选择性必修一全册综合测试卷-提高篇
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知直线：，：，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B．若，则A，B，C，D四点共面
C．若，则点M是线段AB的中点
D．若平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则
3．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（5分）（2022·广东高二开学考试）在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
7．（5分）（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若，则的面积为
D．曲线的离心率为
8．（5分）（2022·吉林市模拟预测（理））已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与共线的单位向量是
B．
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
10．（5分）（2022·山东·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为.
B．直线的倾斜角为.
C．，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件.
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）正方体的棱长为，点，分别在棱，上，且，，下列命题正确的是（ ）
A．异面直线与垂直；
B．；
C．三棱锥的体积为
D．点到平面的距离等于
12．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．为定值 D．的取值范围为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·北京市高二阶段练习），，则 ．
14．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为 ．
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
16．（5分）（2022·全国·高二单元测试）若椭圆C：的离心率是，一个顶点是，且，是椭圆上异于点的任意两点，，则直线过定点 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山西·高二阶段练习）已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：
(1)直线过点，并且直线与垂直；
(2)直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.
18．（12分）（2022·吉林·高二阶段练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，F为中点，．
(1)证明：∥平面；
(2)求点到面的距离．
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．
20．（12分）（2022·四川·高三阶段练习（理））如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求平面与平面形成的钝二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
21．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围；
(2)求过点且与圆相切的直线的方程；
(3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
22．（12分）（2022·山西高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．选择性必修一全册综合测试卷-提高篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知直线：，：，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解题思路】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.
【解答过程】由题意，，则，，，
解得：或，当时，，故不符合题意，
当时，，符合题意.
故选：D.
2．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B．若，则A，B，C，D四点共面
C．若，则点M是线段AB的中点
D．若平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则
【解题思路】由已知，选项A，由，可知，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量；选项B，由空间向量共线定理可知，该选项错误；选项C，由线性运算关系可知，该选项正确；选项D，可根据α⊥β，借助，，坐标直接求解.
【解答过程】由已知，选项A，向量，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故该选项正确；
选项B，由空间向量共面定理可知，如果A，B，C，D四点共面，则须满足，且，所以该选项错误；
选项C，由线性运算有，所以M为AB中点，故该选项正确；
选项D，面α，β的法向量分别为，，当α⊥β时，面α，β的法向量共线，即，即，解得，故该选项正确；
故选：B.
3．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意将曲线转化为，，是一个半圆,作图如下,可结合图形确定直线与圆的交点个数,进而确定斜率的取值范围.
【解答过程】由可化为，，
所以曲线为以为圆心，2为半径的圆的部分．
直线过定点，
由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个点，
顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个,
且，由直线与圆相切得，
解得，则实数k的取值范围为．
故选:B.
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
【解题思路】依题意，作图，分两类讨论：①当与重合于坐标原点时；②当与不重合时，从而可求得答案．
【解答过程】依题意，作图如下：
设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，
则，，
当与重合于坐标原点时，；
当与不重合时，如图，；
当与重合于坐标原点时，取得最小值10．
故选：B．
5．（5分）（2022·广东高二开学考试）在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值.
【解答过程】
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则且，
故，
故，，，
设平面的法向量为，则：
由可得，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：B.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解题思路】设的方程为，，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是，由弦长公式求得弦长，由垂直得方程，同理可得，求出，应用基本不等式可得最小值．
【解答过程】因为两条互相垂直的直线均过，且
所以设的方程为，，，
联立，故，．
则，
同理，
，当且仅当时，取“”，
故选：A.
7．（5分）（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若，则的面积为
D．曲线的离心率为
【解题思路】设，由题可得，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C.
【解答过程】由，可得，
设，则，即，
∴，设，
则，，所以，即，
又，，
所以，
∴，即，故A错误；
所以双曲线，，
双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；
若，则，
所以，的面积为1，故C错误.
故选：D.
8．（5分）（2022·吉林市模拟预测（理））已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2
【解题思路】由已知，可由双曲线方程推导结论，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出的取值范围；选项B，利用坐标表示出，从而找到与之间的关系；选项C，由可知；选项D，利用借助基本不等式可得，故该选项错误.
【解答过程】参考结论：已知双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则．
推导：由得，，
则，，
所以，
解析：，，，，则
选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确；
选项B，，所以该选项正确；
选项C，，∴，∴，所以该选项正确；
选项D，因为，所以，故该选项错误；
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与共线的单位向量是
B．
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【解题思路】根据共线向量的定义判定A选项；向量垂直，则其点乘为0，判定B选项；
利用向量夹角公式判定C选项；D选项，将代入计算，即可.
【解答过程】解：，与不共线，故A错误；
，，
，故，故B正确；
，C错误；
设，则，
，
所以，又，且平面，
所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：BD.
10．（5分）（2022·山东·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为.
B．直线的倾斜角为.
C．，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件.
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
【解题思路】对于A，设出直线的点斜式方程，求出在轴上截距，可列出方程，可得答案；
对于B，根据倾斜角与斜率的关系，由方程求得斜率，列出三角函数方程，可得答案；
对于C，根据两直线垂直的证明公式，可得方程，结合充分必要条件的定义，可得答案；
对于D，根据函数图象变换表示出前后解析式，由题意，列方程，可得答案.
【解答过程】对于A，由题意，显然直线斜率存在，且直线过点，可设方程为，
令，；令，，
因为在轴上截距相等，所以，则，
，解得或，故直线方程为或，故A错误；
对于B，直线方程，转化为，设该直线的倾斜角为，故，解得，故B正确；
对于C，先证充分性：由“直线与垂直”，则，，，解得或，故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由题意，可设，向左平移个单位，向上平移个单位，可得，则，因为回到原来的位置，所以，，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．（5分）（2022·湖南·高二阶段练习）正方体的棱长为，点，分别在棱，上，且，，下列命题正确的是（ ）
A．异面直线与垂直；
B．；
C．三棱锥的体积为
D．点到平面的距离等于
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断ABD选项及到平面的距离，进而可得三棱锥的体积.
【解答过程】
连接，，，以O为原点建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，，，
A选项：，所以，即，A选项正确；
B选项：，所以与不垂直，B选项错误；
C选项：，C选项正确；
D选项：设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，D选项错误；
故选：AC.
12．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．为定值 D．的取值范围为
【解题思路】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简后再判断选项C；求得的取值范围判断选项D.
【解答过程】设，则，因为，，
故，
依题意有，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为，
离心率，故选项A错误，选项B正确；
因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，
所以，故C正确；
设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，
则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，
因为P在x轴上方，则，或，
函数在和上单调递增，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·北京市高二阶段练习），，则 6 ．
【解题思路】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【解答过程】解：因为，，
所以，
所以；
故答案为：.
14．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（文））若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为 7 ．
【解题思路】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.
【解答过程】把圆：化为标准方程有：，
可得，即，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为4，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：7.
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【解题思路】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
故答案为：.
16．（5分）（2022·全国·高二单元测试）若椭圆C：的离心率是，一个顶点是，且，是椭圆上异于点的任意两点，，则直线过定点 ．
【解题思路】由椭圆的离心率和的坐标及，，之间的关系求出椭圆的方程；设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由，所以，将两根之积代入可得直线恒过定点的坐标．
【解答过程】解：由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，，
则，，
因为，所以，
即：，，，所以，
代入可得：，
整理可得：，解得：或1，
且，是椭圆上异于点的任意两点，故，
所以直线的方程为：，恒过定点；
②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
则可得，
设，，
因为，所以，
所以，，，
即，解得：，
所以直线也过.
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山西·高二阶段练习）已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：
(1)直线过点，并且直线与垂直；
(2)直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.
【解题思路】（1）根据直线垂直的充要条件以及点在直线上，列出方程组即可解出；
（2）根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出．
【解答过程】（1）
因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
（2）
因为直线l2在y轴上的截距为3，所以b＝－3，
又,所以,所以,故.
18．（12分）（2022·吉林·高二阶段练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，F为中点，．
(1)证明：∥平面；
(2)求点到面的距离．
【解题思路】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知可得两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 利用空间向量求解即可.
【解答过程】（1）
证明：取的中点，连接,
因为F为中点，
所以∥，，
因为为中点，
所以，
因为∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）
因为平面，平面，
所以，
因为四边形为矩形，所以，
所以两两垂直，
所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为为中点，F为中点，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以点到平面的距离为
.
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．
【解题思路】（1）由题知，再待定系数求解即可得答案；
（2）结合题意设，，，则，进而根据，结合基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）
解：设椭圆的焦距为，则，即，
所以，即，①
又椭圆经过点，则，②
由①②解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
解：当直线垂直于坐标轴时，点不能构成三角形，不符合题意，
当直线不垂直于坐标轴时，设，，，则，
联立得，
则，．
又，，
易知与同号，
所以
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
20．（12分）（2022·四川·高三阶段练习（理））如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求平面与平面形成的钝二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）建立空间直角坐标系求得相关点的坐标，求平面SCD的一个法向量，根据向量的夹角坐标公式求答案；
（2）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为，利用向量的夹角坐标公式求参数，进而求的长.
【解答过程】（1）
因为平面，平面，所以.
又，所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则，.，.
设平面SCD的一个法向量为.
则，令，则，
所以平面SCD的一个法向量为.
又平面ESD的一个法向量为.
所以，
由图形可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（2）
存在，理由如下：
若存在H，设，则，
由（1）知，面SCD的一个法向量为，
则，即，
所以，则，
故存在满足题意的H，此时.
21．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围；
(2)求过点且与圆相切的直线的方程；
(3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
【解题思路】（1）由两圆相交可得，解之可得的取值范围；
（2）分类讨论切线的斜率情况，再由线圆相切得到，解之可得直线的方程；
（3）利用弦定长公可将问题转化为圆心到直线与圆心直线的距离相等，由此列出方程化简，可得到等式，再由的无穷多解判定得的取值，进而得求.
【解答过程】（1）
因为圆：，故，半径为；
又因为：，故，半径为2，
所以两圆圆心距为：，
因为圆与圆有交点，
所以，得，即.
（2）
当直线的斜率不存在时，直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，
因为直线与圆相切，则，即，
此时直线的方程为，即，
综上：直线的方程为或.
（3）
设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为：
，，即：，，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，
由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等，
故有，即或，
由于关于的方程有无穷多解，故，或，
解得或，即点坐标为或.
22．（12分）（2022·山西高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
【解题思路】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.
【解答过程】（1）
由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）
若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
