2.4.2 圆的一般方程 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
课时10 圆的一般方程
新授课
1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
任务1：推导圆的一般方程，探究圆的一般方程的特点.
回顾：（1）以（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？
目标一：理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
，关于变量x，y的二元二次方程，形如 .
（2）将其展开，思考其是关于变量x，y的什么关系式？
问题1： 一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？D、E、F满足什么条件时，方程表示圆？
不一定，理由，将 配方可得 ,当时 ，原方程可表示圆.
问题2：当 时，圆的一般方程 中圆心、半径如何表示？
圆心： ;半径 .
归纳总结
圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示以(- ,- )为圆心, 为半径的圆.
几个常见圆的一般方程:
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0)，
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0)；
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0)；
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0)；
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
思考1：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程：其给出了圆心坐标和半径；圆的一般方程：表明其形式是一种特殊的二元二次方程，代数特征非常明显.
思考2：若D2+E2-4F<0或D2+E2-4F=0，则其分别表示什么图形？
当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，故不表示任何图形；当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有唯一实数解 ，故表示点 .
练一练
1.已知方程 表示圆，则D的取值范围是（ ）　　
A． B．
C． D．
C
解：∵方程 表示圆，
∴ ，解得 或 ，∴实数D的取值范围是 ,故选：C．
练一练
2.已知圆C的方程为 ，则圆心C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
A
解：∵圆C的方程为 ，
，∴圆心C的坐标为 ．故选：A.
目标二：会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
任务1：求圆的一般方程，归纳圆的一般方程的求法.
求过三点 ， ， 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 .①
因为O， ， 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①，
得 ，解得 .
所以，所求圆的方程是 .
故所求圆的圆心坐标是 ，半径 .
归纳总结
待定系数法：
1.根据题意，选择标准方程或一般方程；
2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3.解出a、b、r或D、E、F，得到标准方程或一般式.
思考：圆的一般方程和圆的标准方程用待定系数法有什么区别？
圆的一般方程待定系数法计算比较简便.
任务2：求与圆有关的轨迹方程.
已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
问题1：若设 ，则如何用A点坐标表示M点坐标？
根据中点坐标公式，有 ，所以 .
问题2：结合A的轨迹方程，M点的轨迹方程是什么？轨迹是什么图形？
因为A的轨迹方程是 ，所以将 代入A的轨迹方程中，可得 ，化简得 .这就是M点的轨迹方程，它表示以 为圆心，1为半径的圆.
思考：上述问题有什么特点？是如何求曲线的轨迹方程？
归纳总结
1.问题特点：（1）已知一条曲线方程 ；（2）知道所求曲线 上的动点 与曲线 的点 关系；（3）求曲线 的轨迹.
2.相关点法：（1）用 的坐标表示 点坐标；（2）将（1）中式子代入 中；（3）变形可得.
练一练
已知圆 上动点A，x轴上定点B(2,0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点，由中点坐标公式得 ，
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得 ，化简得(x＋4)2＋y2＝8，∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8．
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.圆的一般方程有什么特点？
2.根据圆的一般方程如何求圆心坐标与半径？
3.如何求与圆有关的轨迹方程？