专题4.2 数列的概念（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，0
【解题思路】根据数列的通项公式求得正确答案.
【解答过程】依题意，.
故选：A.
2．（3分）（2022·重庆市高二阶段练习）若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母上的数的规律，即可找出数列的通项公式.
【解答过程】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，
故用表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的分母为，所以数列的通项可为，
故选：D.
3．（3分）（2022·甘肃庆阳·高二期末（文））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第15项是（ ）
A．400 B．110 C．112 D．113
【解题思路】由已知数列可得为偶数时，，为奇数时，，然后代入15求解即可.
【解答过程】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，.
所以，，所以C正确，
故选：C.
4．（3分）（2022·河北高三期中）已知数列满足：且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到.
【解答过程】因为，，，
所以，，，
故数列为周期是3的数列，
所以，
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.
【解答过程】由已知可得数列的递推公式为，且，且，
故，
，
，
，
，
等式左右两边分别相加得，
，
，
故选：B.
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
【解题思路】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.
【解答过程】令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
7．（3分）（2022·新疆喀什·一模（理））对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A． B． C．， D．，，
【解题思路】先求出，，，，，，，，
再得到，，，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．
【解答过程】因为，
所以，，，，，，，，
当，，，所以，
因为函数在上单调递增，
所以时，数列为单调递增数列，
所以，，，，
所以数列的“谷值点”为，．
故选：C.
8．（3分）（2022·山西省高三阶段练习）在数列中，对任意的都有，且则下列结论正确的是（ ）
①.对于任意的，都有；
②.对于任意，数列不可能为常数列；
③.若，则数列为递增数列；
④.若，则当时，
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④
【解题思路】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，①错误；
当时，推导出此时为常数列，②错误；
作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；
由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.
【解答过程】因为，所以，
因为任意的都有，所以，
所以与同号，当，则时，都有，①错误；
当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错误；
，
由A选项知：若，则，
所以，
则数列为递增数列，③正确；
由与同号，当，则时，都有，
且此时，
所以数列为递减数列，
综上：若，则当时，，④正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
【解题思路】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,
使,即可得出项数,判断选项B的正误,
根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,
根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.
【解答过程】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,
所以选项A不正确;
对于选项B,令,
解得或（舍去）,
所以选项B正确;
对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,
第8个数为,即,
所以选项C正确;
对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为 ,
所以选项D正确.
故选:BCD.
10．（4分）（2023·山东省高三阶段练习）下列数列是单调递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用验证各选项即可.
【解答过程】因为
选项A：，所以，不是单调递增数列；
选项B：，所以是单调递增数列；
选项C：，所以，不是单调递增数列；
选项D：，所以是单调递增数列；
故选：BD.
11．（4分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【解题思路】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【解答过程】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
12．（4分）（2022·福建龙岩·高二期中）对于数列，定义：，称数列是的“倒和数列”．下列关于“倒和数列”描述正确的有（ ）
A．若数列是单调递增数列，则数列一定是单调递增数列
B．若，则数列是周期数列
C．若，则其“倒和数列”有最大值
D．若，则其“倒和数列”有最小值
【解题思路】对A：利用函数单调性和举反例判断；对B：根据题意整理可得，进而分析判断；对C：分类讨论的符号，并结合数列单调性分析判断；对D：根据数列单调性分析判断.
【解答过程】对A：在上单调递增，在上单调递减，即在整个定义域内不单调，故无法判断数列一定是单调递增数列，
例如，则，可知数列是单调递增数列，则数列是单调递减数列，A错误；
对B：∵，则，
又∵，即，则，即，
∴，则数列是以周期为2 的周期数列，B正确；
对C：∵，则数列为递减数列，即，
令，则，
∴当时，则；当时，则.
由B可得，
若时，则，则，即，
∴，
故其“倒和数列”有最大值，C正确；
对D：∵，则数列为递增数列，可得，
∴，则，即，
故数列为递减数列，无最小值，D错误.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为 ．
【解题思路】观察所给数列的规律，利用不完全归纳法求解即可.
【解答过程】因为，，，，…，
所以可以猜想.
故答案为：.
14．（4分）（2022·甘肃省高二期中）已知数列中，，则 ．
【解题思路】由求出，，，确定数列为循环数列，最小正周期为3，从而求出.
【解答过程】因为，所以，，
，……，
所以数列为循环数列，最小正周期为3，
故.
故答案为：-2.
15．（4分）（2022·北京·高三期中）已知正项数列满足，则下列说法正确的有 ①②④ .
①若，则；
②若，则数列中有无穷多项大于；
③存在，使数列是单调递增数列；
④存在实数，使.
【解题思路】化简得出，根据递推数列的性质，逐个选项进行计算即可求解.
【解答过程】化简得，，
对于①，，则，因此，，故①正确；
对于②，当，则，，可知，当为偶数时，；
当时，则，，可知当为奇数时，，故，则数列中有无穷多项大于，故②正确；
对于③，由和，作差可得，
，整理得，
由，可得，，若，则，
若，则，故数列是不具有单调性，故③错误；
对于④，，当时，有，此时，，显然，恒成立；
若，由上知，，可得，，
又为正项数列，可得，，即存在，使，故④正确；
故答案为：①②④.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，…的一个通项公式是；
③已知数列，，且，则；
④已知，则数列为递增数列．
其中正确命题的个数为 4 ．
【解题思路】令，以及数列的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确；
由，求得，求得，可判定③正确；由，可判定④正确．
【解答过程】对于①中，令，解得，且数列为递减数列，
所以最大项为第1项，所以①正确；
对于②中，数列，，，，…的一个通项公式为，
所以 原数列的一个通项公式为，所以②正确；
对于③中，由且，即，解得，所以，
所以，所以③正确；
对于④中，由，可得，即，所以数列为递增数列，所以④正确．
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山西省高二阶段练习）写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
【解题思路】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.
【解答过程】（1）解：由，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为，且分母为序号与其后一个数之积，
故该数列的通项公式可以为（答案不唯一）.
（2）解：由，，，，…，
可得该数列的一个通项公式为（答案不唯一）.
18．（6分）（2022·辽宁·高二期末）数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【解题思路】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；
（2）令，求出方程的解，即可判断．
【解答过程】（1）解：数列的通项公式是．
这个数列的第4项是：．
（2）解：令，即，
解得或（舍，
是这个数列的项，是第16项．
19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．
【解题思路】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；
（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【解答过程】（1）当时，，所以；
当时，，所以；
（2）当时，，所以；
由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以 ．
20．（8分）（2022·辽宁丹东·高三期中）数列的前项和为，已知，.
（1）设，证明：当时，；
（2）求的通项公式.
【解题思路】（1）利用及条件可得，从而可得结果；
（2）利用“累加法”可得，可得，利用条件即求.
【解答过程】（1）由，可知时，.
可得，又，
所以
.
（2）因为，所以，
当时，
，
当时，，于是.
所以，从而.
由可得.
21．（8分）（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由.
【解题思路】（1）利用数列的前n项和为与通项的关系即可求解；
（2）比较与1的大小关系，利用数列的单调性即可求解.
【解答过程】(1)
解： 当时，，
所以，
又当时，也满足上式，
所以；
(2)
解：由（1）知，
当时， ，所以，
令，得，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
所以数列先增后减，有最大项且最大项为第8，9项.
22．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
【解题思路】（1）取，可得答案；
（2）当（）时，由，解得，同理，当时得，从而得到的范围；
（3） 首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得到答案；根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减即为所求．
【解答过程】（1）是，如：取，则为递减数列．（时均可）．
（2）当（）时，，解得，同理，当（）时，，解得，
而此时确为型数列，故为所求．
（3）首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得，
若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，，
设，由题意，，
当时，， 而当时，，故． 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾， 证毕．
根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，
由此，若，则存在，使得，又存在，
使得，由①的证明知，如此递归选择的，使得递增且递减，即为所求．专题4.2 数列的概念（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，0
2．（3分）（2022·重庆市高二阶段练习）若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·甘肃庆阳·高二期末（文））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第15项是（ ）
A．400 B．110 C．112 D．113
4．（3分）（2022·河北高三期中）已知数列满足：且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
7．（3分）（2022·新疆喀什·一模（理））对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A． B． C．， D．，，
8．（3分）（2022·山西省高三阶段练习）在数列中，对任意的都有，且则下列结论正确的是（ ）
①.对于任意的，都有；
②.对于任意，数列不可能为常数列；
③.若，则数列为递增数列；
④.若，则当时，
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
10．（4分）（2023·山东省高三阶段练习）下列数列是单调递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
12．（4分）（2022·福建龙岩·高二期中）对于数列，定义：，称数列是的“倒和数列”．下列关于“倒和数列”描述正确的有（ ）
A．若数列是单调递增数列，则数列一定是单调递增数列
B．若，则数列是周期数列
C．若，则其“倒和数列”有最大值
D．若，则其“倒和数列”有最小值
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为 ．
14．（4分）（2022·甘肃省高二期中）已知数列中，，则 ．
15．（4分）（2022·北京·高三期中）已知正项数列满足，则下列说法正确的有 .
①若，则；
②若，则数列中有无穷多项大于；
③存在，使数列是单调递增数列；
④存在实数，使.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，…的一个通项公式是；
③已知数列，，且，则；
④已知，则数列为递增数列．
其中正确命题的个数为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山西省高二阶段练习）写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
18．（6分）（2022·辽宁·高二期末）数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．
20．（8分）（2022·辽宁丹东·高三期中）数列的前项和为，已知，.
（1）设，证明：当时，；
（2）求的通项公式.
21．（8分）（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由.
22．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
