专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）
1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是
指数型函数y=的图象上一些孤立的点.
5．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶
数项异号).
6．等比数列的性质
设{}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
.
(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
【题型1 等比数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．4
【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【题型2 等比中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32 B． C． D．
【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【题型3 等比数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正项等比数列满足，，则其通项公式（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列中，，前三项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列中，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【题型4 等比数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-1】（2022·辽宁·高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ）
A．， B．，
C． D．
【变式4-2】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【题型5 等比数列的判定与证明】
【方法点拨】
只有定义法、递推法(等比中项法) 可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题
中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意≠0.
【例5】（2022·湖南省高二期中）在数列中，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
【变式5-2】（2022·福建省高三阶段练习）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【题型6 等比数列性质的应用】
【方法点拨】
对于等比数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2021·广西·高二阶段练习）在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【变式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【变式6-3】（2020·北京高二期中）等比数列{an}中，a1 a2 a3＝﹣26，a17 a18 a19＝﹣254，则a9 a10 a11的值为（ ）
A．﹣210 B．±210 C．﹣230 D．±230专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）
1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是
指数型函数y=的图象上一些孤立的点.
5．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶
数项异号).
6．等比数列的性质
设{}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
.
(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
【题型1 等比数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.
【解答过程】，，得，∴．
故选：A．
【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．4
【解题思路】用基本量表示题干信息，计算即可.
【解答过程】由题意，设等比数列的首项为，公比为，
由，，
可得，故，解得.
故选：B.
【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
【解题思路】根据等比数列的定义，结合等比中项，建立方程组，可得答案.
【解答过程】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.
故选：A.
【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解题思路】利用可得到等比数列的公比的平方，再利用即可得出.
【解答过程】在等比数列中，由得
，
所以，，
所以.
故选：D.
【题型2 等比中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.
【解答过程】由已知
所以与的等比中项是，
故选：A.
【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32 B． C． D．
【解题思路】根据等比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项，再根据等比中项的定义求解即可
【解答过程】由题，该等比数列为，设第2项与第4项的等比中项为，
则，故，
故选：D.
【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．5
【解题思路】由等比中项的性质列方程求得.
【解答过程】由已知得，∴，
故选:C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【解答过程】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
【题型3 等比数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正项等比数列满足，，则其通项公式（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比，从而求得.
【解答过程】因为是正项等比数列，所以，
又因为，，所以，故，
所以.
故选：B.
【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据等比数列的通项公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式.
【解答过程】数列 为各项为正的递增数列，设公比为 ，且 ，
，
，
，
，
即 ，
解得:
.
故选：B.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列中，，前三项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】由和联立解出首项和公比，通过等比数列的通项公式得到答案.
【解答过程】设等比数列的公比为，由题意得
，解得或，
所以或.
故选：D.
【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列中，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】由已知，结合等比数列的通项公式可得求公比，进而写出的通项公式.
【解答过程】令公比为，由题设有，
所以，解得或，经检验符合题设.
所以，可得或.
故选：C.
【题型4 等比数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.
【解答过程】由已知，解得或，，
此时数列不一定是递减数列，
所以是“数列递减”的非充分条件；
若数列为递减数列，可得或，所以，
所以是“数列递减”的必要条件.
所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式4-1】（2022·辽宁·高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ）
A．， B．，
C． D．
【解题思路】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论.
【解答过程】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.
①若，则对任意的，，由可得，即；
②若，则对任意的，，由可得，此时.
所以，为递增数列的充要条件是，或， ，
当，时，，则；
当，时，，则.
因此，数列为递增数列的充要条件是.
故选：C.
【变式4-2】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比的范围即可.
【解答过程】由题意，，又，
∴要使为递增数列，则，
当时，为递增数列，符合题设；
当时，为递减数列，符合题设；
故选：C.
【变式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．
【解答过程】对于A，，，则单调递减，故A不符题意；
对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意；
对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；
对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意．
故选：D﹒
【题型5 等比数列的判定与证明】
【方法点拨】
只有定义法、递推法(等比中项法) 可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题
中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意≠0.
【例5】（2022·湖南省高二期中）在数列中，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【解题思路】（1）结合等比数列的定义证得结论成立.
（2）根据（1）的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.
【解答过程】（1）依题意，数列中，，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得：数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
【解题思路】根据题意即可证明，从而确定为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解的通项公式.
【解答过程】因为，所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以.
【变式5-2】（2022·福建省高三阶段练习）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.
【解题思路】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，从第2项开始递增，从而易得最小项．
【解答过程】（1）
因为，,
所以是首项为1，公比为的等比数列；
（2）
由（1）得，所以，则
当时，，；
当时，，，又，所以，
所以，即.
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【解题思路】（1）根据等比数列的定义分析即可.
（2）由（1）可得的通项公式，构造求.
【解答过程】（1）各项都为正数的数列满足，得，即，
所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，
由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
于是，
又因为，
所以，即.
【题型6 等比数列性质的应用】
【方法点拨】
对于等比数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2021·广西·高二阶段练习）在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解题思路】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.
【解答过程】在等比数列中，，解得，
则.
故选：A.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】先根据等比数列的性质得到和，再根据可求得的大小，解题时要注意对的符号的处理．
【解答过程】由等比数列的性质可得，
∴ ．
∴，
又与和同号，
∴．
故选：C．
【变式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【解题思路】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.
【解答过程】因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A.
【变式6-3】（2020·北京高二期中）等比数列{an}中，a1 a2 a3＝﹣26，a17 a18 a19＝﹣254，则a9 a10 a11的值为（ ）
A．﹣210 B．±210 C．﹣230 D．±230
【解题思路】根据等比数列的性质，即可直接得到结果.
【解答过程】因为数列是等比数列，
故可得a1 a2 a3，a9 a10 a11，a17 a18 a19也构成等比数列，
故，
故可得a9 a10 a11，
又，a1 a2 a3＝﹣26，即可得，故可得，同理，
则，也即a9 a10 a11，
故可得a9 a10 a11
故选：.
