专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）
1．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系
(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.
(2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常
数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.
3．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
4．数列求和的常用方法
(1)公式法求和
①直接用等差、等比数列的求和公式.
②掌握一些常见的数列的前n项和公式.
(2)倒序相加法求和
如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序
相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
(3)错位相减法求和
错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列.
(4)裂项相消法求和
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后
面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.
【题型1 求等比数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列，其前项和为.若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列中,若公比,且前3项之和等于21，则该数列的通项公式
A． B． C． D．
【题型2 等比数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【变式2-1】（2022·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【题型3 求等比数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等比数列的基本量，得到首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15 B．31 C．63 D．64
【变式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·河北高三阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．510 B．511 C．1022 D．1023
【变式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 等比数列的应用】
【方法点拨】
对于等比数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等比数列，利用等比数
列的通项公式、求和公式进行求解.
【例4】（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·四川省高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
【变式4-3】（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【题型5 等差、等比数列的综合应用】
根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.
【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
【变式5-1】（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-2】（2022·山西·高三期中）记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.
【变式5-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【题型6 数列的求和】
【方法点拨】
对于具体的数列求和问题，选择合适的数列求和方法，进行求解.
【例6】已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【变式6-1】数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项．
【变式6-2】（2022·安徽·高三阶段练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【变式6-3】（2022·江苏·高二期中）已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）
1．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系
(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.
(2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常
数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.
3．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
4．数列求和的常用方法
(1)公式法求和
①直接用等差、等比数列的求和公式.
②掌握一些常见的数列的前n项和公式.
(2)倒序相加法求和
如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序
相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
(3)错位相减法求和
错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列.
(4)裂项相消法求和
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后
面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.
【题型1 求等比数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】设公比为，求出首项的公比后可得通项公式．
【解答过程】设公比为，则，解得或，
所以或．
故选：D．
【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列，其前项和为.若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到数列的通项公式.
【解答过程】由各项均为正数，公比为的等比数列，
，，
可得，，
解得，，
则，.
故选：D.
【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到的值.注意正项等比数列的公比大于0.
【解答过程】设正项等比数列的公比为q（q>0），
则由得，
即，即，
即，
解得（舍去）.
由得，即，
将代入得，
解得，
则.
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列中,若公比,且前3项之和等于21，则该数列的通项公式
A． B． C． D．
【解题思路】依题意列方程直接求解，然后由通项公式可得.
【解答过程】由条件得解得，
则
故选：A.
【题型2 等比数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【解题思路】根据等比数列的性质知，，也是等比数列，计算出新数列的公比即可求解.
【解答过程】根据等比数列的性质知，，成等比，因为，所以，则.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【解题思路】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.
【解答过程】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【解题思路】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．
【解答过程】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，
则，
故；
故选：.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】根据，解关于 的方程，注意还是的讨论，代入公式即可求解.
【解答过程】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B.
【题型3 求等比数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等比数列的基本量，得到首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15 B．31 C．63 D．64
【解题思路】设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解.
【解答过程】设等比数列的公比为，
由题得.
所以.
故选：B.
【变式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.
【解答过程】由等比中项的性质得，
又，
解得或，
当时，或（舍），
当时，（舍），
所以，，
此时，
所以，
故选：D.
【变式3-2】（2022·河北高三阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．510 B．511 C．1022 D．1023
【解题思路】设正项等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得，即可求出，进而求出，再由前项和公式代入即可得出答案.
【解答过程】设正项等比数列的公比为，
则由得，
即，即，即，
解得（舍去）．
由得，
所以.
故选：A．
【变式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据等比数列的通项公式和等差中项的应用求出等比数列的首项和公比，结合等比数列前n项求和公式计算即可.
【解答过程】设该等比数列的通项公式为()，
由题意知，即，
解得，
所以.
故选：B.
【题型4 等比数列的应用】
【方法点拨】
对于等比数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等比数列，利用等比数
列的通项公式、求和公式进行求解.
【例4】（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，第一个工程队承建的基站数为（万），由等比数列前项和公式列式求解．
【解答过程】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．
故选：B．
【变式4-1】（2022·四川省高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【解题思路】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D.
【解答过程】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，
设数列前n项和为，则，
故 ，解得，
则，
故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误；
，该人第三天走的路程为48里，B错误；
，该人前三天共走的路程为里，C错误；
由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，
故选：D.
【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
【解题思路】根据题意可知，此人每天走的路程构成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出，再求出即可．
【解答过程】设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
所以（里）
故选：D．
【变式4-3】（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解题思路】通过归纳法归纳出每次舍弃的线段的长度，然后由等比数列的前项和公式求得前次舍弃的线段的和，然后列不等式求解．
【解答过程】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为，第三次操作去掉的线段长度和为，…，第操作去掉的线段长度和为，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故选：A．
【题型5 等差、等比数列的综合应用】
根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.
【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
由，，
可得：，
解得，
所以的通项公式；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，
由（1）可得，等比数列满足，，
由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同），
所以，
则是公比为，首项为的等比数列，
.
【变式5-1】（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）由已知条件求得等比数列的公比和首项，即可求得其通项公式；
（2）求得的通项公式，结合（1）的结论可得，利用分组求和法，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【解答过程】（1）因为,,成等差数列，所以 ,
又因为在等比数列中，,所以，得的公比 ，
所以 ,解得 ，故.
（2）由,，，得 ，
则是等差数列，因为,所以，
则 ，
则
．
【变式5-2】（2022·山西·高三期中）记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.
【解题思路】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；
（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.
【解答过程】（1）由，得，因为，所以.
结合，可得，，，解得，，
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，当时，.
又，所以，，，，，，，，，
令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，
所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项.
将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，
所以的前100项和为.
【变式5-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【解题思路】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式及性质列出方程组求解即可；
（2）利用错位相减法求出数列的和．
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
∴；
设等比数列的公比为，
则，解得，，，
∴，
（2）由（1）可知
∴，
则，
两式相减得：，
∴．
【题型6 数列的求和】
【方法点拨】
对于具体的数列求和问题，选择合适的数列求和方法，进行求解.
【例6】已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解题思路】（1）由递推式变形得，从而利用等比数列的定义即可得证；
（2）由（1）求得，再利用分组求和法与等比数列的前项和公式即可得解.
【解答过程】（1）因为数列的首项，且满足，
所以，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，则，
所以 .
【变式6-1】数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项．
【解题思路】（1）根据与的关系，采用相减法求数列的通项公式即可；
（2）根据数列为等差数列，结合已知求解，利用组求和、错位相减法即可求数列的前n项．
【解答过程】（1）解：当时，，所以，
因为①，
所以当时，②，
①-②得，
所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以；
（2）解：由（1）知，，，
所以，，
设的公差为d，则，所以，
所以，
所以，
设数列的前n项和为，
所以③，
④，
③-④得
，
所以，
又因为数列的前n项和等于，
所以的前n项和为．
【变式6-2】（2022·安徽·高三阶段练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解题思路】（1）变型可得，从而可得为等差数列，进而求得，根据与的关系可得；
（2）根据错位相减法即可求解.
【解答过程】（1）因为，
则有，
两边同时除以得：，，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，则，
当时，，符合，
故.
（2），
①
②
①②得：
即，
得.
【变式6-3】（2022·江苏·高二期中）已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.
【解题思路】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论.
（2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为.
（3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.
【解答过程】（1），
，
，
，，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
（2）由（1）可得，
时，，
时也成立.
，
，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
数列的前项的和为.
（3），
数列的前项和，
.
