2.5.2 圆与圆的位置关系 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.5.2 圆与圆的位置关系 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-15 12:17:05 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
课时13 圆与圆的位置关系
新授课
1.理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系.
2.能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程.
复习导入：直线与圆有几种位置关系？如何判断呢？
通过两种方法来得出直线与圆的三种位置关系.
（1）通过直线与圆的交点来判断位置关系，即列方程组，判断解的个数.
（2）通过圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判断.
图形
位置关系 相离 相切 相交
判定 d>r d=r d交点个数 0 1 2
解的个数 0 1 2
任务：探究圆与圆位置关系的判断方法.
回顾：在初中我们学过圆与圆的位置关系，那么圆与圆有几种位置关系？对应的交点个数又是怎样的？
目标一：理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系.
x
y
位置关系 图形 交点个数
相交 2
相切 内切 1
外切 1
相离 内含 0
外离 0
已知两圆C1：x2＋y2+2x+8y－8＝0，C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C1与圆C2的是什么位置关系？
问题1：类比直线与圆的位置关系的判断，如何利用代数法（解方程组）判断？
联立两圆的方程，得
两式相减消掉x2和y2,得 ，
移项得出y与x的关系式，即 ，
将这个关系式在带入两圆中的一个圆的方程，得 ，
利用方程根的判别式即 ，
所以这个方程组有两组不同的实数解，所以这两个圆有两个交点，所以这两个圆相交.
思考1：画出圆C1、C2以及圆C1、C2相减后得到的直线方程 ，你有什么发现，并分析原因？
发现：直线方程经过C1、C2的交点；原因：根据曲线与方程的关系知，圆C1、C2的交点分别满足两圆的方程，而直线方程是由原方程相减得到的，根据等式的性质可知，直线方程经过C1、C2的交点.
思考2：设圆C1： ，圆C2： ，若圆C1、C2相交，则其公共弦所在的直线方程是什么？
思考3：如果两圆方程联立消元后得到的方程的 或 ，能据此判断圆与圆的具体位置关系吗？
不能，因为 或 只能判断两圆有一个交点或没有交点，而圆与圆有一个交点时有两种位置关系即内切、外切，无交点时也有两种位置关系即内含、外离，故不可以判断.若要判断具体位置关系还需要判断圆心距与两圆半径和差的关系.
问题2：除了上述方法之外，还有什么方法可以判断两圆的位置关系？
将两个圆的方程化成标准方程，即 ， .
所以圆C1的圆心坐标为A（-1，-4），半径r1=5，圆C2的圆心坐标为B（2,2），半径 ,
所以 .
， .
所以 ，所以两个圆相交.
思考4：有哪些方法可以判断两圆的位置关系？
归纳总结
（1）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
①方程组无解，则两圆无交点，相离；
②方程组一解，则两圆有一个交点，相切；
③方程组两解，则两圆有两个交点，相交.
（2）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值 、半径之和 进行比较，进而判断出两圆的位置关系（判断圆位置关系的主要方法）
① ，则两圆内含；
② ，则两圆内切；
③ ，则两圆相交；
④ ，则两圆外切；
⑤ ，则两圆外离.
任务：探究与圆有关的轨迹方程.
回顾：用坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？
目标二：能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程.
（1）建系，用坐标和方程表示问题中的几何要素；
（2）代数运算，解决代数问题；
（3）将代数问题“翻译”成几何结论.
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
问题1：将已知条件转化为代数形式，画出平面直角坐标系下该问题的示意图.
如图，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
问题2：根据问题1的示意图，求出点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
问题2：根据问题1的示意图，求出点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
由问题1知，A（-2,0），B（2,0）
设点M的坐标为（x,y），|MA|= |MB|，
所以 ，即(x-6)2+y2=32
所以点M的轨迹是以点P（6，0）为圆心，半径为 的圆.
因为|PO|=6，r1+r2=2+ ，r2-r1= -2，
所以r2-r1<|PO|思考1：将上述问题中的“ 倍”改为“k（k>0）倍”，则点M的轨迹又是什么？
设点M的坐标为（x,y），|MA|=k|MB|，
所以 ，化简得
.
当k=1时，方程x=0，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线；
当k≠1时，方程可化为 ,
点M的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
思考2：利用代数法求轨迹方程的基本步骤是什么？
归纳总结
求轨迹方程的基本步骤：
（1）建系，设点，即求哪个点轨迹就设该点轨迹；
（2）条件坐标化，即用坐标表示题目中的关系；
（3）整理，化简；
（4）检验，说明，检验以方程的解为坐标的点是否都满足条件或题目中是否有隐含的限制条件，若有，则对方程加以说明.
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.圆与圆的位置关系有哪些？如何判断？
2.如何求两圆相交的公共弦所在的直线方程？
3.如何求与圆有关的轨迹方程？
课时13 圆与圆的位置关系
新授课
1.理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系.
2.能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程.
复习导入：直线与圆有几种位置关系？如何判断呢？
通过两种方法来得出直线与圆的三种位置关系.
（1）通过直线与圆的交点来判断位置关系，即列方程组，判断解的个数.
（2）通过圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判断.
图形
位置关系 相离 相切 相交
判定 d>r d=r d
解的个数 0 1 2
任务：探究圆与圆位置关系的判断方法.
回顾：在初中我们学过圆与圆的位置关系，那么圆与圆有几种位置关系？对应的交点个数又是怎样的？
目标一：理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系.
x
y
位置关系 图形 交点个数
相交 2
相切 内切 1
外切 1
相离 内含 0
外离 0
已知两圆C1：x2＋y2+2x+8y－8＝0，C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C1与圆C2的是什么位置关系？
问题1：类比直线与圆的位置关系的判断，如何利用代数法（解方程组）判断？
联立两圆的方程，得
两式相减消掉x2和y2,得 ，
移项得出y与x的关系式，即 ，
将这个关系式在带入两圆中的一个圆的方程，得 ，
利用方程根的判别式即 ，
所以这个方程组有两组不同的实数解，所以这两个圆有两个交点，所以这两个圆相交.
思考1：画出圆C1、C2以及圆C1、C2相减后得到的直线方程 ，你有什么发现，并分析原因？
发现：直线方程经过C1、C2的交点；原因：根据曲线与方程的关系知，圆C1、C2的交点分别满足两圆的方程，而直线方程是由原方程相减得到的，根据等式的性质可知，直线方程经过C1、C2的交点.
思考2：设圆C1： ，圆C2： ，若圆C1、C2相交，则其公共弦所在的直线方程是什么？
思考3：如果两圆方程联立消元后得到的方程的 或 ，能据此判断圆与圆的具体位置关系吗？
不能，因为 或 只能判断两圆有一个交点或没有交点，而圆与圆有一个交点时有两种位置关系即内切、外切，无交点时也有两种位置关系即内含、外离，故不可以判断.若要判断具体位置关系还需要判断圆心距与两圆半径和差的关系.
问题2：除了上述方法之外，还有什么方法可以判断两圆的位置关系？
将两个圆的方程化成标准方程，即 ， .
所以圆C1的圆心坐标为A（-1，-4），半径r1=5，圆C2的圆心坐标为B（2,2），半径 ,
所以 .
， .
所以 ，所以两个圆相交.
思考4：有哪些方法可以判断两圆的位置关系？
归纳总结
（1）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
①方程组无解，则两圆无交点，相离；
②方程组一解，则两圆有一个交点，相切；
③方程组两解，则两圆有两个交点，相交.
（2）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值 、半径之和 进行比较，进而判断出两圆的位置关系（判断圆位置关系的主要方法）
① ，则两圆内含；
② ，则两圆内切；
③ ，则两圆相交；
④ ，则两圆外切；
⑤ ，则两圆外离.
任务：探究与圆有关的轨迹方程.
回顾：用坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？
目标二：能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程.
（1）建系，用坐标和方程表示问题中的几何要素；
（2）代数运算，解决代数问题；
（3）将代数问题“翻译”成几何结论.
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
问题1：将已知条件转化为代数形式，画出平面直角坐标系下该问题的示意图.
如图，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
问题2：根据问题1的示意图，求出点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
问题2：根据问题1的示意图，求出点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
由问题1知，A（-2,0），B（2,0）
设点M的坐标为（x,y），|MA|= |MB|，
所以 ，即(x-6)2+y2=32
所以点M的轨迹是以点P（6，0）为圆心，半径为 的圆.
因为|PO|=6，r1+r2=2+ ，r2-r1= -2，
所以r2-r1<|PO|
设点M的坐标为（x,y），|MA|=k|MB|，
所以 ，化简得
.
当k=1时，方程x=0，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线；
当k≠1时，方程可化为 ,
点M的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
思考2：利用代数法求轨迹方程的基本步骤是什么？
归纳总结
求轨迹方程的基本步骤：
（1）建系，设点，即求哪个点轨迹就设该点轨迹；
（2）条件坐标化，即用坐标表示题目中的关系；
（3）整理，化简；
（4）检验，说明，检验以方程的解为坐标的点是否都满足条件或题目中是否有隐含的限制条件，若有，则对方程加以说明.
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.圆与圆的位置关系有哪些？如何判断？
2.如何求两圆相交的公共弦所在的直线方程？
3.如何求与圆有关的轨迹方程？