专题4.8 等比数列的概念（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·北京·高二期末（理））在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】计算出的值，利用等比中项的定义可求得结果.
【解答过程】由已知可得，由等比中项的性质可得，
因此，与的等比中项是.
故选：A.
2．（3分）（2022·宁夏·高三期中（文））设是等比数列，且，，则=（ ）
A．24 B．48 C．32 D．64
【解题思路】根据已知条件和等比数列的性质求得的值，结合可求得结果.
【解答过程】设等比数列的公比为，
则，
，
两式相除，得，
因此，.
故选：B.
3．（3分）（2022·甘肃·高二阶段练习）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】利用对数运算性质、等比中项可得且，根据已知有，即可求公比.
【解答过程】令公比为，
由，故且，
所以，则，
又，则，
所以，
综上，.
故选：A.
4．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【解题思路】由已知条件结合一元二次方程根与系数的关系，利用等比数列的性质求解．
【解答过程】是方程的两根，
，
，
又等比数列中奇数项符号相同，可得
.
故选：C．
5．（3分）（2022·陕西·高二期中）已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据等差和等比数列通项公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可得到结果.
【解答过程】设构成的等差数列公差为，构成的等比数列公比为，
，，即，
，，，
.
故选：A.
6．（3分）（2022·全国·高二期中）数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件求出数列{an}通项，再由数列{bn}为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答．
【解答过程】数列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，则有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，
因此，数列{an+1}是公比为2的等比数列，，即，
则，因数列{bn}为单调递增数列，即 n∈N*，bn+1﹣bn＞0，
则（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝ 2n﹣2n+3＞0，，
令，则，n∈N*，
当n≤2时，cn+1＞cn，当n≥3时，cn+1＜cn，
于是得是数列{cn}的最大项，即当n＝3时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选C．
7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知数列是各项均大于0的等比数列，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．一定是递增的等差数列； B．不可能是等比数列；
C．是等差数列； D．不是等比数列．
【解题思路】设出等比数列的公比，求出的表达式，再逐项分析判断作答.
【解答过程】设等比数列的公比为，依题意有，，，
，为常数，即数列是公差为的等差数列，
当时，，等差数列是递减的，A不正确；
当时，，即数列是非0常数数列，它是等比数列，B不正确；
为常数，即是等差数列，C正确；
是不为0的常数，即数列是等比数列，D不正确.
故选：C.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】设第n个正三角形的边长为，根据已知条件可得，由等比数列的定义写出通项公式并求，即可得最小的正三角形的面积.
【解答过程】设第n个正三角形的边长为，则，
由勾股定理知，
所以，又，则，
所以是首项为243，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，故最小的正三角形的面积为.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知等比数列的前3项分别为x，，，则其通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等比数列的性质和定义求得，再得公比，从而可得通项公式．
【解答过程】由于等比数列的前3项分别为x，，，
则，显然，得，解得或．
当时，公比，；当时，公比，．
故选：BD．
10．（4分）（2022·江苏南通·高二期中）已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
【解题思路】根据比数列的定义，逐一判断选项.
【解答过程】设等比数列的公比为，
A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；
B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．
C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；
D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确.
故选：BD.
11．（4分）（2022·江苏·高三开学考试）已知等比数列满足，公比，且，则（ ）
A．
B．当时，最小
C．当时，最小
D．存在，使得
【解题思路】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断
【解答过程】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对B和C，由等比数列的性质可得，
故即，
∵，∴，
因为，所以，
∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，所以B错误，C正确；
对D，因为，，所以是单调递增数列，所以当时，，故，故D错误，
故选：AC.
12．（4分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．使成立的最小自然数等于2021
【解题思路】求得q的取值范围判断选项A；求得与1的关系判断选项B；求得与的大小关系判断选项C；求得使成立的最小自然数判断选项D.
【解答过程】由，可得①或②
由①得，又，则，
由②得，，又，则，
又，则，则数列为递增等比数列.这与，矛盾.舍去.
综上，可得.选项A判断正确；
，又，则.选项B判断错误；
又数列中，，，，
则有，
则.选项C判断错误.
，，
，
则使成立的最小自然数等于2021.选项D判断正确.
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海·高二期末）等比数列中，，则通项公式 .
【解题思路】基本量法联立方程组解出即可.
【解答过程】已知可得，
两式相除得，解得
代入解出所以
故答案为：.
14．（4分）（2022·陕西·高二期中）已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则 ．
【解题思路】首先根据等比中项求出和，再求出公比，再利用等比数列通项即可求.
【解答过程】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，
.又，，
而.
故答案为：.
15．（4分）（2022·上海高二期中）若数列和满足，，，，则 .
【解题思路】由题干中两式相加构造等比数列，进而求出的通项公式，代入计算即可.
【解答过程】因为，，
所以，
即，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
又，即，
所以，
所以；
故答案为：.
16．（4分）（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为 ①③ .
【解题思路】分别讨论和，找到矛盾，可判断①，通过以及可得到，则通过可判断②，通过时，， 时，，可判断③，算出，可判断④.
【解答过程】解：∵，
若，则，
此时，与矛盾，故不成立，
若，，
此时，与矛盾，故不成立，
∴，故①正确；
因为，，，
由得
，故②不正确；
因为，，，
所以当时，，当时，，
所以是数列中的最大项，故③正确；
，
，
∴使成立的最大自然数等于4032，故④不正确.
故答案为：①③.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.
【解题思路】设出四个数分别为a，b，c，d，根据条件列出方程，求出答案.
【解答过程】设四个数分别为a，b，c，d，
则，，，，
将代入得：，
将，代入得：，
将，代入得： ，
解得：或2，
当时，则，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去；
当时，解得：，，，故满足要求，
故这四个数为1,2,4,6.
18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）（1）已知等比数列满足，，求的值；
（2）已知等比数列为递增数列.若，且，求数列的公比.
【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式求出，可得；
（2）根据等比数列的通项公式求出或，再根据等比数列为递增数列，且，可得.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，
由，得，
解得，∴，∴，∴.
（2）由，得，
易知，所以，即，
解得或.
因为等比数列为递增数列，且，所以，所以.
19．（8分）（2022·辽宁·高三期中）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，若，求m．
【解题思路】（1）用基本量表示题干条件，求解即可；
（2）代入，求解可得，再代入，求解即可.
【解答过程】（1）设的公比为q，
则，
解得
所以的通项公式为．
（2）因为，
所以，，．
由，
整理得，
解得m＝4或（舍去），
故m＝4．
20．（8分）（2022·北京·高二期中）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，，求．
【解题思路】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）因为，，由等比数列的性质可得，所以，代入即可得出答案.
【解答过程】(1)
设的公比为，为的等差中项，
，
；
(2)
因为，，
由等比数列的性质可得： ，所以.
所以.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数．
(1)对于任意实数，证明：数列不是等比数列；
(2)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
【解题思路】（1）若存在实数，使得数列是等比数列，则必有，否则不为等比数列，即可得证；
（2）若存在实数使得数列是等比数列，证明常数即可．
【解答过程】（1）
解：假设若存在实数，使得数列是等比数列，
则必有，， ，．
由，整理得，矛盾．
故假设错误，因此对于任意实数，数列不是等比数列；
（2）
证明：若存在实数使得数列是等比数列，则常数．
，
当且仅当，即时上式成立．
因此当时，为常数，数列是等比数列．
22．（8分）（2022·安徽·高二阶段练习（理））数列中，，（）
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值．
【解题思路】（1）根据递推关系式以及，可得，从而获得证明；
（2）由作差法得到数列的单调性，根据单调性即可获解.
【解答过程】（1）由，得，即，
整理得：，又，
所以，即，
又，故是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1） ，设，
则，
当，2时，；
当时，，即，
又，，，，，
故，，当时，，，
综上，当或时，取得最大值．专题4.8 等比数列的概念（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·北京·高二期末（理））在等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·宁夏·高三期中（文））设是等比数列，且，，则=（ ）
A．24 B．48 C．32 D．64
3．（3分）（2022·甘肃·高二阶段练习）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
5．（3分）（2022·陕西·高二期中）已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．或
6．（3分）（2022·全国·高二期中）数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知数列是各项均大于0的等比数列，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．一定是递增的等差数列； B．不可能是等比数列；
C．是等差数列； D．不是等比数列．
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知等比数列的前3项分别为x，，，则其通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022·江苏南通·高二期中）已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
11．（4分）（2022·江苏·高三开学考试）已知等比数列满足，公比，且，则（ ）
A．
B．当时，最小
C．当时，最小
D．存在，使得
12．（4分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．使成立的最小自然数等于2021
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海·高二期末）等比数列中，，则通项公式 .
14．（4分）（2022·陕西·高二期中）已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则 ．
15．（4分）（2022·上海高二期中）若数列和满足，，，，则 .
16．（4分）（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.
18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）（1）已知等比数列满足，，求的值；
（2）已知等比数列为递增数列.若，且，求数列的公比.
19．（8分）（2022·辽宁·高三期中）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，若，求m．
20．（8分）（2022·北京·高二期中）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，，求．
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数．
(1)对于任意实数，证明：数列不是等比数列；
(2)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
22．（8分）（2022·安徽·高二阶段练习（理））数列中，，（）
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值．
