专题4.5 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）
1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式
=(公式一).
=(公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn.
(1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
【题型1 求等差数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·全国·高二课时练习）记为等差数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】联立，，求出首项和公差，按照公式求通项即可.
【解答过程】设等差数列的公差为d，则,
解得，所以．
故选：B．
【变式1-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.
【解答过程】设公差为，依题意得
，
解得，
所以，
故选：C.
【变式1-2】（2021·广西·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，根据等差数列通项公式得到结果.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得：，
.
故选：B.
【变式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件，，可求得，，再代入等差数列的通项公式，即可得答案；
【解答过程】设公差为，则，得，有，解得，所以．
故选：B.
【题型2 等差数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差中项求解即可.
【解答过程】因为，为等差数列，
所以，，所以，
故选：D.
【变式2-1】（2021·全国·高二）设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差数列的前项和的性质可求的值.
【解答过程】,
故选：D.
【变式2-2】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意成等差数列，设，即可求出.
【解答过程】因为为等差数列，所以成等差数列，
因为，设，
由，即，则，
所以，所以，
所以.
故选：B.
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前项和即可求解.
【解答过程】因为数列是等差数列，所以，
所以，
又因为分别是等差数列与的前项和，且，
所以,
故选：.
【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【方法点拨】
根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依据等差数列的前n项和的二次函数性质，去判定其开口方向和对称轴位置即可解决.
【解答过程】等差数列的前n项和
由，知，即抛物线开口向下，排除选项AB；
由，，知对称轴，排除选项D.
故选：C.
【变式3-1】（2021·福建省高二开学考试）等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据等差数列前项和公式写出，从函数角度，分析图象的开口及与坐标轴的交点坐标来确定最终图象.
【解答过程】由等差数列前项和公式得，，
因为，，所以，函数的图象开口向上，排除C，D.
令，得或，排除B，故选A.
故选：A.
【变式3-2】（2022·河北·高三阶段练习）已知是各项不全为零的等差数列，前项和是，且，若，则正整数（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【解题思路】将看作关于的二次函数，根据二次函数的对称性进行计算即可.
【解答过程】设等差数列的首项和公差分别为，，则，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得.
故选:C.
【变式3-3】（2021·江苏·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【解题思路】由等差数列的前项和，可看成关于的二次函数，结合二次函数图象的对称性即可求解.
【解答过程】解：由题意，等差数列的前项和，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得，
故选：D．
【题型4 求等差数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例4】（2022·江苏·高二期中）已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
【解题思路】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.
【解答过程】解：因为为等差数列，
所以，
所以，
则数列的前14项之和.
故选：C.
【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116 B．232 C．58 D．87
【解题思路】根据等差数列的性质和前项和公式求解.
【解答过程】∵，∴，∴为等差数列，
∴ ，
∵，∴，
∴，
故选:A.
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【解题思路】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.
【解答过程】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，
则.则.
故选：C.
【变式4-3】（2022·山东·高三期中）已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解题思路】设出公差，根据前项和基本量计算出公差，从而求出.
【解答过程】设的公差为，由得：
，解得：，
故.
故选：C.
【题型5 等差数列前n项和的最值】
【方法点拨】
1.通项法
若>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；
若<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定.
2.二次函数法
对于公差为非零的等差数列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函数最值的方法
来求前n项和Sn的最值.这里应由n及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值.
【例5】（2022·内蒙古·高一阶段练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，可得，，再结合前项和公式与二次函数性质求解即可.
【解答过程】由题，，解得，
所以，
所以当时，的最小值为.
故选：A.
【变式5-1】（2022·甘肃·高二期中）记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【解题思路】设等差数列的公差为d，由可解出d值为，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时的值可确定．
【解答过程】设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12．
故选：B．
【变式5-2】（2022·陕西·高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【解题思路】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.
【解答过程】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C.
【变式5-3】（2022·北京高三阶段练习）等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，列方程求得，再求解的最小值即可.
【解答过程】解：设等差数列的公差为，
因为等差数列中，，，
所以，解得，
所以，且时，
所以的最小值为.
故选：A.
【题型6 等差数列的实际应用】
【方法点拨】
对于等差数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等差数列，进行求解.
【例6】（2022·全国·模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）
A．555 B．101 C．505 D．1010
【解题思路】利用等差数列求和公式得到，进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和.
【解答过程】由题意得：，
故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为.
故选：C.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤
【解题思路】根据等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.
【解答过程】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列是公差为17的等差数列，
因为绵的总重量为996斤，
所以，
解得，
则第八个儿子分到的绵．
故选：D．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在点处里程碑上刻着“〣〤”，在点处里程碑上刻着“〩〢”，则从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）
A．1560 B．1890 C．1925 D．1340
【解题思路】根据规定确定，两处的里程碑的数值，再由等差数列通项公式确定里程碑的数量，并利用等差数列前项和公式求从点到点的所有里程碑上所刻数字之和.
【解答过程】根据题意知，点处里程碑上刻着数字34，点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从点到点的所有里程碑个数为，从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为，
故选：B．
【变式6-3】（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352 B．387 C．332 D．368
【解题思路】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，由条件确定两个数列的特征，再分别求两个数列的前8项和即可.
【解答过程】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
由已知可得，，，
，，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
故，，
数列为公差为的等差数列，故，，
设数列，的前项和分别为，
所以，，
这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，
故选：C.专题4.5 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）
1．等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式
=(公式一).
=(公式二).
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn.
(1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列.
(2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列.
(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).
3．等差数列前n项和的性质
【题型1 求等差数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·全国·高二课时练习）记为等差数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·广西·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 等差数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·全国·高二）设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】
【方法点拨】
根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2021·福建省高二开学考试）等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·河北·高三阶段练习）已知是各项不全为零的等差数列，前项和是，且，若，则正整数（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【变式3-3】（2021·江苏·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【题型4 求等差数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例4】（2022·江苏·高二期中）已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116 B．232 C．58 D．87
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【变式4-3】（2022·山东·高三期中）已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【题型5 等差数列前n项和的最值】
【方法点拨】
1.通项法
若>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；
若<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定.
2.二次函数法
对于公差为非零的等差数列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函数最值的方法
来求前n项和Sn的最值.这里应由n及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值.
【例5】（2022·内蒙古·高一阶段练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·甘肃·高二期中）记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【变式5-2】（2022·陕西·高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【变式5-3】（2022·北京高三阶段练习）等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 等差数列的实际应用】
【方法点拨】
对于等差数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等差数列，进行求解.
【例6】（2022·全国·模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）
A．555 B．101 C．505 D．1010
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在点处里程碑上刻着“〣〤”，在点处里程碑上刻着“〩〢”，则从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）
A．1560 B．1890 C．1925 D．1340
【变式6-3】（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352 B．387 C．332 D．368
