选择性必修一全册综合测试卷-基础篇
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·北京市高二阶段练习）下列命题正确的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示
②直线过点，倾斜角为，则其方程为
③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
④直线必过定点
A． B． C． D．
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．∥ B．
C．或∥ D． 与斜交
4．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．（5分）（2021·四川·高二阶段练习（理））已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线的离心率为
C．若，则的面积为
D．若的面积为，则为钝角三角形
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）（2022·山西·高二阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的倾斜角可以是( )
A． B． C． D．
11．（5分）（2022·全国·模拟预测）在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与平面平行
D．与的夹角为
12．（5分）（2022·湖南永州·一模）抛物线，点在其准线上，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．有可能是钝角
C．当直线的斜率为时，与面积之比为3
D．当直线与抛物线只有一个公共点时，
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·天津市高二阶段练习）过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则 .
14．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为 .
15．（5分）（2022·湖北·高一期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为 .
16．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·新疆·高二期末（文））求适合下列条件的圆锥曲线方程：
(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.
(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.
18．（12分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知空间中三点，，，设，.
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
19．（12分）（2022·北京市高二阶段练习）已知顶点
(1)求边上中线所在的直线方程
(2)求边上高线所在的直线方程．
20．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设C是直线x－y－6＝0上的点，且点A（4，0），B（6，2）在以C为圆心的圆上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x＝ay＋4被圆C截得的弦长为2，求a的值．
21．（12分）（2022·河北·高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角的余弦值．
22．（12分）（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.选择性必修一全册综合测试卷-基础篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接由向量的坐标运算即可得出答案.
【解答过程】，
故选：C.
2．（5分）（2022·北京市高二阶段练习）下列命题正确的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示
②直线过点，倾斜角为，则其方程为
③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
④直线必过定点
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线斜率是否存在可判断①②，根据截距可以为0可判断③，由直线恒过定点可判断④.
【解答过程】当直线过点且与x轴垂直时，直线方程不能用表示，故①错误；
直线过点，倾斜角为，则直线方程可表示为，故②正确；
在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用表示，故③错误；
直线可化为，故恒过定点，故④正确.
故选：B.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．∥ B．
C．或∥ D． 与斜交
【解题思路】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.
【解答过程】∵，，
∴即，
∴∥或.
故选：C.
4．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用向量的加减法，将分解用表示即可.
【解答过程】由图可知：，
即，
故选：B.
5．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.
【解答过程】解：圆的圆心，半径，又，
所以点在圆内，
当直线过圆心时，弦长取最大值，
当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值；
故选：D.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.
【解答过程】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，
即，则直线AF的方程为，即，
代入得，解得（舍）或，
则，
故选：B．
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【解题思路】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得
，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值.
【解答过程】
解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义 ，
由椭圆的定义 ，又，故 ，
得 ，将代入得，
∴．
故选：B．
8．（5分）（2021·四川·高二阶段练习（理））已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线的离心率为
C．若，则的面积为
D．若的面积为，则为钝角三角形
【解题思路】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据，求得焦半径，，即可求得的面积，判断C;根据的面积可求得点P的坐标，进而利用余弦定理求得，判断D.
【解答过程】设点，，，，，，
则，且，两式相减得，所以,
因为，所以，, ,
故双曲线的渐近线方程为;
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，
即有 ，所以，，离心率为，故A，B 错误．
对于，不妨设在的右支上，
记，则．因为，所以，
解得或（舍去），
所以的面积为，故不正确．
对于，设，，因为，所以，
将代入，得，即．
由对称性，不妨取的坐标为，则，
因为
所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确,
故选：．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据与，直接可得解.
【解答过程】由，得，
所以当与同向时，，
当与反向时，，
故选：AD.
10．（5分）（2022·山西·高二阶段练习）过点的直线与圆相切，则直线的倾斜角可以是( )
A． B． C． D．
【解题思路】设出直线方程，根据直线与圆的位置关系求出斜率，即可得解．
【解答过程】设过点P的直线方程为，则由直线与圆相切知＝1，解得k＝0或k＝.故直线l的倾斜角为0°或60°.
故选：AD．
11．（5分）（2022·全国·模拟预测）在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与平面平行
D．与的夹角为
【解题思路】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，再借助空间向量逐项分析求解作答.
【解答过程】在正方体中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，即，而，则，
而平面，平面，因此平面，所以点与点到平面的距离相等，B正确；
对于C，，即，而，则，
又平面，平面，因此平面，C正确；
对于D，，令与的夹角为，
则，显然，D不正确.
故选：ABC.
12．（5分）（2022·湖南永州·一模）抛物线，点在其准线上，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．有可能是钝角
C．当直线的斜率为时，与面积之比为3
D．当直线与抛物线只有一个公共点时，
【解题思路】对于A，利用抛物线的准线方程即可求解；对于B,对直线的斜率存在和不存在时进行分类讨论，得到，计算即可判断；对于C，可得到，通过计算出即可判断；对于D，设直线的方程为，与抛物线进行联立可得，通过题意可得到，可计算出的坐标即可判断
【解答过程】解：对于A，由抛物线可得准线方程为，
又点在其准线上，所以，解得，故A正确；
对于B，由A选项可得，且焦点，
当直线的斜率存在时，设直线，，
则整理得，
所以，，
因为
所以
，
所以，因为，所以为锐角；
当直线的斜率不存在时，直线，
所以将代入抛物线可得，则，
则，所以，此时为直角，故B错误；
对于C，，，
所以，
所以当时，，，解得，
所以，故C正确；
对于D，易得直线的斜率存在，设直线的方程为，
所以由得到①，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以，解得，
又因为点在第一象限，所以，则，
①可变成，解得，故
由B选项可得此时，所以，故D正确；
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·天津市高二阶段练习）过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则 1 .
【解题思路】根据题意,求出直线的斜率和直线的斜率，由，二者斜率相等构造方程解得答案.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
过两点的直线的斜率，
由直线与直线平行，
所以解得.
故答案为：.
14．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为 5x－12y＋45＝0或x－3＝0 .
【解题思路】首先判断点与圆的位置关系，然后设出直线的方程，进而根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【解答过程】因为，所以点在圆外，
且的圆心为，半径为2，
若切线斜率不存在，即，圆心到直线的距离为2，故直线是圆的切线，
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
则，则，两边同时平方得，故，
所以，即，
综上：切线的方程为或.
故答案为：或.
15．（5分）（2022·湖北·高一期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为 .
【解题思路】记，由题意可得，易得，再由数量积的运算性质求出，即可求解
【解答过程】记，
因为，
所以.
又因为，
所以.
易得，
所以
，
所以，
又.
故答案为：.
16．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 ②③ .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
【解题思路】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【解答过程】由已知
因为点P在双曲线上，、是双曲线C的左、右焦点，的面积为20，
所以，所以，.
对于①，点P到x轴的距离为4，故①错误.
对于②，由对称性，不妨设.因为，，
所以，即②正确.
对于③，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，
结合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以③正确.
对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，
则，
所以，所以，所以④错误.
故答案为：②③.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·新疆·高二期末（文））求适合下列条件的圆锥曲线方程：
(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.
(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.
【解题思路】（1）由已知得，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；
（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.
【解答过程】（1）
根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）
根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，
设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
18．（12分）（2022·湖南·高二阶段练习）已知空间中三点，，，设，.
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
【解题思路】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【解答过程】（1）
，；
（2）
∵，，
且与互相垂直，
∴，
解得或.
19．（12分）（2022·北京市高二阶段练习）已知顶点
(1)求边上中线所在的直线方程
(2)求边上高线所在的直线方程．
【解题思路】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
（2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一般方程.
【解答过程】（1）
线段的中点坐标为，即，
所以边上中线所在的直线方程为：，
整理得：；
（2）
直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的斜率为，
所以边上高线所在直线的方程为，
整理得：.
20．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设C是直线x－y－6＝0上的点，且点A（4，0），B（6，2）在以C为圆心的圆上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x＝ay＋4被圆C截得的弦长为2，求a的值．
【解题思路】（1）根据题意设圆心坐标，结合圆的定义运算求解；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离运算求解.
【解答过程】（1）
由题意设，由圆的性质得，
即，解得
所以圆心，半径r为2，则圆C的方程为：
（2）
设弦长为L，圆心C到直线的距离为d，则由垂径定理得
由已知得，，
所以有，解得．
21．（12分）（2022·河北·高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角的余弦值．
【解题思路】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.
（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【解答过程】（1）
证明:PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，
且面，面
∴DE⊥平面PCB
（2）
以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：
则，
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得到，
，
又，则，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
22．（12分）（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【解题思路】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求出离心率，
（2）设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由可得或，可得直线经过定点，然后表示出面积，求其最大值即可.
【解答过程】（1）
依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）
易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，
，
化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点
，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
