第四章 数列 全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习）数列，…的一个通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习（文））在等差数列中，若，，则公差（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）．
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
5．（5分）（2022·江苏·高一期末）已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55 B．50 C．45 D．10
7．（5分）（2022·河北·高二期中）设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．和是的最大值
C． D．
8．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间 次间 梢间 尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
10．（5分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
11．（5分）（2022·福建三明·高二阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A． B． C．有最大值25 D．有最大值
12．（5分）（2022·福建·高三阶段练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且，下列选项正确的是（ ）
A． B．是递减数列 C．取得最小值时，或6 D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）若等差数列中，，则数列的通项公式为 ．
14．（5分）（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 .
15．（5分）已知数列对任意的，都有，且，当时， .
16．（5分）（2022·陕西·一模（理））设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）写出以下各数列的一个通项公式，并根据你写的通项公式求出各数列的第10项.
(1)；
(2).
18．（12分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
19．（12分）（2022·江苏省高二期中）已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．
20．（12分）（2022·天津市高二期中（理））已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
21．（12分）（2022·福建省高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和.
22．（12分）（2022·河北·高二期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.第四章 数列 全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习）数列，…的一个通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将每项的绝对值写成以为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案.
【解答过程】解：因为，， ，
所以此数列的一个通项公式可以是.
故选：D.
2．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习（文））在等差数列中，若，，则公差（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】根据等差数列的知识求得正确答案.
【解答过程】由等差数列的通项公式知．
故选：A.
3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）．
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【解题思路】利用与的关系和累乘法求出即得解.
【解答过程】因为，，
所以当时，，化为，
从而，所以．适合.
所以.
故．
故选：C.
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【解题思路】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【解答过程】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D.
5．（5分）（2022·江苏·高一期末）已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】根据等比数列的性质可知，，再代入等差数列的基本量，化简即可求解.
【解答过程】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列，所以，
即，化简得，又因为，所以．
故选：B．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55 B．50 C．45 D．10
【解题思路】由，，成等比数列，列出关系式，通过公差，解得首项，再利用求和公式即可得出．
【解答过程】∵，，成等比数列，
∴，可得，又等差数列{}的公差为1，
，
解得：，
则{}的前10项和．
故选：A．
7．（5分）（2022·河北·高二期中）设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．和是的最大值
C． D．
【解题思路】对A，由前项和定义可得的符号，由等差数列定义得的符号；
对BD，由前项和定义，即可判断；
对C，.
【解答过程】是等差数列，
对A，由得，，，A错；
对BD，由得和是的最大值，，B对D错；
对C，，C错.
故选：B.
8．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间 次间 梢间 尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前项和公式计算即可.
【解答过程】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,
同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,
则由可得
所以总宽度为
故选: .
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
【解题思路】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
【解答过程】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，
当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，
故选：AD.
10．（5分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
【解题思路】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,
使,即可得出项数,判断选项B的正误,
根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,
根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.
【解答过程】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,
所以选项A不正确;
对于选项B,令,
解得或（舍去）,
所以选项B正确;
对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,
第8个数为,即,
所以选项C正确;
对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为 ,
所以选项D正确.
故选:BCD.
11．（5分）（2022·福建三明·高二阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A． B． C．有最大值25 D．有最大值
【解题思路】利用等比数列的性质可得：，将其代入题干条件可得，再次利用等比数列的性质和基本不等式即可求解.
【解答过程】等比数列的各项都为正数，由等比数列的性质可得：，
，
，
，当且仅当时取等号，
的最大值是.
故选：.
12．（5分）（2022·福建·高三阶段练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且，下列选项正确的是（ ）
A． B．是递减数列 C．取得最小值时，或6 D．
【解题思路】根据等差数列基本量法求出数列首项和公差，代入选项判断即可.
【解答过程】不妨设
，与联立
解得，即通项.
对于选项A.，故正确；
对于选项B.是递增数列，故错误；
对于选项C.存在最小值，且有两个最小值，即，即，与不符；
对于选项D.，故正确.
故选：.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）若等差数列中，，则数列的通项公式为 ．
【解题思路】根据题意，求出首项和公差，利用等差数列的通项公式，计算求解即可.
【解答过程】，可得公差，，
，
故答案为：.
14．（5分）（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k .
【解题思路】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果.
【解答过程】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为，
所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
故答案为：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k.
15．（5分）已知数列对任意的，都有，且，当时， 4 .
【解题思路】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到，计算出即可.
【解答过程】根据题意知
是偶数，
是偶数，
是偶数，
是偶数，
是奇数，
是偶数，
是偶数，
是奇数，
从第三项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故答案为：4.
16．（5分）（2022·陕西·一模（理））设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和 114 .
【解题思路】由题意求得等比数列的通项公式，由此确定数列中的项的取值，进而求得的前50项和.
【解答过程】设等比数列的公比为q，则，
解得，故，
因为为中在区间中的项的个数，
所以当时，；当时，；当时，；
当时，；
故,
故答案为：114.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）写出以下各数列的一个通项公式，并根据你写的通项公式求出各数列的第10项.
(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据所给项的分母找出规律即可求解；
（2）先不考虑符号，可以看出项都为奇数，再根据项数的奇偶确定符号就可以.
【解答过程】(1)
由
知，第一项分母为2，第二项分母，第三项分母，依次规律，第n项分母为，
所以通项公式，故.
(2)
先不考虑符号，第一项1，第二项3，第三项5，第四项7，故第n项，
再考虑符号，可得.
故.
18．（12分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
【解题思路】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.
【解答过程】证明：（1）当时， ，能被9整除，
故当时， 能被9整除．
（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，
则当时，也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．
19．（12分）（2022·江苏省高二期中）已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．
【解题思路】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；
（2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最大值.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
则的通项公式为；
（2）因为，
令得：，令得：，
故当时，取得最大值，
其中，故最大值为.
20．（12分）（2022·天津市高二期中（理））已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【解题思路】（1）分别将、2、3代入递推式中求，进而总结归纳出的表达式；
（2）应用数学归纳法，首先判断时是否成立，再假设时成立，最后结合已知条件推导出时成立即可.
【解答过程】(1)
时，，则，
时，，则，
时，，则，
猜想.
(2)
由（1）得：时，成立．
假设 时，成立，
那么当时，，而，
所以，即，
故时，也成立．
综上，对一切n∈N*，都成立，得证．
21．（12分）（2022·福建省高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）利用基本量列方程求解即可；
（2）由裂项相消法求和.
【解答过程】（1）为等差数列，则，，
.
∴，故，
故.
（2），
∴
.
22．（12分）（2022·河北·高二期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）设等比数列首项为，公比为，列方程组求出即得解.求出等差数列的公差即得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法即可得出．
【解答过程】（1）解：设等比数列首项为，公比为．
由已知得 代入可得．
于是．
故，解得或．
又数列为递增数列，故，
.
设等差数列首项为，公差为．
所以.
所以.
（2）解：由题得.
所以数列的前项和.
