2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
2．已知：如图，抛物线经过原点和点，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值．
3．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
5．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
7．如图，已知点在二次函数的图象上，且

(1)若该二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若，求时二次函数的最大值与最小值的差；
(3)当时，的最小值为，求的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求的面积；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．
9．抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B的左边）．

(1)如图，若抛物线交y轴正半轴于点C，且，求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
(2)在（1）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，作轴交于点，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)坐标平面内一动点与点N关于y轴对称，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分别是方程的两根．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD．
①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
11．如图，抛物线（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是直线上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点D的坐标；
(3)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
12．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求拋物线的解析式；
(2)当时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
13．已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．
　　
(1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方抛物线的一个动点，当面积最大时，求点的坐标及面积最大值．
(3)若点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．

(1)二次函数图像的对称轴为直线．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；
(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
16．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：平移，使平移后的抛物线经过点，，与y轴的交点为E.

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点是抛物线上的动点，设四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形的面积的最大值；
(3)若与平移后的抛物线对称轴交于D点，点M是y轴上一点，点N是抛物线的对称轴上位于点D的上方的一点，当与相似时，请直接写出点M及其对应点N的坐标（每写一组正确的结果得1分，最多得5分）．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求线段的长度；
(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
参考答案：
1．(1)；
(2)点的坐标为，，的面积的最大值为．
(3)存在，点的坐标为，；
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值；
（3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标．
【详解】（1）把点，点的坐标代入解析式，
得：，
解得：，
二次函数得表达式为；
（2）过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的函数关系式为，则
，解得：
得直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，，的面积的最大值为．
（3）存在点，使四边形为菱形，如图，

设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，（不合题意，舍去），
点的坐标为，；
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
2．(1)
(2)
(3)1或
【分析】（1）用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）用待定系数法求出线段所在的直线方程为：，由题意可设，其中，则，进而得到，从而即可得到答案；
（3）分当过点时，直线与新图象有3个公共点，和当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
抛物线经过原点和点，两点，
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
线段所在的直线方程为：，
由题意可设，其中，则，
，
当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为；
（3）解：根据题意得到如图2，
，
当过点时，直线与新图象有3个公共点，把代入得，
当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于轴对称，
所以其解析式为，
所以方程组有一组解，消去得到的方程有两个相等的实数根，则，
所以，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
3．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解；
（2）分点D在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
（3）如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴点，
∵抛物线经过点和点以及原点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线，
∴顶点C的坐标为，
设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，解得，
∴直线的解析式为：．
①当点D在直线的下方时，过点B作轴，交x轴于点F，延长，交于G，设交x轴于点E，如图，

∵，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，当时，，得：，
∴，
则，
∴，
同理求得直线的解析式为：，
联立：，解得或（舍去），
∴；
②当点D在直线的上方时，

∵，
∴，
∵直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：，
联立：，解得：或（舍去），
∴．
综上，当点D的坐标为或时，使得；
（3）解：∵点与点E关于对称轴直线对称，
∴，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，

∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
4．(1)抛物线的解析式为
(2)当时，的最大值为
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，如图1，则为等腰直角三角形，，设，则，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，设，利用两点间的距离公式得到，，，讨论：当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，；当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，分别解方程求出即可得到对应的点坐标；
【详解】（1）把，代入
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意可得的解析式为，
直线与直线平行，
直线与直线垂直，
，
为等腰直角三角形，
作轴于，轴交于，如图1，为等腰直角三角形，，
设，则，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，即，
解得，
此时点坐标为；
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，即，
解得，
此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．
5．(1)
(2)；
(3)、
【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：过点O作于一点H，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴点H为的中点，即，
则所在的直线方程为，
∵四边形为矩形，
∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同，
∴设所在的直线解析式为，
∵点A在直线上，
∴可求得，即所在的直线解析式为，
联立的直线方程与抛物线的解析式，
得，解得或，
其中为点A的坐标，即，
∵四边形为矩形，且，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，
即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
6．(1)，
(2)12
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
7．(1)二次函数的解析式为或
(2)4
(3)或
【分析】（1）把点代入二次函数的解析式求出即可得解；
（2）判断出，关于抛物线的对称轴对称，，进而求得，，进而分别求出最大值和最小值即可得解；
（3）分当，，，三种情况讨论求解即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数经过，
∴，
解得或，
∴二次函数的解析式为或；
（2）解：∵点在二次函数的图象上，，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线，
∴即，
∵，
∴，，
∵的开口向上，
∴当时，最大值．最小值，
∴最大值与最小值的差为；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，开口向上，
∴对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
当时，自变量在内，二次函数随的增大而增大，
∴当时，的最小值为，即，
解得（舍去）或；
当时，自变量在内，二次函数的最小值为，
与的最小值为相矛盾，
∴无对应的值使得的最小值为；
当时，自变量在内，二次函数随的增大而小，
∴当时，的最小值为，即，
解得（舍去）或；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．(1)18
(2)，此时
(3)或或
【分析】（1）分别令和解方程可得点、、的坐标，再用三角形面积公式求出面积即可；
（2）过点作轴交于点，数形结合思想找到和的数量关系，求最大值转化为求最大值问题，利用配方法求最值即可；
（3）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，得出新抛物线解析式，求出两个抛物线的交点坐标，再设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，则，，然后根据等腰三角形的性质建立关于的方程求解，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得：，，
，，，
，，
；
（2）解：过点作轴交于点，

，，
，
，
∵轴，
，
，
，则当最大时，也最大，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大，则，
线段的最大值为，此时点的坐标为；
（3），
将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，
即原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
原抛物线，
新抛物线，
令，
解得，
，
设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
则，，
，
，
，
，
①当时，
，
（舍去）或，
点的坐标为；
②当时，
，
或，
点的坐标为或；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，二次函数最值，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质是解题的关键．
9．(1)抛物线的解析式为，点
(2)当时PD最大，此时点P的坐标为
(3)a的取值范围是或
【分析】（1）解方程得点A、B的坐标，利用，求出C的坐标，进而求出a；
（2）先求出直线的表达式，设出，用m表示点D，进而表示，求关于m的二次函数的最大值及点P的坐标；
（3）动点在直线y＝x上移动，，对a进行分类，找出a的临界值再写范围．
【详解】（1）令得或，
∵点A在点B的左边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，；
（2）设直线为，代入，得
，
∴，
∴，
设，令，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时点P的坐标为；
（3）动点在直线上移动，．
当时，如图所示，线段与抛物线只有一个交点，把代入得，
∴，
∴，
∴．

当时，如图所示，线段与抛物线只有一个交点，把代入得， ，
∴，
∴，
∴．

综上，a的取值范围是或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，图象交点问题，渗透了方程、分类、数形结合等思想，第（2）问也可以转化成竖直线段来求解．
10．(1)抛物线的解析式为：；
(2)①面积有最大值为，点D的坐标为；②点P的坐标为或或．
【分析】（1）解方程，得或1，故点A的坐标为，点B的坐标为，设抛物线的解析式为：，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；
（2）①过点D作y轴的平行线交于点H，面积，即可求解；
②分三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得或1，
∵，
∴，，
故点A的坐标为，点B的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将点A、B的坐标代入得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，解得：，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式并解得：
直线的解析式为：，故点C的坐标为，
同理可得：直线的解析式为：；
①过点D作y轴的平行线交于点H，

设点D的坐标为，则点H的坐标为，
的面积
，
∵，
故面积有最大值为：，此时，
故点D的坐标为；
②当时，
则点P在的中垂线上，故，则点P的坐标为；
当时，
设P点坐标为，则，
解得：（舍去正值），
故点P的坐标为；
当时，同理可得：点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）②要注意分类求解，避免遗漏．
11．(1)
(2)点D的坐标为或
(3)面积的最大值为2，此时P点坐标为
【分析】（1）先根据，求出B点坐标，再根据A、B点坐标代入求解；
（2）先求出点C的坐标，进而求出，求出直线的解析式，由平行四边形的性质可得，设点D的坐标为，则点P的坐标为，即可得到，即可求出答案；
（3）过Q作轴于E，过C作轴于F，设，则，，求出，证明，，可求，即可求出．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，
∴，
将代入，得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴点C的坐标为，
∵，
∴，
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设点D的坐标为，则点P的坐标为，
∴，
∴，
∴或（舍去），解得：，
∴点D的坐标为或；
（3）解：如图，过Q作轴于E，过C作轴于F，

设，则，
∵点C的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时有最大值2，
∴面积的最大值为2，此时P点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．(1)
(2)最大值为9，最小值为-7
(3)，且
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先确定抛物线的顶点，再根据二次函数的性质结合x的范围即可解答；
（3）先求出直线与抛物线的交点，再结合极值情况以及函数的图象解答即可．
【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为.
抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为：；
（2），
顶点，
，
当时，，
当时，；当时，.
；
（3）设直线交抛物线的另一点于，

，点的坐标为，
的解析式：.
当时，
解得（舍去），.
.
设直线交抛物线的另一点于，
同理可求的解析式：，
当时，
解得（舍去），，
，
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
不与重合，
．
综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点以及矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
13．(1)一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
(2)，
(3)存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）先利用待定系数法求得直线的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）分三种情况讨论，分别当为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：设，
把，代入得：，
，，
一次函数解析式为：，
把代入，
，
，
二次函数解析式为：；
（2）解：连接，

把代入得，，
或3，
抛物线与轴的交点横坐标为和3，
设点，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
的坐标为，
，
当时，取得最大值．
此时的坐标为；
（3）解：设点，
则，，，
当为斜边时，则，
解得（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，则，
解得（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，则，
解得（舍去）或（舍去）或或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
14．(1)
(2)，
(3)存在，点坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点作轴，垂足为，交于点，先求出点坐标，即可求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，，表示出，即可求出最大值；
（3）设点坐标为，点坐标为，以、、、点的平行四边形，，根据平行四边形是中心对称图形，可以分以为对角线时，以为对角线时，以为对角线时三种情况讨论，分别计算出结果即可．
【详解】（1）解：抛物线 与轴交于，两点，
将，代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）（2）如图1：过点作轴，垂足为，交于点，

在抛物线上，
，
，
直线经过，，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
设点坐标为，
则点坐标为，点坐标为，
，
，
，
当时，的面积有最大值，
最大值为；
（3）答：存在.
解：设点坐标为，点坐标为，
以、、、点的平行四边形，，，
根据平行四边形是中心对称图形，可以分三种情况来讨论：
①如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
，得，
点坐标为，
②如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
得，
点坐标为，
③如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
，得，
点坐标为，
点坐标为，，．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和最值，二次函数和平行四边形综合题中存在性问题等知识，解题的关键是对二次函数和平行四边形性质的灵活运用．
15．(1)①；②；③
(2)m+n的值为定值3
【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②根据二次函数的对称性求解即可；
③设，求出直线的解析式，从而求出，即可求出的长与t的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数的性质设出直线的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为．
②∵对称轴为直线，
∴；
③如图，

∵，
∴的表达式为
设，
∵轴
∴点P的纵坐标为
∴将代入得，
∴
∴
∴的最大值为；
（2）结论：的值为定值3．
理由：如图，

将代入二次函数解析式中，得
解得：
∴二次函数解析式为
∴，
设直线的解析式为，
把代入得到：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可以假设直线的解析式为，
由，消去y得到：，
∴，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴．
∴为定值，．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
16．(1)
(2)，此时；
(3)存在，或或
【分析】（1）分别将，代入求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∴当时，，此时；
（3）如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，
作于G，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
17．(1)
(2)，四边形的面积的最大值为
(3);;;
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点，代入解析式即可求解；
（2）连接，根据即可求解；
（3）分类讨论、、即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：
将点，代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：连接，如图所示：

∵点是抛物线上的动点
∴
∴点
∵抛物线与y轴的交点为E.
∴
故当时，四边形的面积的最大值为
（3）解：设抛物线的对称轴与轴交于点，如图所示：

∵抛物线的对称轴为直线
∴点
∴
∴
∵点N是抛物线的对称轴上位于点D的上方的一点
∴
若，如图所示：

则M点到平移后的抛物线对称轴的距离为1，从而是腰长为1的等腰直角三角形的斜边
∴
∴，，
或，，
若（不符合题意）
若，如图所示：

此时点与点重合
∴，，
或，，
综上所述：；；；
【点睛】本题综合考查了二次函数与几何的综合题．涉及了待定系数法、相似三角形的综合知识等．综合性较强．
18．(1)
(2)最大值6，P的坐标为
(3)N的坐标为或或或
【分析】（1）在中，得，即可得线段的长度为；
（2）由，得抛物线的对称轴是直线，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，且，②若为对角线，则的中点重合，且，③若为对角线，则的中点重合，且，分别列方程组即可解得答案．
【详解】（1）在中，令，得；
∴；
令得：，
解得，或，
∴，
∴，
∴线段的长度为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
设，
设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴,
∵关于直线对称，
∴,
∴，
∵，
∴当时，取最大值6，
此时P的坐标为；
（3）∵，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线；
设，则，
而，
①若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或（此时M不在射线上，舍去）；
∴；
②若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：（此时N，P重合，舍去）或，
∴；
③若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或，
∴或；
综上所述，N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．