专题4.3 等差数列的概念（重难点题型精讲）
1．等差数列的概念
(1)等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
(2)对等差数列概念的理解
①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.
③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，
那么这个数列不是等差数列.
④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数
列不是等差数列.
⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.
(2)等差数列通项公式的变形
已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则
-=(n-m)d
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，=
+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点.
5．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；
③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
6．等差数列的性质
设{}为等差数列，公差为d，则
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.
(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.
(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为
d+d'的等差数列.
(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.
(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.
【题型1 等差数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知为等差数列，若，，则的公差为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据等差数列对应的点都在一条直线上这个性质求公差．
【解答过程】设的公差为d，则.
故选：C.
【变式1-1】（2022·河南安阳·高二期中）已知等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，从而求得的公差.
【解答过程】因为是等差数列，
所以，解得，
所以的公差为.
故选：B.
【变式1-2】（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【解题思路】令，则，再根据等差数列的定义即可得到，即可求出答案.
【解答过程】令，则，
故，为常数，
故数列是等差数列，
，
，
，
故选：A.
【变式1-3】（2022·甘肃·高二阶段练习）首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.
【解答过程】依题意，令该等差数列为，则有，
因数列从第10项开始为正数，因此，即，解得：，
所以公差d的取值范围是.
故选：D.
【题型2 等差中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·陕西·高二阶段练习）已知，，则的等差中项为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【解题思路】利用等差中项的性质进行求解即可
【解答过程】设的等差中项为，
所以，
因为，，所以，
故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知，，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差中项的定义求解.
【解答过程】由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：
，
．
故选：A．
【变式2-2】（2022·四川省高二阶段练习（文））等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等差中项的性质得到方程，解得即可；
【解答过程】解：依题意，解得；
故选：D.
【变式2-3】（2022·浙江·高三专题练习）设、是实数，则“”是“为和的等差中项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分也非必要条件
【解题思路】利用等差中项的定义判断可得结论.
【解答过程】为和的等差中项，
因此，“”是“为和的等差中项”的充要条件.
故选：C.
【题型3 等差数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·甘肃·高二阶段练习）已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解.
【解答过程】解：设数列的首项为，公差为，
由题得，所以.
所以数列的通项为.
故选：A.
【变式3-1】（2022·陕西宝鸡·高二期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据等差数列的前三项为，由，求得a即可.
【解答过程】因为等差数列的前三项为，
所以，
解得，
所以，
所以，
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）在等差数列中，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【解题思路】利用等差数列的通项公式，列式求得数列的基本量，进而求得其通项公式.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，
因为，所以，解得，
所以的通项公式为.
故选：A.
【变式3-3】（2022·河南·二模（理））已知等差数列各项均为正数，，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
【解题思路】利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列的通项公式.
【解答过程】设等差数列的公差为d，
由可得：，即，
又，
∴，又
∴是方程的两根，又等差数列各项均为正数，
∴，∴d=2
故数列的通项公式为
故选A.
【题型4 等差数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·北京·高三阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案.
【解答过程】因为为等差数列，设公差为，
因为数列单调递增，所以，
所以，
则，解得：，
故选：C.
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
【解题思路】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.
【解答过程】等差数列的图象所在直线的斜率，
则直线呈下降趋势，故数列单调递减.
故选：B.
【变式4-2】（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{}的四个结论：p1：数列{}是递增数列；p2：数列{n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【解题思路】公差的等差数列是递增数列；数列不一定是递增数列；数列不一定是递减数列；数列是递增数列.
【解答过程】解：设等差数列首项a1，d>0，则＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{}递增，故p1正确；
n＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，故p2错误；
＝d＋，当时，不递增，故p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(＋3nd)＝an＋1－＋3d＝4d>0，所以{＋3nd}递增，故p4正确，
故选：D.
【题型5 等差数列的判定与证明】
【方法点拨】
判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法：-=d(常数)(n){}是等差数列.
(2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列.
(3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列.
【例5】（2022·江苏·高二阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【解题思路】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得；
（2）将推递关系式进行变形，得到，从而得证.
【解答过程】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
则，
故，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【解题思路】（1）利用赋值法得到关于的方程，解之即可；
（2）利用倒数法得到，从而证得为等差数列，进而求得的通项公式.
【解答过程】（1）因为，
所以当时，，则，即，解得，
当时，，则，即，解得，
所以，.
（2）因为，
所以，且，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故，则.
【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列满足，，且．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【解题思路】（1）依题意可得，将两边同时平方，整理即可得到，即可得证；
（2）由（1）可得，再解方程求出，即可得到，再检验即可.
【解答过程】（1）解：因为，
所以，则，即，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，
所以，
解得
因为且，即数列为递增数列，所以，
所以，
若，则，不符合题意，
故.
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）若数列的各项均为正数，对任意n∈N*，，为常数，且．
(1)求的值；
(2)求证：数列为等差数列．
【解题思路】（1）由已知得，，两式作差即可求得的值；
（2）由，，两式相减可得数列为常数列，进一步得，所以数列为等差数列．
【解答过程】（1）
因为对任意n∈N*，，
令n＝1，得①
令n＝2，得②
②－①得，即，
所以．
（2）
证明：，，
两式相减得，
∴，即，
所以数列为常数列，所以＝＝2，
所以，
所以数列为等差数列．
【题型6 利用等差数列的性质解题】
【方法点拨】
对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2022·江苏·高二期中）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【解题思路】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.
【解答过程】，故，.
故选：B.
【变式6-1】（2022·福建莆田·高二期中）公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由等差数列下标和性质可得，由此可得所有可能的取值，进而确定所有可能的结果.
【解答过程】由等差数列性质知：若，则，
又，，或或或或或或或或或，
可能的值为或或或或.
故选：C.
【变式6-2】（2022·浙江宁波·一模）已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据等差数列的性质即可求解.
【解答过程】因为，，
所以，
即 ，
根据等差数列的性质可知，
所以.
故选:B.
【变式6-3】（2022·广东肇庆·高三阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【解题思路】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值.
【解答过程】∵，∴，
由已知，得，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：C.专题4.3 等差数列的概念（重难点题型精讲）
1．等差数列的概念
(1)等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
(2)对等差数列概念的理解
①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.
③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，
那么这个数列不是等差数列.
④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数
列不是等差数列.
⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.
(2)等差数列通项公式的变形
已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则
-=(n-m)d
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，=
+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点.
5．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；
③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
6．等差数列的性质
设{}为等差数列，公差为d，则
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.
(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.
(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为
d+d'的等差数列.
(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.
(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.
【题型1 等差数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知为等差数列，若，，则的公差为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】（2022·河南安阳·高二期中）已知等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【变式1-3】（2022·甘肃·高二阶段练习）首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题型2 等差中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等差中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·陕西·高二阶段练习）已知，，则的等差中项为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知，，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·四川省高二阶段练习（文））等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·浙江·高三专题练习）设、是实数，则“”是“为和的等差中项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分也非必要条件
【题型3 等差数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·甘肃·高二阶段练习）已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·陕西宝鸡·高二期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）在等差数列中，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【变式3-3】（2022·河南·二模（理））已知等差数列各项均为正数，，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
【题型4 等差数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·北京·高三阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
【变式4-2】（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{}的四个结论：p1：数列{}是递增数列；p2：数列{n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【题型5 等差数列的判定与证明】
【方法点拨】
判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法：-=d(常数)(n){}是等差数列.
(2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列.
(3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列.
【例5】（2022·江苏·高二阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列满足，，且．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）若数列的各项均为正数，对任意n∈N*，，为常数，且．
(1)求的值；
(2)求证：数列为等差数列．
【题型6 利用等差数列的性质解题】
【方法点拨】
对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这
样可以减少运算量，提高运算速度.
【例6】（2022·江苏·高二期中）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【变式6-1】（2022·福建莆田·高二期中）公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·浙江宁波·一模）已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-3】（2022·广东肇庆·高三阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
