2024年鲁教版（五四制）中考数学一轮复习 一次函数专题复习---一次函数存在性问题之—次函数存在性之等腰三角形（无答案）

鲁教版2023-2024一次函数专题复习---一次函数存在性问题之—次函数存在性之等腰三角形
知识点精讲
1．存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
2．存在性问题处理框架：
①研究背景图形．
②分析不变特征，确定分类标准．
③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解.
④结果验证．
3．不变特征举例：
①等腰三角形
以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．
两个定点一动点构成等腰三角形的策略
方法一
①首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点．（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况），先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（标横表纵），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程．
解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意)．
方法二
①(两圆一线）或（两圆一垂）当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点，若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在，②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在，用以上方法即可找出所有符合条件的点．
特殊
①y＝x＋b与x轴所夹的锐角为45°；②y＝±x＋b与x轴所夹的锐角为60°；③y＝±x＋b与x轴所夹的锐角为30°.
注意：函数与坐标轴夹角为特殊角要进行简单的过程书写，不可以直接用．函数是一个工具，将几何与函数有机的结合，特殊三角形角的边长关系：
30°，60°，90°的直角三角形比例为1：2：．
120°的等腰三角形比例为1：1： ．
45°，45°，90°比例为1：1：．
1. 如图，以矩形的相邻边建立直角坐标系，．点是边上一点，将沿着翻折，点恰好落在边上，记为．
求折痕所在直线的函数解析式；
若把翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，连结，若是等腰三角形，求的值

2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
3．如图，已知平面直角坐标系内，点，点，连接．动点P从点B出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．
(1)当点P运动到中点时，求此时的解析式；
(2)在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求a的值；
(3)如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作轴交于点N．在运动过程中，是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．
4如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线y＝x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若动点M在线段AC上运动，当OMC的面积是OAC的面积的时，求出此时点M的坐标．
（3）在y轴上是否存在点N，使NAC为等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．
6．如图1，平面直角坐标系中，过A（，3）作AC∥x轴，交y轴于C，交直线OB于点B，已知∠BOC＝30°．
（1）求直线OB解析式；
（2）F为线段OC上一动点，连接AF，求AF+FO的最小值及此时F点坐标；
（3）如图2，在（2）条件下，当AF+FO取得最小值时，将△CFA绕C顺时针旋转60°得到△CF'A'，过点F′作CF′的垂线与直线AC交于点Q，此时有一点D （2，4），请问在y轴上是否存在点S，使得以D，S，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出S的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为2，点P为y轴上的一个动点．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）连接CP，当△ACP与△AOB的面积相等时，求点P的坐标；
（3）连接BP，是否存在点P使得△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）直接写出点C的坐标　 　，并求出直线AC的函数关系式；
（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，直接写出△AOP的面积；
（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．
9综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得△ABD是以AB为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
10.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．
11.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成2：1的两部分，请求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．