河南省南阳市唐河县2023-2024学年高一上学期1月期末模拟考试数学试题（含解析）

唐河县2023-2024学年高一上学期1月期末模拟考试
数学
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
0 1 2 3
3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＝4m，则m的值是（ ）
A．2 B．－1
C．2或－1 D．不存在
6．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
7．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．已知，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
11．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．数学上，高斯符号（）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，，，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值域为 B．在为减函数
C．方程无实根 D．方程仅有一个实根
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13．已知角的终边上一点，且，则 .
14．已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为 .
15．函数的定义域是R，则a的取值范围是 .
16．已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是 .
四、解答题（共6小题，共70分）
（10分）17．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数单调递增区间；
(3)求在区间上的最值.
（12分）18．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
（12分）19．已知函数，是定义在 上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性；
（3）若且，求实数 的取值范围.
（12分）20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；
(2)在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？
（12分）21．2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，且已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出利润（万元）关于产量（万件）的函数解析式.
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？
（12分）22．已知三个函数，，．
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当时，若函数的图像上存在A、B两个不同的点分别与图像上的、两点关于y轴对称，求实数b的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】求出的解集，再由交集概念求出.
【详解】因为解集为，
所以，则.
故选：C
2．D
【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可.
【详解】由得，，即，得，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集，
所以，由各选项可知 “”满足题意，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故选：D．
3．B
【详解】分析：利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
解答：解：由于f（1）＞0，f（2）＜0，
根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（1，2）内一定有零点，其他区间不好判断．
故选B．
点评：本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．
4．A
【分析】根据函数的奇偶性，特殊值的函数值的符号及函数的零点分析，利用排除法即可得解.
【详解】因为，
所以为奇函数，故排除C；
当时，令，则或或，
由图可知，A符合，D不符合；
又，故排除B；
故选：A.
5．A
【分析】根据一元二次方程两个不相等的实数根有即可得m的范围，又由＝4m结合根与系数关系求参数m的值，由m范围确定最终值即可
【详解】由题知：且，解得m >－1且m ≠ 0
又由，
∴，解得m＝2或－1
综上，知：m＝2
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次函数的零点，利用一元二次方程根的个数并结合判别式、根与系数关系，列不等式组求参数范围，列方程求参数值，最后由范围确定最终参数值
6．C
【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.
【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年，
故，解得
故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：C
7．D
【分析】利用对数函数的性质，结合临界值即可得解.
【详解】因为，所以，即，
则；
因为，所以，即，
所以，同时，即；
而，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到临界值，从而得解.
8．D
【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.
【详解】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故选：D.
9．ABD
【分析】对于A选项不妨取推出矛盾即可；对于B选项利用正弦函数的不单调可以得出判断；对于C选项，利用指数函数的单调性给出判断即可，对于D选项，利用函数的单调性给出判断即可.
【详解】因为，不妨取，则，故A错误；
因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误；
因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确；
因为函数，，所以在上单减，在上单增，所以由推不出，故D错误；
故选：ABD
【点睛】判断选项正确与否的题目往往采用两种办法，对于错误的举出反例即可，对于正确的选项要证明其一般性，经常是根据题设构造函数，利用函数的单调性判断即可.
10．ABD
【分析】利用辅助角公式可得出，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断CD选项.
【详解】因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，
故的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．AD
【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果.
【详解】解：，令，则，，.
对于A，
，A选项正确；
对于B，，，
因为，所以，B选项错误；
对于C，，C选项错误；
对于D，，
所以，D选项正确；
故选：AD.
12．AB
【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象逐项判断即可.
【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，
对于A，由图可知，在上的值域为，不正确；
对于B，当时，的每段函数都是单调递减，但是在不是减函数，不正确；
对于C，由选项A知，在上的值域为，
所以方程无实根，正确；
对于D，当时，即，解得，
当时，即，解得，
结合函数图象知，方程仅有一个实根，正确.
故选：AB
13．
【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值.
【详解】由角的终边上一点，且，
可得，解之得或（舍）
故答案为：
14．/
【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.
【详解】因为扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，所以扇形的面积为，
又扇形的弧长为，所以扇形的周长为，
所以扇形的面积与周长的比值为.
故答案为：
15．[0，4）
【分析】由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况确定实数a的取值范围即可.
【详解】当a=0时，函数解析式为：，其定义域为，满足题意，
当时，应满足：，求解不等式组可得：，
综上可得，实数的取值范围是[0，4）.
故答案为[0，4）．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，由函数的定义域确定参数的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．
【分析】画出函数图象，根据方程的根的个数转化为的图象与直线有4个不同的公共点，数形结合求得m范围，以及、、、之间的关系及对应范围，即可求解.
【详解】由的解析式作出的大致图象，如图所示：
方程有4个不等实数根等价于的图象与直线有4个不同的公共点，
则，不妨令，
则由图可知，，，
所以，，
由，得.
所以，
设，则，
根据对勾函数单调性知在区间上单调递增，所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)
(3)的最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据周期确定，代入计算得到答案.
（2）取，解得答案.
（3）确定，根据正弦函数性质计算得到答案.
【详解】（1）的最小正周期为，则，，
，；
（2）取，解得，
故的单调递增区间为；
（3），则，
当，即时，；
当，即时，；
故的最大值为，最小值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，∴.
（2），则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或解得：
综上得的取值范围是：.
19．（1）（2）见解析 （3）
【分析】（1）利用，计算实数的值；
（2）由（1）可知，首先判断内层函数的单调性，再讨论，判断函数的单调性；
（3）由，确定的范围，然后根据函数是奇函数，不等式变形为，根据函数的单调性和定义域，求的取值范围.
【详解】解：（1）因为是在上的奇函数，所以，即，
所以，
则，
即对定义域中的都成立，所以，
又，所以
（2）所以，
设，
设，则
，
.
当时，，即.
当时，在上是减函数.
当时，，即.
∴当时，在上是增函数.
（3）由得，
函数是奇函数，
，
由（2）得在上是增函数

的取值范围是
【点睛】本题考查了对数型复合函数的性质和性质的综合应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题第三问利用函数的单调性解不等式时，一定得变形为的形式，列不等式时，不要忘记函数的定义域.
20．(1)，m
(2)4s
【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数，和时的函数值；（2）先确定定义域，再求解不等式，得到，从而求出答案.
【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m
（2）点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.
21．(1)
(2)当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元
【分析】（1）由销售额与成本费用之差，计算利润；
（2）利用配方法和函数的单调性，求最大值.
【详解】（1）当时，.
当时，.
所以
（2）当时，，
则当时，取得最大值，最大值为195；
当时，，且单调递减，
则当时，取得最大值，最大值为271.
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元.
22．（1），（2）
【解析】（1）由函数的定义域为R，可得，从而可求出实数a的取值范围；
（2）化简，函数的图像上存在A、B两个不同的点分别与图像上的、两点关于y轴对称，转化为在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，列出不等式组求解即可
【详解】解：（1）因为函数的定义域为R，
所以，即且，
解得，
所以实数a的取值范围为，
（2）由题意得，
由函数的图像上存在A、B两个不同的点分别与图像上的、两点关于y轴对称，可得方程在上有两个不等实根，
所以方程，即方程在上有两个不等实根，
所以，解得，
所以实数b的取值范围为，