2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值
1．如图，抛物线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，直线：，交轴于点，交轴于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：对于直线上任意给定的一点，在抛物线上总能存在点，，使得点为的中点；
(3)直线：交抛物线于点，，记为点到直线的距离，为点到直线的距离，判断是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，连接，求的面积；
(3)①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
3．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求拋物线的解析式；
(2)当时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
4．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．

(1)抛物线的对称轴为直线_______；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于 两点，与轴交于点，连接，

(1)求抛物线的解析式与顶点坐标：
(2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标
(4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值．
7．如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
8．如图，已知点在二次函数的图象上，且

(1)若该二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若，求时二次函数的最大值与最小值的差；
(3)当时，的最小值为，求的值．
9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
10．已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．

(1)求b，c的值；
(2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值．
11．已知：抛物线经过，，．

(1)求抛物线解析式．
(2)在线段下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，
求：点坐标及面积最大值．
(3)如图2，直线交轴于点，取点，取线段的中点，以原点为圆心，长为半径做，点是上的动点，连接、．求： 的最小值．
12．我们不妨约定：二次函数与轴交于、两点，其中为顶点，当为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”．
(1)证明为“等腰直角函数”；
(2)如图，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过中点的直线与二次函数相交于，两点，求面积的最小值；
(3)如图，、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点，且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为时，求出点的坐标．
13．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．

(1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴；
(2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是抛物线上一动点（点D不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，，当的面积等于的面积时，求m的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求t的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
16．已知抛物线：（为常数）与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点．

(1)当时，如图所示．
①抛物线的对称轴为直线_______，点的坐标为_______；
②在轴从左到右有，两点，且，从点向上作轴，且，连接，当在轴正半轴左右平移时，若抛物线与边（包括端点）有交点，求点横坐标的最大值比最小值大多少？
(2)当抛物线的顶点的纵坐标取得最小值时，求此时抛物线的函数解析式；
(3)当，且时，抛物线的最高点到直线的距离为1，求出此时的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为．

(1)若函数图像关于直线对称，求函数的表达式；
(2)求的最大值；
(3)是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．

(1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式；
(2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标；
(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围．
参考答案：
1．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）利用与的正切值相等求出，得出A的坐标代入抛物线的表达式；
（）设出点、点，利用中点坐标公式得到E点坐标，把点坐标代入抛物线的表达式，得到关于的方程，说明有解即可；
（）用k表示成的二次函数求最值．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：设点，，
∴代入得，
即，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点，；
（3）解：存在最小值，最小值为，
取的中点为，过作轴交直线于点，垂足为，
设，，将直线：与抛物线，联立，
则有：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴存在最小值，最小值为．

【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，以及探索性题目的证明与求解，解题的关键熟练掌握图象及其性质，设而不求，弄清变量和常数．
2．(1)
(2)
(3)①，；②
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据，得出，进而求得，，则，根据三角形面积公式即可求解；
（3）①过点作于，证明，得出，，进而直线的解析式为，由得到，，，，，，根据即可求解；
②勾股定理求得, 要使得的周长最小，只要的值最小，当点在上时，的值最小，进而勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点，
∴
解得：,
∴
（2），，，，
，，
轴，轴，
在和中，
，
即，
，
，
当时，，
，，即，
，
．
（3）①如图中，过点作于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，，，
设的解析式为，则
解得：，
直线的解析式为，
设，，，
由得到，，
，
，，，，
，
，
，
，
，．

②如图中，，
，
的周长，
要使得的周长最小，只要的值最小，
，
当点在上时，的值最小，
，
的周长的最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，正切的定义，面积问题、特殊四边形问题，线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．(1)
(2)最大值为9，最小值为-7
(3)，且
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先确定抛物线的顶点，再根据二次函数的性质结合x的范围即可解答；
（3）先求出直线与抛物线的交点，再结合极值情况以及函数的图象解答即可．
【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为.
抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为：；
（2），
顶点，
，
当时，，
当时，；当时，.
；
（3）设直线交抛物线的另一点于，

，点的坐标为，
的解析式：.
当时，
解得（舍去），.
.
设直线交抛物线的另一点于，
同理可求的解析式：，
当时，
解得（舍去），，
，
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
不与重合，
．
综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点以及矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
4．(1)抛物线的解析式为：
(2)当时，的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为，，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线的解析式，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G，利用求出解析式，利用函数性质解答即可；
（3）作O关于直线的对称点为，得到四边形为正方形，则，则，当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，勾股定理求出即可．
（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．

设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，

∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．
5．(1)2
(2)①；②或3
(3)或3
【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴即可；
（2）①由抛物线经过坐标原点可得，从而得到二次函数的解析式；
②分，，三种情况，根据二次函数的增减性求解即可；
（3）由以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形可知点P是直角顶点，根据点A、B的坐标求得点P的坐标为，由题意可知点P的坐标为，从而得到，从而得解．
【详解】（1）解：依题意得∶ 抛物线的对称轴为直线
故答案为：2；
（2）解：①∵抛物线经过坐标原点，
，解得，
抛物线的解析式为．
②当，即时，
此时开口向上，在上，y随着x的增大而减小，
∴当时，y取最小值，即
解得(不合题意，舍去)，；
当，即时，
此时对称轴处取最小值，
∴当时，y的最小值为，不存在最小值为的情况；
当时，此时开口向上，在上，y随着x的增大而增大，
∴当时，y取最小值，即，
解得，(不合题意，舍去)．
综上所述，m的值为或3．
（3）解：∵以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是抛物线对称轴上的点，
∴点P是直角顶点，(否则点P在直线或y轴上，不合题意)
设与对称轴的交点为Q，则根据对称性可知点Q是的中点．
作出图形如下：

令，解得，
∴
又令，解得
∴
∴，
又∵点Q是的中点，
∴
∵点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是直角顶点，
∴，
∴
又∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，
∴点P的坐标为，
∴，
解得：或3
即a的值为或3．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何综合等知识，掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键．
6．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线可知对称轴为直线，，设，根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴于轴交于点，如图所示，可得或，分类讨论：当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，设，根据两点间的距离公式即可求解；当点在轴下方时，，点在轴下方时不存在；当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有；由此即可求解；
（4）连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如图所示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点；根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：（1）将 代入
∴，解得：，
∴抛物线的解析式，
∴顶点坐标为．
（2）解：存在点，使，理由如下：
，
对称轴为直线，令，则，
，设，
，
，解得，
．
（3）解：在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴与轴交于点，如图所示：

，
或，
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，
，
，设，
，
或，解得（舍）或（舍）或或，
当点在轴下方时，，此时
或，解得（舍）或（舍），
点在轴下方时不存在；
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有，
此时不存在点使；
综上所述：或．
（4）解：连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如下图，

①当点Q不与B重合时，
∵，为的中点，
∴，，
∴当最小时，即三点共线是时，有最小值，
∵，
∴，
∵为直径，点抛物线顶点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时有最小值为．
②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点，如下图

∵，
，
综上所述：，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的变换，掌握二次函数图像的性质，几何图形的变换，等腰三角形的性质，两点之间的距离公式的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．
7．(1)，
(2)12
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
8．(1)二次函数的解析式为或
(2)4
(3)或
【分析】（1）把点代入二次函数的解析式求出即可得解；
（2）判断出，关于抛物线的对称轴对称，，进而求得，，进而分别求出最大值和最小值即可得解；
（3）分当，，，三种情况讨论求解即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数经过，
∴，
解得或，
∴二次函数的解析式为或；
（2）解：∵点在二次函数的图象上，，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线，
∴即，
∵，
∴，，
∵的开口向上，
∴当时，最大值．最小值，
∴最大值与最小值的差为；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，开口向上，
∴对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
当时，自变量在内，二次函数随的增大而增大，
∴当时，的最小值为，即，
解得（舍去）或；
当时，自变量在内，二次函数的最小值为，
与的最小值为相矛盾，
∴无对应的值使得的最小值为；
当时，自变量在内，二次函数随的增大而小，
∴当时，的最小值为，即，
解得（舍去）或；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．(1)点；
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据是等腰直角三角形，直线和直线的夹角为 ，推出或，进行分类讨论即可解答；
（3）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，
∴，
，
∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
由抛物线的表达式知，点；
（2），
是等腰直角三角形，
则，
∵直线和直线的夹角为 ，
或，
在中，，
，
当 时，如图1所示：
∵，
则，
则；
当时，如图2所示：
，
，
∴的长度为 或 ；
（3）当和在对称轴两侧时，
此时，抛物线在时，取得最小值，
当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时，
即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，注意分类讨论；解题的关键是数形结合思想的应用．
10．(1)；
(2)；
(3)的最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解；
（3）由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，，
∴，解得；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
令，则，
∴，设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上，
∴设，则，即点在抛物线上，
∴，整理得，
解得，
∵点P不与点B重合，
∴，；
（3）解：抛物线的顶点坐标为，
∵顶点始终在直线上，
∴，即，
由（2）知直线的方程为，
∵抛物线与相交于点Q，

∵，
∴当取最小值时，取最小值，
∵
，
∵，
∴当即时，的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）将、、三点的坐标代入，求解即可；
（2）过点作轴，交直线于，交轴于，设直线的解析式为，可求，设，由可求解；
（3）取的中点为，连接，，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，交于，连接，，作轴，交轴于，
，可证，可得，当、、三点共线时的值最小，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，则有
，
解得：
抛物线解析式为．
（2）解：过点作轴，交直线于，交轴于，

设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，，
，，
，
，
，
当时，为最大值为，
，
．
（3）解：如图，取的中点为，连接，，

是的中点，
，，
，直线于轴交于，
，
，，
，
如图，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，交于，连接，，

，，
，
，
，
，
即：，
在和中
，
()，
，
如图，当、、三点共线时的值最小，

作轴，交轴于，
，
，
，，
，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，动点产生的面积最值问题，动点线段和最小问题，掌握此类动点问题的解法是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据函数解析式分别求出，，三点的坐标，再求出，，三边长度符合等腰直角三角形结论即得证；
（2）设出直线的解析式和、两点的坐标，的解析式和二次函数的解析式联立可得关于、两点横坐标的一元二次方程，根据根与系数关系导出三角形面积关系式然后求最值即可；
（3）根据解析式可设，再写出点的坐标，根据可得关于的方程，解方程确定值即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：时，
解得：，，
故A，，，
，
故AC，
是等腰直角三角形，
为“等腰直角函数”；
（2）如图所示，连接
设直线的解析式为，，，
直线经过点，
则直线的解析式为，
由，
可得：，
，，
，
，
，
当时，的面积有最小值为；
（3）根据“等腰直角函数”，可设，
的横坐标为，
将代入
解得
∴，
、关于直线对称，
即，
解得：，
当，
当，
当、不重合所以不合题意舍去，
当，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的综合性知识，设计到的运算较多，难点在于要把所求的量用含有一个未知数的代数式或者方程来表示，还要注意题目要求舍去不符合条件的值.
13．(1)，直线
(2)或
(3)
【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式；
（2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论；
（3）过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
将，代入抛物线，
，解得，
抛物线的解析式为：；
其对称轴为直线，即；
（2）设对称轴直线交轴于点，作于，

由旋转的性质可知：，
，，
，
又，
，
，，
设点，
①当点在轴上方时，有，
则：，
整理得，解得，（舍去）；
②当点在轴下方时，有，
则：，
整理得，解得，（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
（3）令，解得或，
，
直线的解析式：；
如图，过点作于点，交于点，
设点，，
，
，
当时，的面积有最大值，
，．
作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，

，，
，
，
的最小值为，
，，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．
14．(1)
(2)的值为或或3
(3)的值为或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式，可得，根据的面积等于的面积，可得点的纵坐标为4或，分别求解即可；
（3）根据二次函数图象开口向上，对称轴为，分类讨论：当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得；当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得．
【详解】（1）∵抛物线（）与轴交于点
将点坐标代入得：
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点是抛物线与轴的交点，
∴
∵的面积等于的面积
∴点的纵坐标为4或
当时，点与点关于对称轴直线对称，即；
当时，代入得：，解得
综上所述，的值为或或3．
（3）由题意可知，二次函数的对称轴为直线，，抛物线开口向上
当时，．
当时，随的增大而减小
∴当时，二次函数取得最小值
即
解得，（舍去）
当，即时，随的增大而增大
∴当时，二次函数取得最小值
即
整理，得
解得，（舍去）
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质等，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
15．(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3），
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
16．(1)①，；②
(2)
(3)或
【分析】（1）①根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴和点的坐标；
②根据抛物线对称轴右侧的图象经过点时，此时点的横坐标值最大；当抛物线对称轴左侧的图象经过点时，此时点的横坐标最小，列方程求解即可；
（2）根据题意列方程求解即可
（3）根据题意分情况讨论即可．
【详解】（1）∵，
∴
∴对称轴为
∵与轴有两个交点分别是、
∴
解得，
∴．
故答案为：，
②当抛物线对称轴右侧的图象经过点时，此时点的横坐标值最大；当抛物线对称轴左侧
的图象经过点时，此时点的横坐标最小．
∵抛物线经过点时，
∴
解得，（舍去）
∵
∴ 此时点的横坐标为7
∵抛物线经过点时，
∴
解得，（不合题意舍去）
∴点横坐标的最大值比最小值大
（2）∵
∴顶点的纵坐标
当时，取得最小值
∴此时抛物线L的函数解析式为
（3）由（2）可得抛物线的对称轴为直线
∴当且时，处有最大值
∴，此时所在的点是抛物线的最高点
当直线：在抛物线的最高点上方时
可得方程：
解得，（舍去）
∴
当直线：在抛物线的最高点下方时
可得方程：
解得，（舍去）
∴
综上所述，的值为或．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)当或
【分析】（1）利用对称轴公式求出，即可得解析式；
（2）利用顶点公式用含的二次表达式表示，再使用配方法求出最大值；
（3）根据顶点及两端点的相对左右位置，得到大小关系，得到最大值和最小值，计算得出的值，验核大小做出取舍，最后留下符合条件的．
【详解】（1）由题意得，
，
函数解析式为；
（2）当时，
，
，
的最大值为；
（3）对称轴为直线，开口向上，
①当时，

在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，
解得，又，故舍去；
②当时，

在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，得（舍去），（可取）；
③当时，

同理 ，
得（舍去），（可取）；
④当时，

同理，
得（舍去），
综上，当或．
【点睛】本题考查二次函数代数综合题，考查了含参函数顶点最大值，在自变量有范围条件下函数最值问题．通常计算二次代数式最值，可将代数式看成二次函数或配方，求其最值．二次函数范围最值问题中，通常先计算可明确的开口和对称轴，画图标出左右高低位置，再找出最值位置，若无法确定，则可分类讨论计算，再验证是否可取．
18．(1)
(2)的最小值为，点P的坐标为；
(3)m的取值范围是或或．
【分析】（1）先求得顶点，再得到，，根据N为中点，列式计算即可求解；
（2）计算得到，推出，得到．利用二次函数的性质即可求解；
（3）确定和时，不合题意；再分时和两种情况讨论，画出图形，数形结合即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，
∴，
∵轴，
∴，，
∵N为中点，
∴，
解得，
∵点P在y轴左侧，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，解得，
所以．
当时，，
所以．
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，的值最小，最小值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：当时，M，N重合，不合题意；
当时，P，N重合，不合题意；
当时（如图），

，符合题意；
当时（如图），

．
由，
解得，
又∵，
∴当或时，的值大于0，即；
综上可知，m的取值范围是或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，中点公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．