2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段为对角线的正方形的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线称为美丽抛物线，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是美丽抛物线时，________；当抛物是美丽抛物线时，________．
（2）若抛物线是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．
（3）若抛物线是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（4）已知系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，且它们中恰有两个美丽抛物线与（s，t为正整数，，）的内接正方形的面积之比为1：4，试求的值．
3．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
（1）求经过三点的抛物线的函数表达式；
（2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，正方形.... 按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点, 且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数) ．
（1）直接写出下列点的坐标： ， ；
（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；
（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．
5．在平面直角坐标系中，对于图形，若存在一个正方形，这个正方形的某条边与轴垂直，且图形上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形为图形的一个正覆盖．很显然，如果图形存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形的正覆盖，其中正方形就是图形的紧覆盖．
（1）对于半径为2的，它的紧覆盖的边长为____.
（2）如图1，点为直线上一动点，若线段的紧覆盖的边长为，求点 的坐标．
（3）如图2，直线与轴，轴分别交于
①以为圆心，为半径的与线段有公共点，且由与线段组成的图形的紧覆盖的边长小于，直接写出的取值范围；
②若在抛物线 上存在点，使得的紧覆盖的边长为，直接写出的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点（0，6），其对称轴为直线x=．在x轴上方作平行于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在对称轴的右侧），过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C．设A点的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式．
（2）当m为何值时，矩形ABCD为正方形．
（3）当m为何值时，矩形ABCD的周长最大，并求出这个最大值．
7．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（2，0）．OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形PAC面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，△PAC的面积为S，其中S为整数的点P作“好点”，则存在多个“好点”，则所有“好点”的个数为　 　
（4）在（2）的条件下，以PA为边向直线AC右上侧作正方形APHG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点H或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
8．如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：　 　；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
10．（2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y交于点C，∠BAC的平分线与y轴交于点D，与抛物线相交于点Q，P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E，F，连接BE，BF．
（1）如图1，求线段AC所在直线的解析式；
（2）如图1，求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）如图2，以EF为边，在它的右侧作正方形EFGH，点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化，当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时，求正方形EFGH的边长．
13．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求E点坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，求a，h，k；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，6），点C坐标为（4，6），点B在x轴正半轴上．
（1）求该抛物线的函数表达式和点B的坐标．
（2）将经过点B、C的直线平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点M的坐标．
（3）①动点D从点O开始沿线段OB向点B运动，同时以OD为边在第一象限作正方形ODEF，当正方形的顶点E恰好落在线段AB上时，则此时正方形的边长为 ．
②将①中的正方形ODEF沿OB向右平移，记平移中的正方形ODEF为正方形O′D′E′F′，当点D与点B重合时停止平移．设平移的距离为x，在平移过程中，设正方形O′D′E′F′与△ABC重叠部分的面积为y，请你画出相对应的图形并直接写出y与x之间的函数关系式．
15．如图，抛物线l1:y=－x2＋2bx＋c（b＞0）的顶点为A,与y轴交于点B;若抛物线l2与l1关于原点O成中心对称，其顶点为C , 与y轴交于点D;其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线上
（1）顺次连接四点得四边形ABCD，则四边形ABCD形状是______________．
（2）请你探究：四边形ABCD能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c的值；若不能，请说明理由．
（3）继续探究：四边形ABCD是邻边之比为1:2的矩形时，求b，c的值．
16．已知：二次函数（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤≤2时，求函数的最小值（用含m的代数式表示）．
17．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点B．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)将抛物线的图象向右平移8个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点P的横坐标为m．过点P作于点D，求m为何值时，有最大值，最大值是多少？
参考答案：
1．（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为．
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴OB=1，
∴，
把点B、D坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴由两点距离公式可得，
设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
②当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，
∴，DM=EM，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
∴，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴，
若使的值为最小，即为最小，
∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，
∴线段OD的解析式为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
2．（1），；（2）；（3）成立，理由见解析；（4）或或
【分析】（1）先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）同（1）的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（3）分，两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，根据题意得出，从而得出，根据题中的范围得出的值，再得出的值，然后由即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=1，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=1，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，解得：；
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：（不合题意，舍去）；，
∴；
故答案为：，；
（2），
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：，（不合题意，舍去）；
∴；
（3）a，k数量关系仍成立．
当时，
∵抛物线是美丽抛物线，正方形，
又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，
∴AC=BD=，，
∴点D的坐标为，
∵点D在抛物线，
∴，解得，
∴；
当时，同理可得．
∴若抛物线是美丽抛物线，a，k数量关系仍为；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，
∵系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，
∴，
∵美丽抛物线与的内接正方形的面积之比为1：4，
∴，
∵，在直线上，
∴，
∵s，t为正整数，，，
∴或或，
∴或或，
∵，
∴或或，
∴或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．
3．（1）；（2）或；（3），，，
【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）设，分当BC和Q1C作直角边时和当BC和Q2B作直角边时，两种情况讨论；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴
解得，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3；
（2）如图，根据题意，，设
∴
当BC和Q1C作直角边时：
解得：y=4
∴
当BC和Q2B作直角边时：
解得：y=-2
∴
综上所述：点Q的坐标为或；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，
∵以、、、为顶点的四边形是正方形，
∴，即，
当时，整理得，解得；
当时，整理得，解得；
∴当以、、、为顶点的四边形是正方形时，
点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
4．（1）；（2）抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为，抛物线的解析式过程见解析；抛物线的顶点坐标为；（3）与的数量关系为，理由见解析．
【分析】（1）先求出A1坐标，根据正方形性质，求出B1坐标，进而求出A2坐标，最后求出B2坐标；
（2）根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；写出三条抛物线的顶点坐标，找出规律，写出 的顶点坐标；
（3）根据（2）求出D1，D2坐标，进而求出，，，长， 最后求出，比较即可 ．
【详解】解：（1）把x=0代入得y=-1，∴点A1坐标为(0，-1) ；
∵四边形 是正方形
∴A1 B1=1，∴点B1坐标为(0，-1) ；
把x=1代入得y=-2，∴点A2坐标为(1，-2) ；
∵四边形是正方形
∴A2 B2=2，∴点B2坐标为(3，-2) ；
∴
（2）解：由（1）得点A2坐标为(1，-2)，点B2坐标为(3，-2)，
抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为：
抛物线过点
当时，
解得
抛物线的解析式为：
把代入得，∴点A3坐标为(3，-4)
∵四边形 是正方形
∴A3 B3=4，∴点B3坐标为(7，-4) ；
∴抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为: ，
抛物线过点
解得
抛物线的解析式为：，
根据抛物线的顶点为
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为
得抛物线的顶点坐标为
（3）与的数量关系为
理由如下；由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）
即
由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）
即
．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数解析式求法及平面直角坐标系中点的规律等知识，综合性较强，图形较为复杂，根据函数解析式求点的坐标和顶点式求二次函数解析式是解题重点．根据题目特点，逐项分析，找出点的规律是解题关键．
5．（1）4；（2）（，2）或（2，-1）；（3）①≤r＜1；②a≥或a≤-2．
【分析】（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，由此即可解决问题；
（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的正方形的边长为2．分两种情形分别求解即可；
（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．利用两种特殊位置解决问题即可；
②如图2-1中，由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆盖的边长为3；
【详解】（1）由题意半径为2的⊙O的外切正方形是半径为2的⊙O紧覆盖，
∴紧覆盖的边长为4，
故答案为4．
（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段OP的紧覆盖的边长为2．
①当点P在第一象限时，作PH⊥x轴于H则PH=2，
y=2时，2=-2x+3，
x=，
∴P（，2）．
②当点P′在第三象限时，作P′H′⊥y轴，则P′H′=2，
当x=2时，y=-1，
∴P′（2，-1）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，2）或（2，-1）．
（3）①如图2中，作OH⊥AB于H．
由题意A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，AB=，
∵ OA OB= AB OH，
∴OH=，
当⊙O经过点A时，r=1，此时由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆盖的边长为4，
观察图象可知满足条件的r的范围为：≤r＜1．
②如图2-1中，如图由题意当抛物线与图中矩形EFGH区域有交点时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆盖的边长为3．
由题意E（-3，3），F（-3，0），G（2，0），H（2，3）．
当抛物线经过点G时，4a+4a-2=0，
∴a=，
∵抛物线的对称轴x=-1，经过（0，-2），
观察图象可知，当a≥时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆盖的边长为3．
当a＜0时，抛物线经过点A时，解析式为y=-2（x+1）2，
观察图象可知，当a≤-2时，在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆盖的边长为3．
综上所述，满足条件的a的值为a≥或a≤-2．
【点睛】此题考查二次函数综合题，正方形的性质，直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
6．（1）y=-x2+3x+6；（2）；（3）当时，矩形ABCD的周长最大为．
【分析】（1）首先根据对称轴求得b值，然后代入点（0，6）求得c值即可；
（2）首先用含m的代数式表示出线段AB、AD的长，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有关m的等式求得m的值即可；
（3）表示出正方形的周长，然后利用配方法求最值即可；
【详解】（1）∵对称轴为直线x=，
∴，
∴b=3．
把（0，6）代入y=-x2+3x+c得，
6=-0+3×0+c，
解得c=6．
∴此抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+3x+6．
（2）根据题意，得
AD=-m2+3m+6．
∵矩形ABCD为正方形，AB=AD．
∴2m-3=-m2+3m+6，
解得．
∵点A在对称轴的右侧，
∴．
∴（舍去）．
∴．
（3）设矩形ABCD的周长为C．
．
∴当时，矩形ABCD的周长最大为．
【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.
7．（1）抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6；
（2）当x＝﹣时，S的最大值为：；
（3）4；
（4）点P的坐标为：（，﹣5）或（，）．
【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）先求出直线AC的解析式，再过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x，由于△PAC面积S＝PH×OA，且OA易求，只需用含x的代数式表示出PH的长即可利用二次函数的性质求出结果；
（3）根据（2）题的关系式并结合x的范围逐一验证S是否为整数即得答案；
（4）分点G在y轴上和点H在y轴上两种情况，利用正方形的性质构造全等三角形分别求解即可.
【详解】解：（1）OC＝3OB＝6，故点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，﹣6），则抛物线为y＝ax2+3ax﹣6，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+6a﹣6，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6；
（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，则x＝﹣5或2，故点A（﹣5，0），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线AC的解析式为：y＝﹣ x﹣6，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
设点P（x，x2+x﹣6），点H（x，﹣x﹣6），
△PAC面积S＝PH×OA＝＝﹣x2﹣x，
∵﹣<0，故S有最大值， 当x＝﹣时，S的最大值为：；
（3）△PAC面积S＝﹣x2﹣x，因为点P是线段AC下方抛物线上的点，所以－5当x＝﹣4时，S＝6；当x＝﹣3时，s＝9；当x＝﹣2时，S=9；当x＝﹣1时，s＝6；
所以“好点”的个数为4，
故答案为4；
（4）如图2左侧图，
①当点G在y轴上时，作PR⊥x轴于点R，
∵∠GAO+∠PAO＝90°，∠PAO+∠APR＝90°，
∴∠APR＝∠GAO，
∵∠AOG＝∠PRA＝90°，AP＝AG，
∴△AOG≌△PRA（AAS），
∴OA＝PR＝5，
故点P的纵坐标为：﹣5，
则y＝x2+x﹣6＝﹣5，解得：x＝（不合题意的值已舍去），
故点P（，﹣5）；
②当点H在y轴上时，图2右侧图，同理可得：点P（，）；
综上，点P的坐标为：（，﹣5）或（，）
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、正方形的性质和一元二次方程的解法等知识，其中（1）题是基本题型，（2）题是典型的利用二次函数的性质求图形的最大面积问题，解题的关键是用含x的代数式表示出PH的长，解（4）题的关键是分类求解，避免遗漏，利用正方形的性质构建全等三角形.
8．（1）；（2）当矩形ABCD为正方形时，m的值为4；（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6或.
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出AQ，EF的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【详解】（1）将，代入，得：，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
（2）当 时，，
解得：，，
∴点a的坐标为（，m），点b的坐标为（，m），
∴点d的坐标为（，0），点c的坐标为（，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴，
解得：，（舍去），．
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．
设直线AC的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为．
当时， ，
∴点E的坐标为（，），点F的坐标为（，-t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ，
∴，分三种情况考虑：
①当时，如图1所示，，EF=，
∴，解得：（舍去），；
②当时，如图2所示，，EF=，
∴，
解得：（舍去），；
③,, EF=，
，
解得（舍去），
综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分，，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．
9．(1) （-3，4）；(2) P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在，或.
【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标．
（2）PA=t，OE=m，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可．
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．
【详解】解：（1）将A点坐标代入二次函数的解析式
可得：
解得：b=1，
故二次函数的解析式为：,
可得B点坐标为：（1，0），
故AB长度为：4，
根据正方形的性质可知，AD=AB=4，
故点D坐标为（-3，4）；
（2）设PA=t，OE=m，
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE，
∴．
∴．
∴当t=时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为．
（3）存在．
①点P在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）．
由△PAD∽△OEG得OE=PA=1．∴OP=OA+PA=4．
∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO=AD：OE=4：1．
∴．
∴重叠部分的面积=S△PAG．
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
仿①步骤，此时重叠部分的面积为．
10．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①P（，）；②点P（，）或（，2）．
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．
（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标．
②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3．∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠BAO=45°．
∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°．
又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形．∴PD越大，△PDE的周长越大．
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，
当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=，y=+=，
∴点P（，）时，△PDE的周长最大．
②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，
在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°．
∴∠APF=∠QPM．
∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）．∴PF=PQ．
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）．
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0．
解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，
∴点P的坐标为（，）．
（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN．
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ．
∴PF=AQ．
设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），
则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=（不合题意，舍去）或x=．
∴点P坐标为（，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，2）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用．
11．（1）（1，4）；（2）①点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②m的值为 或
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题．
【详解】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=，
∵DE⊥x轴，D（1，4），
∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，
∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE==，
∵∠MBA=∠BDE，
∴=，
当点M在x轴上方时， =，
解得m=﹣或3（舍弃），
∴M（﹣，），
当点M在x轴下方时， =，
解得m=﹣或m=3（舍弃），
∴点M（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m=，
当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m=，
∴满足条件的m的值为或．
【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12．（1）；（2）当x=﹣1时，S△BEF的最大值=．P（﹣1，0）；（3）顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．
【详解】试题分析：（1）由抛物线解析式求得点A、C的坐标，然后根据待定系数法来求直线AC的直线方程即可；
（2）如答图2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的长度；过点D作DI⊥AC于点I，构建全等三角形△ADI≌△ADO（SSA）和Rt△CDI，利用全等三角形的性质可以设DI=DO=m，则DC=OC﹣OD=4﹣m．所以根据勾股定理列出关于m的方程，借助于方程解题即可求得点D的坐标；然后利用待定系数法求得直线AD方程，由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）需要分类讨论：①当顶点G在线段BC上时，如答图3．设P（t，0），则由一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质推知，，．所以由正方形的邻边相等得到：，易得EF、FG的长度，从而求得点P的坐标和正方形的边长；
同理，②当顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．
解：（1）如答图1，抛物线的解析式为：．
令x=0，则y=﹣4，
∴C（0，﹣4）．
令y=0，则，
解得，x1=﹣3，x2=1．
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
设直线AC所在直线解析式为：y=kx+b（k≠0），
将A（﹣3，0），C（0，﹣4）代入可得，，
解得，
直线AC所在直线解析式为：；
（2）过点D作DI⊥AC于点I，如答图2．
∵A（﹣3，0），C（0，﹣4），
∴OA=3．
∴OC=4．
在Rt△AOC中，．
∵在△ADI与△ADO中，，
∴△ADI≌△ADO（SSA），
∴AI=AO=3，DI=DO．
设DI=DO=m，则DC=OC﹣OD=4﹣m．
∵IC=AC﹣AI，
∴IC=5﹣3=2．
在Rt△CDI中，∵ID2+IC2=DC2，
∴m2+22=（4﹣m）2，
解得，．
∴．
∴．
设直线AD所在直线解析式为：y=kx+b（k≠0），
将A（﹣3，0），代入可得，，
解得，
直线AD所在直线解析式为：．
又∵直线AC的解析式为：．
∴设P（n，0），则，，
∴BP=1﹣n，，
∴=．
∴该函数的对称轴是直线x=﹣1．
∴当x=﹣1时，S△BEF的最大值=．
此时，P（﹣1，0）；
（3）由B（1，0），C（0，﹣4）可得直线BC的解析式为：y=4x﹣4．
①当顶点G在线段BC上时，如答图3．
设P（t，0），则，，．
∴，．
∵EF=FG，
∴，
解得，．
∴．
∴顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；
②当顶点H在线段BC上时，如答图4．
设P（t，0），则，，．
∴，．
∵EF=EH，
∴，
解得，．
∴．
∴顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．
综上所述，顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．
考点：二次函数综合题．
13．（1）（3，1）；（2），h="2" ，；（3）存在，M1（2，1），N1（4，2）；M2（2，3），N2（0，2）；M3（2，），N3（2，）．
【详解】试题分析：（1）过点E作EG⊥x轴于点G，证△OCD≌△GED 即可得出结论；（2）因为抛物线的对称轴为直线AB，所以对称轴是直线x=2,即h=2，再将C,E两点坐标代入y=a（x-2）2+k，解二元一次方程组，即可求出a,k；（3）根据平行四边形的性质，及点M为直线AB上一点，点N为抛物线上一点，存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形：①点N与C重合，作EF⊥AB,则EF=1，点M在F上方,使FM=2，此时以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，易求得M．N点坐标；②N点在对称轴右侧，此时MN=,且MN∥DE，此时以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，易求得M．N点坐标；③DE为对角线，，此时N在抛物线的顶点处，根据平行四边形对角线互相平分，和三角形全等易求得M．N点坐标．
试题解析：（1）过点E作EG⊥x轴于点G，因为∠EDG+∠CDO=90°，∠OCD+∠CDO=90°,所以∠EDG=∠OCD，又因为CD=ED,所以Rt△OCD≌Rt△GED（AAS），所以EG=OD=1，DG=OC=2，所以E的坐标为（3，1）；
（2）因为抛物线的对称轴为直线AB，所以对称轴是直线x=2,即h=2，再将C（0,2）,E（3,1）两点坐标代入y=a（x-2）2+k，得：，解得：，所以，h="2" ，；（3）存在，根据平行四边形的性质，及点M为对称轴AB上一点，点N为抛物线上一点，存在三点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形：①点N与C重合，作EF⊥AB,则EF=1，点M在F上方,使FM=2，M点坐标为（2,3）此时以点M，N，D，E为顶点的四边形是特殊的平行四边形，即正方形（有一个角是直角的菱形），此时M（2，3），N（0，2）；②N点在对称轴右侧，此时MN=,且MN∥DE，这时以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，作NG⊥AB于G，EH⊥x轴于H，易证△NGM≌△DEH，NG=DH=2，所以N点横坐标为4，代入抛物线解析式，得y=（4-2）2+=2,所以N点坐标为（4,2）,GM=EH=1，所以MA=2-1=1，所以M点坐标为（2，1）；即此时M（2，1），N（4，2）；③DE为对角线，，此时N在抛物线的顶点处，设DE与MN交于点Q，因为DQ=EQ，当NQ=MQ时，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，此时以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，因为抛物线的顶点是（2，），所以N点坐标为（2，），作EK⊥AB于K,则AK=1，KN=1-=,因为△DMA≌△EKN，所以MA=KN=,所以M点坐标为（2，）此时M（2，），N（2，）．综上所述，存在三点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，即M1（2，1），N1（4，2）；M2（2，3），N2（0，2）；M3（2，），N3（2，）．
考点：1．求抛物线解析式；2．平行四边形判定；3．二次函数与四边形动点问题．
14．（1），B（12，0）；
（2）①M（0，6）；
②M1（-12，－6），M2（16，－6）；
①4；
②（1）当0＜x≤时，
（2）当＜x≤4时，
（3）当4＜x≤时，
（4）当＜x≤8时，
【详解】试题分析：（1）待定系数法即可得到解析式，令y=0即可得点B坐标；
分情况讨论即可得；
如图分类讨论即可得．
试题解析：（1）将A（0，6），C（4，6）代入y=-x2+bx+c，， ∴
当y＝0时， ，x1＝12，x2＝－8 ，∴B（12，0）；
（2）①如图所示，当MN在x轴上方时 ∵四边形MNBC为平行四边形
∴MC∥BN ∵AC∥x轴 ∴A与M重合 ∴M（0，6）
②MN在x轴下方，如图所示
作CD⊥x轴，作M1E⊥x轴，M2F⊥x轴
∴CD＝M1E＝6，∴当y＝－6时，x1=-12,x2=16,∴M2（-12，－6），M3（16，－6）
（3）①因为EF//OB所以△AFE∽△AOB，设EF为x则 解得x=4
②（1）当0＜x≤时，
（2）当＜x≤4时，
（3）当4＜x≤时，
（4）当＜x≤8时，
考点：二次函数综合题．
15．（1）平行四边形；（2）b=1,c=-1；（3）或
【详解】试题分析：（1）若抛物线l2与l1关于原点O成中心对称，其顶点为C , 与y轴交于点D;可知四边形ABCD形状是平行四边形；
（2）根据正方形的性质即可得出b，c的值；
（3）分两种情况：当AB=2CD时，当2AB=CD时，讨论即可
试题解析：（1）若抛物线l2与l1关于原点O成中心对称，其顶点为C , 与y轴交于点D;可知四边形ABCD形状是平行四边形；
（2）当四边形ABCD能成为正方形时，AC⊥BC且OA=OB
此时点A必在x轴上，∴
∵OA=OB，点C必在y轴的负半轴上，∴b=-c，
∴c=0（舍去），c=-1，b=1．
∴b=1，c=-1；
（3）∵y=－x2＋2bx＋c（b＞0）
∴顶点A的坐标为（b，c+b2），
当x=0时，y=c，∴点C的坐标为（0，c），
四边形ABCD是矩形时，OA=OB，
即①
当AB=2CD时，②
由①②知：此时：，
当2AB=CD时，③
由①③知：此时：
∴，或
考点：二次函数综合
16．（1）m="4;" y=x2-2x-2．（2）当m＜0时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-+m+1；当m＞4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-m+5．
【详解】试题分析：（1）①根据二次函数x2-mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；
②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2-mx+m+1的最小值．
试题解析：（1）①∵二次函数y=x2-mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，
∴△=m2-4×1×（m+1）=0．
整理，得m2-3m-4=0，
解得m1=4，m2=-1，
又∵点A在x轴的正半轴上，
∴m=4.
②由①得点A的坐标为（2，0）．
∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．
设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数）．
∴，
解得
∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2-2x-2．
（2）函数y=x2-mx+m+1的图象是顶点为（，-+m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：
（ⅰ）当＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为m+1；
（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为-+m+1；
（ⅲ）当＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为-m+5．
综上所述，当m＜0时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-+m+1；当m＞4时，函数y=x2-mx+m+1的最小值为-m+5．
考点：二次函数综合题.
17．（1）y=x2﹣4x+；（2）S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；（3）存在，E（，﹣），F（，）．
【分析】（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB |y|，即可求得平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S△OBE=2×OB |y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
18．(1)，
(2)存在，，，
(3)当时，的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可．
（2）分①为正方形的边长，②为正方形的对角线两种情况讨论，作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可求解．
（3）求出的解析式，证明时等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求出H的坐标，进而求出和，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，，三点，
∴，
解得，
∴，
把代入一次函数中，
得，
．
抛物线的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：①当为正方形的边长时，
分别过B点，C点作，，使，连接，过点作轴于，
，
，
，
同理可得，．
②以为正方形的对角线时，
如图，过的中点G作，使与互相平分且相等，
则四边形为正方形，过点作轴于点N，过点B作于点M，
，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或4，
当时，，此时点E在点F右侧，舍去；
当时，，

综上，，，；
（3）∵抛物线向右平移8个单位长度得到抛物线，
，
过M，N，C三点，
∴，
如图，在直线下方的抛物线上任取一点P，作轴交于点H，过H作轴于G，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
答：当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理解决问题．