2023—2024学年上学期高一期末质量检测
数 学
（时间：120 分钟 满分：150 分）
第Ⅰ卷 选择题(60 分)
―.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x 2
g(x) log3(x 1)
0
1. 函数 的定义域为A，不等式 x 1 的解集为 B，则 A B （ ）
A. ( 1,1) B. [ 2, 1)
C. [ 1,1) D. [ 2,1)
2. 已知 R，则“cos 0”是“sin 1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知命题 p： x 0,4 ， x 1或 x 3，则命题的否定是（ ）
A. x 0,4 ， x 1或 x 3 B. x 0,4 ，1 x 3
C. x 0,4 ， x 1或 x 3 D. x 0,4 ，1 x 3
1
4. 三个实数 a log3 4,b log2 5,c 3 2 的大小关系为（ ）
A. a c b B. c a b
C. c b a D. b c a
sin π 1 sin2
5. 若 tan
π
1 ，则 2 （ ）
4 3 sin π cos π
3 1 3
A. 3 B. C. D. -
5 5 5
6. 已知函数 y f x 的表达式为 f x log3 x ．若0 m n且 f m f n ，则2m n的取值
范围为（ ）
A. 1, B. 1, C. 2 2, D. 2 2,
ln x 1
7. 函数 f x 1 的图象大致为（ ） x
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A. B. C. D.
2
8. 已知函数 f x lg x＋10＋x ，则 f lg lg 2 f lg log2 5 1 （ ）
A. 3 B. 2 C.1 D. 0
二.选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5
分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
9. 下图为幂函数 y f x 的大致图象，则 f x 的解析式可能为（ ）
3 2
A. f x x5 B. f x x 3
1 2
C. f x x3 D. f x x 5
5 4
10. 已知cos ， cos2 ，其中 ， 为锐角，则以下命题正确的是（ ）
5 5
A. tan tan
1
B. cos 2 5
3 25
3
C. cos cos 5 D. sin 2
10 5
11. 已知函数 f x 2sin x 0, 0, 2π 的部分图象如图所示，有以下变换：①向左平
π 5π 1
移 个单位长度；②向左平移 个单位长度；③各点的横坐标变为原来的 2 倍；④各点的横坐标变2 6
3
为原来的 倍，则使函数 y 2sin x的图象变为函的图象的变换次序可以是（ ）
5
A. ③① B. ④① C. ①③ D. ②④
12. 已知函数 f (x)对任意 x, y R 恒有 f (x y) f (x) f (y)，且当 x 0时， f (x) 0， f (2) 4，
则下列结论中正确的是（ ）
A. f (1) 2
B. f (x)是定义在R 上的奇函数
C. f (x)在 ( , )上单调递增
D. 若 f (x) m2 2am 1对所有的 x [ 2,2],a [ 1,1]恒成立，则实数m ( , 3) U (3, )
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第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知 为第三象限角， tan 2，则 sin cos ___________．
14. 已知某扇形的圆心角为3rad，周长为10cm，则该扇形的面积为________ cm2．
1
15. 已知函数 f x ax2 bx a, a 0 ， f 1 1则 f 的最小值为______．
a
16. 已知函数 f x 和 g x 是定义在 R 上的函数，且 f x 是奇函数， g x 是偶函数，
2 g x g xf x g x ax x 2 1 2 ，则 f (x) __；若对于任意1 x1 x2 2，都有 2，则实x1 x2
数 a的取值范围是__．
四.解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x a
17.(本题满分 10 分)已知集合 A x | 0, x R ， B {x | 1 x 1}．
x 1
（1）当 a 2时，求 A B；
（2）若 A B A，求实数 a的取值范围．
3 5
18.(本题满分 12 分) 已知 ， 为锐角，cos ，
5 cos .5
（1）求 sin2 的值；
（2）求 cos 的值.
19.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) 4 x a 2 x 1 3(a R) ．
（1）若 f (x) 0对 x R 恒成立，求 a的取值范围；
（2）若函数 f (x)的单调递增区间是[0, )，求 a的值．
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20.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) 2sin x cos x 2mcos 2 x m(m R) ．
（1）若m 1，求 f (x)的单调递减区间；
（2）若m 3 ，将 f (x)的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象，求函数 g x 在区间12
0,
上的最值．
2
21.(本题满分 12 分)近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已
逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为 M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为 m（单
位：t），火箭的飞行速度为 v（单位： km / s），初始速度为 v0（单位： km / s），已知其关系式为齐奥尔
科夫斯基公式： v v0 ln
M
1 ，其中 是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设 v0 0km/ s，
m
m 25t .
16.7
（参考数据： e 3 261.56， ln80 4.382）.
（1）若 3km / s，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7 km / s）时，求相应的 M；（精确到小数点
后一位）
（2）如果希望火箭飞行速度达到 16.7 km / s，但火箭起飞质量的最大值为 2000t，请问 的最小值为多
少？（精确到小数点后一位）
x
22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) kx log2 2 1 (k R)的图像关于 y轴对称．
（1）求 k的值；
1 x f (x)
（2）若函数 g(x) 22 m 21 kx 1, x 0, log29 ,m R，求 g(x)的最大值 g(m)．
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数学参考答案
一、选择题
1——4 ABDB 5——8 DCDC
二、选择题
9、AC 10、CD 11、BD 12、ABD
1、【解析】函数 g(x) log3(x 1)得定义域为： x 1 0，则 A x x 1 ，
x 2
由不等式 0得： (x 2)(x 1)≤ 0且 x 1 0，则 B x 2 x 1 ，
x 1
则 A B x 1 x 1 . 故选：A.
2、【解析】由cos 0，则 sin2 1 cos2 1 sin = 1，故充分性不成立，
由 sin 1，则 cos2 1 sin2 0 cos =0，故必要性成立，
故“ cos 0”是“sin 1”的必要不充分条件， 故选：B
3、【略】D
4、【解析】由于1 log3 3 log3 4 log3 9 2, log2 5 log2 4 2 ，
1
3 1c 3 2 (0,1) ，故 c 3 2 a log 4 b log 5， 故选：B3 3 2
tan π 1 1 tan 15、【解析】 tan 2，
4 3 1 tan 3
sin π 1 sin2 cos sin cos 2 2 2 cos sin cos2 cos sin cos
sin π cos π sin cos sin2 cos2
tan 1 3
2 ， 故选：Dtan 1 5
6、【解析】因为 f m f n ，所以 log3m log3 n ，故 log3 m log3 n或 log3 m log3 n．
若 log3 m log3 n，则m n
1
（舍去）；若 log3 m log3 n，则m ，n
又0 m n，所以0 m 1 n，
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因此 2m n 2 n 2 2 （等号当且仅当n 2 ，即 n 2时成立），n n
即 2m n的取值范围是 2 2, ．故选：C．
ln x 1 ln 2 x 1 ln x 1
7、【解析】函数 f x 的定义域为 x x 1 ， f 2 x f x x 1 ，1 x 1 2 x
3 1
故函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，排除 BC 选项， f 2ln 0，排除 A 选项.
2 2
故选：D.
8、【略】C
9、【解析】对于 A、C， f x 5 x3 ， f x 3 x，显然为奇函数，且指数在 0到 1之间，
在第一象限是越增越慢的，故 A、C 正确；
对于 B、D， f x 3 x2 ， f x 5 x2 ，显然为偶函数，故 B、D错误. 故选：AC.
5 4
10.【解析】因为 cos , cos2 ( , 为锐角),
5 5
故 sin2 1 cos22 3 , 故 A 错误;
5
2 5
因为 sin , 所以 cos cos 2 5
cos2 cos sin2 sin
4 5 3 2 5 2 5 , 故 B 错误; 5 5 5 5 5
由 cos cos cos sin sin 2 5,
5 cos cos cos sin sin
5
,
5
故 cos cos
1 cos cos 1 5 2 5 5 , 故 C 正确;2 2 5 5 10
1 1 2 5 5 3
且 sin sin [cos cos ] 5 , 所以 tan tan 3 ,2 2 5 5
10
故 D 正确. 故选: CD.
11. 【略】BD
12. 【解析】选项 A：令 x 1, y 1, f (2) f (1) f (1) 2 f (1)，又 f (2) 4， f (1) 2,选项正确；
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选项 B：令 x 0, y 0, f (0) f (0) f (0) 2 f (0), f (0) 0,
令 y x,则有 f (x) f ( x) f (0) 0, f (x)是定义在R 上的奇函数，选项正确；
选项 C：设 x1＜x2 ,则 x2 x1＞0,又当 x 0时， f (x) 0，则有 f (x2 x1) 0,
即 f (x2 ) f ( x1) f (x2 ) f (x1)＜0，f (x2 )＜f (x1)，即 f x1 f x2 ，
f (x)在 ( , )上单调递减，选项错误；
选项 D：因为 f (x)在 ( , )上单调递减，且 f (x)是定义在R 上的奇函数，
所以 x [ 2,2], f (x)max f 2 4，
又 f (x) m2 2am 1对所有的 x [ 2,2],a [ 1,1]恒成立，
所以m2 2am 1＞4即m2 2am 3＞0在 a [ 1,1]恒成立，
将函数看成关于 a [ 1,1]的一次函数 g a 2am m2 3，
g 1 2m m2 3＞0
则需 2 ，解得：m＜ 3或m＞3，选项正确；故选：ABD g 1 2m m 3＞0 .
三、填空题
3 5
13.【答案】
5
sin
【解析】由 tan 2，则 2， sin 2cos ，由 sin2 cos2 1，则5cos2 1，
cos
由 5 2 5 3 5 3 5为第三象限角， cos ， sin ，则 sin cos . 故答案为： .
5 5 5 5
14.【答案】6
l
3 r 2
【解析】设扇形半径为 r，弧长为 l，则 r ，解得 ，
l 2r 10
l 6
1 1
扇形面积为 S lr 6 2 6． 故答案为：6．
2 2
15.【答案】 2 2 2（或写成 2 2 2） 【解析略】
1
16. 【答案】 ①. x ②. , 2
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【解析】根据题意， f (x) g(x) ax 2 x 2 ，则 f ( x) g( x) ax 2 x 2 ，
两式相加可得 f (x) f ( x) g(x) g( x) 2ax 2 4 ，
又由 f (x)是定义在R 上的奇函数， g(x)是定义在R 上的偶函数，所以 2g(x) 2ax2 4，
即 g(x) ax2 2， f (x) x．
g(x1) g(x2 ) 2 [g(x1) 2x1] [g(x2 ) 2x2 ]若对于任意1 x1 x2 2，都有 x x ，变形可得
0，
1 2 x1 x2
令 h(x) g(x) 2x，则 h(x) g(x) 2x在 (1, 2)上单调递增；所以 h(x) g(x) 2x ax 2 2x 2，
若 a 0，则 h(x) 2x 2在 (1, 2)上单调递增，满足题意；
1
若 a 0，则 h(x) ax2 2x 2是对称轴为 x 的二次函数，
a
a 0 a 0
若 h(x)在 (1, 2)上单调递增，只需 1 或 1
1 2
a a
综上：a 1 1 ,即a的取值范围为：[ , ) 1
2 2 解得： a 0或 a 02
1
故答案为： x； , 2
.
四、解答题
17.【答案】（1） A B {x | 1 x 2}； （2） 1,1 .
【解析】（1）因为 A {x | x 2 x 1 0} {x | 1 x 2}， B {x | 1 x 1}
故 A B {x | 1 x 2}；
（2）若 A B A，则 A B， A {x | x a x 1 0}，a 1， A ，符合 A B；
② a 1， A a, 1 ，不符合 A B，舍去；
③ a 1， A 1,a ，则 1 a 1；综上，实数 a的取值范围为 1,1 .
18. 【答案】（1） sin2
24
5（2）
25 5
3 9 4
【解析】（1）因为 为锐角，cos ，所以 sin 1 cos2 1 ，
5 25 5
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则 sin2 2sin cos 2 3 4 24 ；
5 5 25
（2）由于 ， 为锐角，则0 ，
又 cos 5 sin 1 cos 2 1 2 5 1 ，所以
5 5 5
cos cos cos cos sin sin 5 3 2 5 4 5 .5 5 5 5 5
19. 【答案】（1） a ( , 3] （2） a 1
4x 3 3
【解析】（1）即 4x a 2x 1 3 0对任意 x R恒成立，∴ 2a 2x 恒成立，
2x 2x
3 3 x 3
又∵ 2x xx 2 2 x 2 3，当且仅当 2 x ，即 x log2 3时“=”成立，2 2 2
故所求 a ( , 3]．
（2）令 t(x) 2x，则 t(x)在[0, )单调递增且 t 1，
又∵ y t 2 2at 3图象开口向上，对称轴为 t a，
∵函数 f (x)单调增区间是[0, )，∴ y t 2 2at 3单调增区间是[1, ), t a 1， 故 a 1．
3 7
20. 【答案】（1） k , k (k Z)；（2）最小值 1；最大值 2． 8 8
【解析】解： f (x) sin2x m 2cos2 x 1 sin2x mcos2x，
（1）∵m 1，∴ f (x) sin 2x cos 2x 2 sin 2x
，
4
2k 2x 3 2k ,k Z 3 7 由 ，得 k x k ,k Z．
2 4 2 8 8
f (x) 3 7 ∴函数 的单调减区间为 k , k (k Z)．
8 8
（2）当m 3 时，可知 f (x) 2sin 2x 3
，
f (x) 将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为 g(x) 2sin 2x ．12 6
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x 0, 当 ，时， 2x
,
5
， 2 6 6 6
当 2x ，即 x 0时， g(x)取最小值 1；
6 6
π π
当 2x 时，即 x 时， g(x)取最大值 2．
6 2 3
21.【答案】（1）6514.0 t （2） 3.8
【解析】（1）
M M 16.7
由题意可得： v 3ln 1 ，令 v 3ln 1 16.7，则M 25 e 3 1 6514.0（t），
25 25
故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7 km / s）时，相应的M 为6514.0 t.
（2）由题意可得： v ln 1
M ln M 25 ，
25 25
v ln M 25 16.7 ln M 25 16.7令 ，则 ln 25 ln 2000，
25
16.7 16.8∴ 3.8， 故 的最小值为 3.8.
ln 2000 ln 25 ln80
1 9 6m,m 2
22. 【答案】（1）k （2） g m
2 1 2m,m 2
1
【解析】（1）易知 x R ，且 f ( x) f (x)恒成立，即 kx log2 x 1 kx log
x
2 2 2 1 恒成立，
化简得： (2k 1)x 0 1对任意 x R 恒成立，所以 2k 1 0，解得k ．
2
1 x
（2）由（1）知： f (x) x log2 2 1 ，2
x
∴ g(x) log 2 2 2 1 2m( 2)x 1 2x 2m( 2)x , x 0, log29 ，
令 t ( 2)x , t [1,3]，转化为求 h(t) t 2 2mt, t [1,3]的最大值；
又因为函数 h(t)的图象开口向上，对称轴 t m，所以分两种讨论，
①当m 2时， g(m) h(3) 9 6m，
②当m 2时， g(m) h(1) 1 2m，
9 6m,m 2
综上所求 g m ．
1 2m,m 2
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