第四章 数列 全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7 B．6 C．5 D．4
【解题思路】分别写出与时相应的代数式，对比观察求解.
【解答过程】当时，则
当时，则
∴从k到添加的项数共有5项
故选：C.
2．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；
③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【解题思路】根据数列的概念即可判断A项；代入可判断B项；根据数列中前几项的特点写出通项可说明C项错误；作差法求与0的关系可判断D项.
【解答过程】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；
就是③的一个通项公式，③错误；
设，则 ，
所以，，所以④正确.
故选：B.
3．（5分）（2022·河北·高二期中）数列满足，则数列的前2022项的乘积为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】根据递推公式求得数列的周期，结合数列的周期即可求得结果.
【解答过程】根据题意可得，
故该数列是以为周期的数列，且，
故数列的前2022项的乘积为.
故选：C.
4．（5分）（2022·江苏省高二期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．145项 B．146项 C．144项 D．147项
【解题思路】由已知可得能被除余且被除余的数即为能被除余，进而得通项及项数.
【解答过程】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，
所以，，
即，
故，即，解得，故共项，
故选：A.
5．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））已知是等比数列，为其前项和，给出以下命题：
①是等比数列；②是等比数列；③，，，…是等比数列；
④是等比数列，⑤若，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据题意找到反例说明命题错误，或者利用等比数列的定义或前项和公式证明命题正确.
【解答过程】设等比数列的公比为，
若，数列不是等比数列，
例如数列1，，1，，…，相邻项相加所构成的数列不是等比数列，
故①不正确；
因为是定值，故②正确；
与第1个相仿，若相加和为零，不能构成等比数列，
例如数列1，，1，，…，，，，…不能构成等比数列，
故③不正确；
例如，，则不是等比数列，故④错误；
由知，
，
所以，则，⑤正确.
故选:D.
6．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列满足，则数列的前2023项的和（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用累加法得到,代入得到,再利用分组求和法计算得到答案.
【解答过程】因为，
所以，即，
所以
，
所以.
所以
.
故选：D.
7．（5分）（2022·河南·模拟预测（文））设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则为递增数列 B．若，则
C．若，则 D．对任意正整数，有
【解题思路】根据已知条件求得的关系，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.
【解答过程】由于等差数列满足，
所以.
A选项，若，则，所以是递增数列，A选项正确.
B选项，若，，，
，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，当时，，
所以，D选项错误.
故选：D.
8．（5分）（2022·福建三明·高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
【解题思路】根据题意，由等比数列的性质分析公比的范围，由此分析选项可得答案．
【解答过程】解：等比数列的公比为，则，由，则有，必有，
又由，即，又，则有或，
又当时，可得，由，则与矛盾
所以，则有，
由此分析选项：
对于A，，故，故A错误；
对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列中，则，则，故C正确；
对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
【解题思路】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【解答过程】对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD.
10．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043
【解题思路】由等比数列的性质得，再对选项逐一判断，
【解答过程】由，，得，且，
对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，当时，，当时，，
故的值是中最小的，故C错误，
对于D，，，故使成立的最大正整数的值为4043，故D正确，
故选：ABD.
11．（5分）（2022·河北张家口·高三期中）已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ）
A．为单调递增数列
B．
C．
D．当时，数列的前n项和满足
【解题思路】对于A，利用递推式得到，从而证得数列是单调递减数列，由此判断即可；对于B，先利用反证法证得，再由数列的单调性得到，据此判断即可；对于C，利用累加法即可证得，由此判断即可；对于D，利用数列的单调性与前项的定义即可证得，据此判断即可.
【解答过程】对于A，因为，
若，则，故是各项为的常数列，与矛盾，
所以，，则，故，即，
所以数列是单调递减数列，故A错误；
对于B，因为，
若，则，故是各项为负数的数列，与矛盾，所以，
又因为数列是单调递减数列，所以是数列中最大的项，所以，
综上：，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
所以，
上述各式相加得，
又，所以，
经检验：，满足，
所以，故C正确；
对于D，由选项A知，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（ ）
A． B．的最小值为
C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000
【解题思路】对于A选项，直接利用等差数列所给的条件求出首项和公差进而求出的通项公式来判断A；
对于B选项，将表示出来得到关于n的表达式，利用二次函数性质求出最小值判断B；
对于C选项由题意可得的地推公式，利用构造法找到规律进而得出数列的通项公式
来判断C；对于D选项，结合 公共项的特点正好是等差数列，利用等差数列求和来判断D；
【解答过程】由为等差数列，设公差为， ，，得，
解得，， ，
，则，所以选项A正确；
，当时，的最小值为，
选项B错误；由，得，变形得，
构建一个新数列，令，，即，又 ，
，由，得，则，
，，再由得，=0，即， 的通项公式为
，由可证明为等差数列，所以选项C正确；
由和通项公式可以得出，和的前100项中的公共项的和为
，所以选项D错误，
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是 ．
【解题思路】先列举出当时，左边的式子，再令，则左边最后一项为，通过对比即可求出添加项
【解答过程】当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故答案为：．
14．（5分）（2022·上海·高二期末）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 .
【解题思路】根据等差数列前项和公式解决即可.
【解答过程】由题知，等差数列 的前n项和分别为，，且，
因为，
故答案为：.
15．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））斐波那契数列，又称黄金数列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在现代物理、准晶体结构等领域都有直接应用，对斐波那契数列，其递推公式为，．已知为斐波那契数列的前n项和，若，则 ．（结果用p表示）
【解题思路】由已知条件，写出递推公式，累加法求出相应的通项（或递推）公式即可.
【解答过程】因为，
所以，
，
，…，
，
将以上n个式子两边分别相加，
得，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
故答案为：.
16．（5分）（2022·江苏·高二期中）已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为 .
【解题思路】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.
【解答过程】由，或，
当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，这不符合数列的各项均为正数；
当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，又，
所以，
因为，
所以前10项的和为，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·上海·高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
【解题思路】总结规律后由数学归纳法证明
【解答过程】一般规律：，
证明：（1）时，左=右，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时，，
等式也成立，
由（1）（2）得当时等式都成立．
18．（12分）（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，公差为整数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）确定，根据等差数列公式得到，得到，得到通项公式.
（2）考虑和两种情况，根据的正负分别计算即可.
【解答过程】（1）由，可得，
由，可得且，解得，
又公差为整数，，.
（2），
当时，；当时，，，
当时，；
当时，.
综上，.
19．（12分）（2022·上海市高一期末）在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）
【解题思路】（1）由题意可得出，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）设数列、的前项和分别为、（单位：万元），计算出、，由，解出的范围，即可得解.
【解答过程】(1)
解：由题意可得，且，则，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
(2)
解：设数列、的前项和分别为、（单位：万元），
则数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，
，
可得.
所以，每年应至少发放元的交通补贴.
20．（12分）（2022·陕西·一模（理））已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【解题思路】（1）运用等差数列的基本公式联立方程可解出的首项和公差，进而得到通项公式；对，考虑整理说明其为等比数列可得其通项公式；（2）将的通项公式进行裂项，可以求出其和，进而证明不等式.
【解答过程】（1）设的公差为d，由题意得：解得
所以，
由，得，
又，所以是公比为的等比数列，
所以.
（2）证明：，
.
要证，即证，
因为在上为增函数，且，
所以得证.
21．（12分）（2022·上海·高一期末）对于无穷数列，设集合．若为有限集，则称数列为“数列”．
(1)已知数列满足，判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)设函数的表达式为，数列满足．若为“数列”，求首项的值；
(3)设．若数列为“数列”，求实数的取值集合．
【解题思路】（1）根据，计算即可；（2），当时，，分，两种情况讨即可；（3）当为有理数时，必存在，使得，则 ，因此集合中元素个数不超过，为有限集；为无理数时，用反证法证明解决即可.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以，所以是“数列”；
（2）由题知，，
所以，
当时，，
因此当时，，
即，此时为“数列”，
当时，，
由得，...，
因此显然不是“数列”；
综上，；
（3）当为有理数时，必存在，使得，
则 ，
因此集合中元素个数不超过，为有限集；
当为无理数时，对任意，下用反证法证明，
若，即，
则或，其中，
则或，矛盾，所以，
因此集合必为无限集；
综上，的取值集合是全体有理数，即．
22．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；
(3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；
（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；
（3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
由已知，有，
解得
所以，
即等差数列的通项公式为.
（2）因为，
当时，，
所以
累加得，
即.
当时，也满足上式.
所以数列的通项公式为.
（3）由（2），所以，
原不等式变为，即，
对任意恒成立，
为任意的正整数，
，
.
的取值范围是.第四章 数列 全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；
③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
3．（5分）（2022·河北·高二期中）数列满足，则数列的前2022项的乘积为（ ）
A． B． C． D．1
4．（5分）（2022·江苏省高二期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．145项 B．146项 C．144项 D．147项
5．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））已知是等比数列，为其前项和，给出以下命题：
①是等比数列；②是等比数列；③，，，…是等比数列；
④是等比数列，⑤若，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列满足，则数列的前2023项的和（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022·河南·模拟预测（文））设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则为递增数列 B．若，则
C．若，则 D．对任意正整数，有
8．（5分）（2022·福建三明·高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
10．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043
11．（5分）（2022·河北张家口·高三期中）已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ）
A．为单调递增数列
B．
C．
D．当时，数列的前n项和满足
12．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（ ）
A． B．的最小值为
C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是 ．
14．（5分）（2022·上海·高二期末）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 .
15．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））斐波那契数列，又称黄金数列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在现代物理、准晶体结构等领域都有直接应用，对斐波那契数列，其递推公式为，．已知为斐波那契数列的前n项和，若，则 ．（结果用p表示）
16．（5分）（2022·江苏·高二期中）已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·上海·高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
18．（12分）（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列的前项和为，公差为整数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．（12分）（2022·上海市高一期末）在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）
20．（12分）（2022·陕西·一模（理））已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
21．（12分）（2022·上海·高一期末）对于无穷数列，设集合．若为有限集，则称数列为“数列”．
(1)已知数列满足，判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)设函数的表达式为，数列满足．若为“数列”，求首项的值；
(3)设．若数列为“数列”，求实数的取值集合．
22．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；
(3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.
