3.3.1 抛物线及其标准方程 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-15 11:41:07 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
课时8 抛物线及其标准方程
新授课
1.能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念.
2.能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
导入：
点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当 时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
任务：观察几何画板，归纳曲线的几何特征.
目标一：能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念.
设F是定点，l是不经过点F的定直线.H是直线l上任意一点，过点H作 线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H,点M随之运动.
问题1：点M满足什么几何条件？
类似于抛物线.
问题2：点M的轨迹是什么形状？
，且 .
归纳总结
抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
思考1：若定直线l经过点F，则动点的轨迹是什么？
直线l.
练一练
动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
解：∵动点P到点(3,0)的距离比它到直线 的距离大1，
∴将直线 向左平移1个单位，得到直线 ，
可得点P到点(3,0)的距离等于它到直线 的距离．
因此点P的轨迹是抛物线，故选：D．
D
目标二：能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
任务1：类比椭圆、双曲线建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程.
问题1：如图，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，该如何建立平面直角坐标系？
问题2：类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直
角坐标系，如何求抛物线的标准方程？
问题1：第一种，以抛物线的焦点F为原点建立坐标系，如图(1)所示；
图(1)
第二种，以抛物线的准线l为y轴建立坐标系，如图(2)所示；
第三种，过抛物线的焦点F向准线l作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为x轴建立坐标系，如图(3)所示.
图(2)
图(3)
问题2：类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直角坐标系，如何求抛物线的标准方程？
1.如图(1)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以F为原点，过点F作垂直于x轴的直线y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，
准线 ，
2.如图(2)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，以准线l所在直线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线上任意一点 ，则 .
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，准线 ，
设抛物线上任意一点 ，则 .
3.如图(3)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以FK为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线上任意一点 ，则 .
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，准线 ，
思考2：对比上述三种建系方法，哪种建系比较简单合理？
归纳总结
抛物线标准方程：把 叫做“顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上”的抛物线的标准方程.焦点F的坐标为： ，准线l的方程为： ，开口向右，其中p为正数，它的几何意义是：焦点到准线的距离（简称“焦准距”）.
任务2：完成教材P131探究，归纳抛物线标准方程的四种类型.
归纳总结
思考3：抛物线的四种形式的标准方程有什么相同点？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？
共同特点：左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式.
判断焦点位置方法：在标准形式下，看一次项，
（1）若一次项的变量为x（或y），则焦点就在x（或y）轴上；
（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.
思考4：二次函数 的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标、准线方程分别是多少？
，根据抛物线的标准方程可知，
二次函数 的图象是焦点在y轴上的抛物线，
其中焦点坐标为 ，准线方程为 .
练一练
1.已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程；
2.已知抛物线的焦点是 求它的标准方程.
1.因为p=3，所以焦点坐标为 ，准线方程是 .
2.因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且 ，p=4，所以抛物线的标准方程是 .
任务3：利用抛物线标准方程解决实际问题.
一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.
问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？
问题2：该抛物线的标准方程和焦点坐标分别是多少？
如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是 ．
由已知条件可知，点A的坐标为 (1, 2.4) ，
将其代入方程，得 ，解得p=2.88．
所以，所求抛物线为 ，焦点坐标为(1.44,0)．
思考5：利用抛物线求解实际问题有哪些步骤？
归纳总结
抛物线求解实际问题步骤：
（1）抽象：将实际问题抽象为数学问题；
（2）建系：建立适当平面直角坐标系；
（3）求解：设出合适的抛物线标准方程，并求解；
（4）还原：还原到实际问题中,从而解决实际问题.
任务：回答下列问题，完成表格.
1.什么是抛物线？
2.抛物线标准方程几种类型，对应的焦点坐标、准线方程分别是多少？
课时8 抛物线及其标准方程
新授课
1.能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念.
2.能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
导入：
点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当 时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
任务：观察几何画板，归纳曲线的几何特征.
目标一：能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念.
设F是定点，l是不经过点F的定直线.H是直线l上任意一点，过点H作 线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H,点M随之运动.
问题1：点M满足什么几何条件？
类似于抛物线.
问题2：点M的轨迹是什么形状？
，且 .
归纳总结
抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
思考1：若定直线l经过点F，则动点的轨迹是什么？
直线l.
练一练
动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
解：∵动点P到点(3,0)的距离比它到直线 的距离大1，
∴将直线 向左平移1个单位，得到直线 ，
可得点P到点(3,0)的距离等于它到直线 的距离．
因此点P的轨迹是抛物线，故选：D．
D
目标二：能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
任务1：类比椭圆、双曲线建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程.
问题1：如图，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，该如何建立平面直角坐标系？
问题2：类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直
角坐标系，如何求抛物线的标准方程？
问题1：第一种，以抛物线的焦点F为原点建立坐标系，如图(1)所示；
图(1)
第二种，以抛物线的准线l为y轴建立坐标系，如图(2)所示；
第三种，过抛物线的焦点F向准线l作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为x轴建立坐标系，如图(3)所示.
图(2)
图(3)
问题2：类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直角坐标系，如何求抛物线的标准方程？
1.如图(1)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以F为原点，过点F作垂直于x轴的直线y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，
准线 ，
2.如图(2)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，以准线l所在直线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线上任意一点 ，则 .
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，准线 ，
设抛物线上任意一点 ，则 .
3.如图(3)所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以FK为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线上任意一点 ，则 .
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为 ，准线 ，
思考2：对比上述三种建系方法，哪种建系比较简单合理？
归纳总结
抛物线标准方程：把 叫做“顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上”的抛物线的标准方程.焦点F的坐标为： ，准线l的方程为： ，开口向右，其中p为正数，它的几何意义是：焦点到准线的距离（简称“焦准距”）.
任务2：完成教材P131探究，归纳抛物线标准方程的四种类型.
归纳总结
思考3：抛物线的四种形式的标准方程有什么相同点？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？
共同特点：左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式.
判断焦点位置方法：在标准形式下，看一次项，
（1）若一次项的变量为x（或y），则焦点就在x（或y）轴上；
（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.
思考4：二次函数 的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标、准线方程分别是多少？
，根据抛物线的标准方程可知，
二次函数 的图象是焦点在y轴上的抛物线，
其中焦点坐标为 ，准线方程为 .
练一练
1.已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程；
2.已知抛物线的焦点是 求它的标准方程.
1.因为p=3，所以焦点坐标为 ，准线方程是 .
2.因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且 ，p=4，所以抛物线的标准方程是 .
任务3：利用抛物线标准方程解决实际问题.
一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.
问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？
问题2：该抛物线的标准方程和焦点坐标分别是多少？
如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是 ．
由已知条件可知，点A的坐标为 (1, 2.4) ，
将其代入方程，得 ，解得p=2.88．
所以，所求抛物线为 ，焦点坐标为(1.44,0)．
思考5：利用抛物线求解实际问题有哪些步骤？
归纳总结
抛物线求解实际问题步骤：
（1）抽象：将实际问题抽象为数学问题；
（2）建系：建立适当平面直角坐标系；
（3）求解：设出合适的抛物线标准方程，并求解；
（4）还原：还原到实际问题中,从而解决实际问题.
任务：回答下列问题，完成表格.
1.什么是抛物线？
2.抛物线标准方程几种类型，对应的焦点坐标、准线方程分别是多少？