专题4.6 等差数列的前n项和公式（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知是等差数列的前项和， 若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为．若，，则（ ）
A．35 B．42 C．24 D．63
3．（3分）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·陕西咸阳·高二期中（文））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（ ）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13
5．（3分）（2022·重庆·高一阶段练习）设是等差数列，，，，则使成立的最大自然数是（ ）
A．4013 B．4014 C．4015 D．4016
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
8．（3分）（2022·江苏·高二期末）风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图2是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：，，，，其中，.已知该风雨桥亭共5层，若，，则图2中的五个正六边形的周长总和为（ ）
A．120m B．210m C．130m D．310m
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，其前的和是，若，，则（ ）
A．是递增数列 B．其通项公式是
C．当取最小值时，的值只能是 D．的最小值是
12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列满足：，，其前项和为，则（ ）
A．的通项公式可以是
B．若，为方程的两根，则
C．若，则
D．若，则使得的正整数n的最大值为11
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高三开学考试）若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是 ．
14．（4分）（2021·天津市高二期末）已知等差数列的通项公式为，其前项和为，则当取得最大值时的值为 ．
15．（4分）（2021·江西南昌·高一期中）各项不全为的等差数列，前项和为．若，， ．
16．（4分）（2022·江苏·高二期末）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，，求的值．
18．（6分）（2022·广西·高二期中（文））等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
19．（8分）（2022·上海市高三阶段练习）公差不为零的等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求使成立的最大正整数.
20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求、的值；
(2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？
(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．
21．（8分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
（1）求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
（2）分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
（3）{Sn}有多少项大于零？
22．（8分）（2022·浙江·高三期中）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天，该市新增患者人数最多.
(1)求第n天的新增患者人数（结果用n表示）；
(2)求前n天的新增患者的人数之和（结果用n表示）；
(3)若截止12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求n的值.专题4.6 等差数列的前n项和公式（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知是等差数列的前项和， 若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】用等差数列前项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入即可得到..
【解答过程】因为数列为等差数列， ，解得.
故选：B.
2．（3分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为．若，，则（ ）
A．35 B．42 C．24 D．63
【解题思路】根据等差数列的前n项和满足成等差数列求解即可.
【解答过程】因为等差数列的前n项和为，故成等差数列，即，解得.
故选：C.
3．（3分）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.
【解答过程】 ，
由题意可得.
故选：B.
4．（3分）（2022·陕西咸阳·高二期中（文））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（ ）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13
【解题思路】设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.
【解答过程】设等差数列的公差为，
因为，，
则有，解得，
所以，
令，则，
又，所以当或时，取最小值.
故选：D.
5．（3分）（2022·重庆·高一阶段练习）设是等差数列，，，，则使成立的最大自然数是（ ）
A．4013 B．4014 C．4015 D．4016
【解题思路】由题意利用等差数列的性质可得，且，推出，，再根据可得．
【解答过程】因为首项为正数的等差数列满足：，，
所以为首项大于零的递减的等差数列，
所以，且，
所以，，
由得，，，
又因为，即，
故选：B.
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
【解题思路】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒
【解答过程】设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A.
7．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
【解题思路】根据等差数列前项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解答过程】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B.
8．（3分）（2022·江苏·高二期末）风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图2是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：，，，，其中，.已知该风雨桥亭共5层，若，，则图2中的五个正六边形的周长总和为（ ）
A．120m B．210m C．130m D．310m
【解题思路】由题意得图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列求和公式得到，再根据共有六个边，则得到周长总和.
【解答过程】由已知得 (且)，
m，易知图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成
以为首项，为公差的等差数列．
设数列的前5项和为，则，
所以图2中的五个正六边形的周长总和为m.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】等差数列的前项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案．
【解答过程】等差数列中，，公差，为其前项和，
，
点在曲线上，
，
二次函数开口向下，故A，B不可能；
对称轴，
对称轴在轴的右侧，故C可能，D不可能.
故选：ABD.
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先利用等差数列前项和公式，求出与之间的关系，进而可求出，然后根据已知求解即可.
【解答过程】由题意，可得，
∵和均为等差数列，
∴，
同理，，
∴，
若为整数，则只需，，，.
故选：AC.
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，其前的和是，若，，则（ ）
A．是递增数列 B．其通项公式是
C．当取最小值时，的值只能是 D．的最小值是
【解题思路】由公差的正负性判断等差数列的单调性，由首项、公差写出等差数列通项公式，进而可得前n项和公式，即可判断各选项的正误.
【解答过程】由，可知等差数列为递增数列，A正确；
由题设，，B正确；
，
故当或时，取最小值且为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列满足：，，其前项和为，则（ ）
A．的通项公式可以是
B．若，为方程的两根，则
C．若，则
D．若，则使得的正整数n的最大值为11
【解题思路】根据，得数列是等差数列，设公差为，则，
求出，即可判断A；
利用韦达定理可得，从而可求得公差，求得即可判断B；
根据求得公差，从而可求得，即可判断C；
根据求得公差，从而可求得，解不等式，从而可判断D.
【解答过程】解：因为，则，
所以数列是等差数列，设公差为，则，
对于A，若，则，，
所以，所以数列不是等差数列，与题意矛盾，故A错误；
对于B，若，为方程的两根，则，
即，解得，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，，解得，
所以，故C错误；
对于D，由，得，解得，
所以，
由，即，解得，
所以正整数n的最大值为11，故D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海市高三开学考试）若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是 ， ．
【解题思路】根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.
【解答过程】因为等差数列满足，
所以，所以，
又因为，
所以，即，所以，
所以，.
故答案为：，.
14．（4分）（2021·天津市高二期末）已知等差数列的通项公式为，其前项和为，则当取得最大值时的值为 5 ．
【解题思路】根据通项公式，设时，，利用，计算即可求解.
【解答过程】，设时，，则
，得，解得，得
故当时，取最大值.
故答案为：5.
15．（4分）（2021·江西南昌·高一期中）各项不全为的等差数列，前项和为．若，， 98 ．
【解题思路】根据等差数列的前项和可看成关于n的二次函数且无常数项，利用二次函数的对称性求解.
【解答过程】因为等差数列的前项和为，
可看成关于n的二次函数且无常数项，
由二次函数的对称性及，，
得，
所以，
所以，
故答案为：98.
16．（4分）（2022·江苏·高二期末）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是 .
【解题思路】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，根据题意列方程解出基本量，即可利用公式求和.
【解答过程】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，
则，，即，，解得，，
故.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，，求的值．
【解题思路】根据等差数列下标和性质得到，再根据等差数列前项和公式得到，再代入计算可得；
【解答过程】解：∵数列，为等差数列，且前n项和分别为，，
∴，且，
又，∴，∴．
18．（6分）（2022·广西·高二期中（文））等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
【解题思路】（1）根据等差中项可得，从而得，从而求通项公式和前项和公式；
（2），知当时，前项和最大，利用前项和公式求最值即可．
【解答过程】（1）由为等差数列的前项和，则，解得，
，则，
.
（2）由，则数列为递减数列，
由，，则当时，取得最大值，即最大值为.
19．（8分）（2022·上海市高三阶段练习）公差不为零的等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求使成立的最大正整数.
【解题思路】（1）根据等差数列公式，代入计算得到答案.
（2）根据等差数列求和公式，考虑两种情况，代入数据得到不等式，解得答案.
【解答过程】（1），即，解得或.
故或
（2）当时，，
，即，解得，故最大正整数；
当时，，
，即，解得，故最大正整数.
综上所述：
当时，；当时，.
20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求、的值；
(2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？
(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．
【解题思路】（1）设公差为，由等差数列前项和公式列方程组求得和，再计算出，；
（2）由（1）求出，，，后可得结论；
（3）根据等差数列的定义证明．
【解答过程】（1）
设公差为，则，解得，
，
；
（2）
由（1）得，，，，
所以，，，成等差数列；
（3）
设公差为，
则，
同理，
所以 为常数，
所以，，，…，，…成等差数列．
21．（8分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
（1）求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
（2）分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
（3）{Sn}有多少项大于零？
【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式得到Sn关于的二次函数表达式Sn＝－n2＋13n，画出二次函数的图象上对应的横坐标为正整数值的点即为所求图像；
（2）利用配方法，利用二次函数的性质可以得到单调性，根据单调性和对称性可以得到最大项及最大值；
（3）由（1）中的图象可以做出判定.
【解答过程】（1）Sn＝na1＋ d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.
图象如图:
（2）Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N*，
∴当n＝6或n＝7时，Sn最大；
当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；
当n≥7时，{Sn}单调递减.
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，
S6＝S7＝42;
（3）由图象得{Sn} 中有12项大于零.
22．（8分）（2022·浙江·高三期中）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天，该市新增患者人数最多.
(1)求第n天的新增患者人数（结果用n表示）；
(2)求前n天的新增患者的人数之和（结果用n表示）；
(3)若截止12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求n的值.
【解题思路】(１)根据等差数列即可求解通项得解，
（2）由等差数列的求和公式即可求解，
（3）根据等差数列的求和可解.
【解答过程】（1）
12月1~n日，每天新增患者人数构成等差数列.其首项为20，公差为50，第n天的新增患者人数为（且）.
（2）
前n天的新增患者总人数为（且）.
（3）
12月日，每日新增患者人数构成另一个等差数列.首项为，公差为，项数为，
∴第日新增患者总人数为
.
由题意得，整理得，
解得或49.
∵且，∴.
