华东师大三附中2014学年第二学期期末考试高二数学（文科）试题

华东师大三附中2014学年第二学期期末考试
高二数学（文科）试题
时间：120分钟 满分：150 分
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. =__________________.
2. 在的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则= ．
3. 若实数满足则的最大值为 .
4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、 圆心角为90(的扇形，则这个圆锥的全面积是 ．
5. 由若干个棱长为的正方体组成的几何体的
三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .
6. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每 3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率 是 ．
7. 已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为__．
8. 设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线的距离的最大值是 .
9. 设函数的曲线绕轴旋转一周所得几何体的表面积__________.
10. 设不等式组所表示的平面区域的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为则 .
11. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，
可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接
成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是 ．
12. 在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 .
13. 正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、.设四面体的表面积为，则等于___________.
14. 对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）
A. 84 B. 78 C. 81 D. 96
16. 教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺 ( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交
17. 如图，为正方体的中心，△在该正方体各个面上的射影可能是 （ ）
A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4)
18. 给出下列四个命题：
异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；
若直线上有两点到平面的距离相等，则；
若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则；
两条异面直线中的一条垂直于平面(，则另一条必定不垂直于平面(．
其中正确命题的个数是 （ 　）
A. 0个　　　 　B. 1个　　　 　C. 2个　　　　　D. 3个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）
已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图：三棱锥中，(底面，若底面是
边长为2的正三角形，且与底面所成的角为．若
是的中点，求：
（1）三棱锥的体积；
（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
21．（本题满分14分）
如图，在北纬60°线上，有A、B两地，它们分别在东经20°和140°线上，设地球半径为R，求A、B两地的球面距离．
22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。
如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）在任意中有余弦定理：． 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围．
华东师大三附中2014学年第二学期期末考试
高二数学（文科）试题答案
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 2. 1 3. 4 4. 5. 5
6. 7. 8. 9. 10. 3018
11. 12. 13. 14.
二． 15. B 16. B 17. C 18. C
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19． 解：设圆柱下底面圆的半径为，连，
由矩形内接于圆，可知是圆的直径， （2分）
于是，得， （4分）
由∥，可知就是异面直线与所成的角，
即，故 （7分）
在直角三角形中，， （9分）
故圆柱的体积 （ 12分）
20．
（1）因为底面，与底面所成的角为
所以 ………2分 因为，所以 （ 4分）
（7分）
（2）连接，取的中点，记为，连接，则
所以为异面直线与所成的角 （9）分
计算可得：，， （11）分
（13分）
异面直线与所成的角为 （14分）
21．（本题满分14分）
解：设纬线圈半径为r，据题意，∠AO1B=1400-200=1200. （2分）
， （5分）
在△AO1B中， （8分）
又在ΔAOB中， （11分）
∴A、B两地的球面距离 （14分）
22．
(1)证：；（6分）
(2)解：在斜三棱柱中，有，
其中为平面与平面所组成的二面角. （10分）
上述的二面角为，
在中，
(，
由于，
有. （16分）
23．（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线
　∵∴　∴　曲线方程是 （4分）
（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、
此时 （6分）
当不平行于轴时，设其斜率为，
则由得
设，则有， （8分）
∴
（10分）
（3）设 ∴
∵ ∴
∵，化简得 （12分）
∴ （14分）
当且仅当时等号成立
∵ （16分）
∴当的取值范围是（18分）