专题4.4 等差数列的概念（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·北京朝阳·高二期末）与的等差中项是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·陕西·高二期中（理））在等差数列中，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·贵州·高三期中（文））已知数列满足：，当时，，则关于数列说法错误的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
8．（3分）（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME 7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．数列的通项公式为
11．（4分）（2021·江苏·高二期中）已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
12．（4分）（2022·山东青岛·高二期中）已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒成立
C．不存在正整数，，使，，成等差数列
D．数列为等差数列
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·海南省高二期中）已知等差数列中，，，则与的等差中项为 .
14．（4分）（2021·北京·高三阶段练习）已知数列满足 ，，则 .
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .
16．（4分）（2022·云南玉溪·模拟预测（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列，并且得到递推关系为．则 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差.
18．（6分）（2022·福建·高二期中）（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；
（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.
19．（8分）（2022·上海·高二期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．
(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
20．（8分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21．（8分）（2022·上海·高二专题练习）无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
22．（8分）（2022·四川省高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．专题4.4 等差数列的概念（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·北京朝阳·高二期末）与的等差中项是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】代入等差中项公式即可解决.
【解答过程】与的等差中项是.
故选：A.
2．（3分）（2022·陕西·高二期中（理））在等差数列中，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.
【解答过程】设的公差为，则，解得．
故选：B．
3．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【解题思路】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【解答过程】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【解答过程】因为，所以．
又，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．
故选：D．
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】由等差数列的定义即可得出结论.
【解答过程】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；
，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；
，，，满足等差数列的定义，故③正确.
故选：C.
6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接利用公式法求出通项公式即可.
【解答过程】因为新的等差数列的公差，
所以.
故选A.
7．（3分）（2022·贵州·高三期中（文））已知数列满足：，当时，，则关于数列说法错误的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
【解题思路】利用数列的递推关系推出，所以数列是以为首项1为公差的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误.
【解答过程】解：由题意得：，
即，
所以数列是以为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，故D对.
所以，故A对，
函数，在时，单调递增，故是单调递增数列，故B正确，C错误.
故选：C.
8．（3分）（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME 7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.
【解答过程】由题意知，，且都是直角三角形，
所以，且，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，由.
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差中项求解.
【解答过程】由等差中项的定义知，，
所以，即，
所以，
故或.
故选：AB.
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．数列的通项公式为
【解题思路】由点在直线上可知数列是等差数列，由等差数列通项公式可求得，推导可得，从而可得各个选项的正误.
【解答过程】点在直线上，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确；
，D正确；，C错误；
，不是等差数列，A错误.
故选：BD.
11．（4分）（2021·江苏·高二期中）已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
【解题思路】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；
对于B中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；
对于C中，因为，可得，且，
又因为，所以
又由，所以等号不成立，即，所以C正确.
对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.
故选：CD.
12．（4分）（2022·山东青岛·高二期中）已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒成立
C．不存在正整数，，使，，成等差数列
D．数列为等差数列
【解题思路】首先判断D，根据数列的递推关系，通过D构造等差数列的定义，即可判断；根据等差数列的通项公式，得到数列的通项公式，再通过代入的方法，判断ABC.
【解答过程】因为，（）,所以,（）,
即，因为，
所以，
得，，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，
得，故D正确；
A.，故A正确；
B.，所以，故B正确；
C. 若存在正整数，，使，，成等差数列，则，
即，得，令，满足等式，所以C错误；
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·海南省高二期中）已知等差数列中，，，则与的等差中项为 8 .
【解题思路】用基本量表示题干条件，求得通项公式，由与的等差中项为代入计算即可.
【解答过程】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，
又，，
故，解得，
故，
故与的等差中项为.
故答案为：8.
14．（4分）（2021·北京·高三阶段练习）已知数列满足 ，，则 .
【解题思路】由，可得数列为等差数列，公差，结合可得解
【解答过程】由题意，，
故数列为等差数列，公差，
，
故答案为：10.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .
【解题思路】数列是单调递增数列，根据满足，，可得，，即可得出.
【解答过程】∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，
故答案为.
16．（4分）（2022·云南玉溪·模拟预测（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列，并且得到递推关系为．则 ．
【解题思路】首先在的递推关系式两边都除以，得到，进而构造出等差数列，再化简求值即可得到的通项公式.
【解答过程】解：有穷数列，递推关系为；
，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差.
【解题思路】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程组可求得数列的首项和公差，由此可求得答案；
（2）根据等差数列的性质得，由此可得，由等差数列的性质可求得答案.
【解答过程】解：（1）由题意得，解得，故.
所以.
（2）由，得，∴.
由，解得或，∴或.
所以公差为3或.
18．（6分）（2022·福建·高二期中）（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；
（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.
【解题思路】（1）根据已知条件解方程组可得，再列出关于的方程组，求出，从而可求出通项公式；
（2）根据等差数的定义结合已知进行证明.
【解答过程】（1）解：由且数列递增，
得.
设数列的公差为，
所以，解得，
所以；
（2）证明：因为，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
19．（8分）（2022·上海·高二期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．
(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
【解题思路】（1）根据题意得到，，再利用等差数列的通项公式列方程，解得，，然后写通项即可；
（2）令，解得即可.
【解答过程】（1）由已知条件得，，
又∵为等差数列，设首项为，公差为，
∴，，解得，．
∴．
∴数列的通项公式为．
（2）令，解得．
∴268是此数列的第136项．
20．（8分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据题意整理得，即是等差数列，根据等差数列求通项公式；（2）把（1）中的通项公式代入求解，注意m应为正整数．
【解答过程】（1）由，得，∴
又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列
∴
∴
（2）∵，∴
则，解得，不符合题意
∴不存在正整数，使得.
21．（8分）（2022·上海·高二专题练习）无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
【解题思路】（1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论；
（2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果.
【解答过程】（1）因为，则
所以
，
故数列是以1为公差的等差数列；
（2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得，
故的取值范围为.
22．（8分）（2022·四川省高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据已知条件及（1）的结论，得出数列的通项公式，假设存在正整数，使得成立，由此列出关于的方程即可求解.
【解答过程】(1)
∵，即，∴，∴．
设等差数列的公差为，（）则
∵，∴．
∴．解得（舍）或．
∴，
所以数列的通项公式为：．
(2)
由（1）知，，
所以，
假设存在正整数，使得成立，
即．
化简整理，得，即，解得或（舍）．
所以存在正整数，使得成立．
