二课时练习）一个做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度；
(3)求t＝0s到t＝2s的平均加速度.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
(1)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(2)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(3)若设，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
20．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）如图，A，B，C，D，E，F，G为函数图象上的点．在哪些点处，曲线的切线斜率为0？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数图象上两点、.
（1）若割线的斜率不大于，求的范围；
（2）求函数的图象在点处切线的方程.
