专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求；
(2)若为与的等比中项，求．
2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
5．（2022·广东·高二期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设、的前项和分别为，，求，．
6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知：求数列前和为.
8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列．
9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列，满足，且．
(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前n项和．
10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.
(1)求与的通项公式；
(2)求的前n项和，并求满足的最小正整数n.
11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．
14．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
15．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．
(1)求；
(2)求数列的前30项和．
16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．
(1)求数列与的通项公式
(2)求数列的前n项和．
17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列，的通项公式
(2)设，求数列的前项和．
18．（2022·广西·模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列满足，，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求证：，其中．
22．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和．
24．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
条件①：；条件②：；条件③：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
26．（2022·上海高二期中）已知数列中，，
(1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求的前n项和.
27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
29．（2023·山东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足的前项和为，求证:．
30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列公差为，前n项和为.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值；
(3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立.专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求；
(2)若为与的等比中项，求．
【解题思路】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式；
（2）首先由题意得，，代入通项公式后，求.
【解答过程】（1）设等差数列公差为，，解得，
，所以，，
.
（2）由题意：，，即，
化简得：，
解之得或（舍），故.
2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；
（2）根据错位相减法求和即可.
【解答过程】（1）等差数列的首项，公差设为，
由，，成等比数列，则，
即，
即，解得，
所以.
（2）由题意，，设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
即，
化简得.
3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）设的公差为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.
【解答过程】（1）设的公差为．
由，
得，
化简得，
解得．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以 ①
则 ②
由①－②得：
，
所以数列的前n项和．
4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
由，，
可得：，
解得，
所以的通项公式；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，
由（1）可得，等比数列满足，，
由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同），
所以，
则是公比为，首项为的等比数列，
.
5．（2022·广东·高二期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设、的前项和分别为，，求，．
【解题思路】（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式；
（2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案.
【解答过程】（1）当时，，
当时，，
又，满足上式
故的通项公式为，
设等比数列的公比为，
因为，，
所以可看作方程的两根，
解得：或，
因为等比数列单调递增，所以舍去，
故，解得：，
故的通项公式为；
（2）因为，所以，
故为等差数列，
由等差数列求和公式得：，
由等比数列求和公式得：.
6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据题意可求得、的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式；
（2）设等比数列的公比为，求出、的值，利用等比数列的的求和公式可求得的表达式.
【解答过程】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
，解得，则.
所以，.
（2）解：设等比数列的公比为，则，，
所以，.
7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知：求数列前和为.
【解题思路】（1）由条件可知，即，从而得出数列为等比数列；
（2），利用错位相减法即可求解.
【解答过程】（1）证明：由条件可知，即，
，且，
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，
，则，
，
，
两式相减可得，，
即，
化简得.
8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列．
【解题思路】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论；
（2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论．
【解答过程】（1），，，
，
；
（2）由（1）可知，
，
，
∴数列是等差数列，首项是1，公差是2.
9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列，满足，且．
(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前n项和．
【解题思路】(1)由已知条件求出等比数列的公比和通项，得到数列为等比数列，可求出通项公式；
(2)由等差数列的通项利用累乘法求得数列的通项，再用裂项相消求的前n项和．
【解答过程】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或，
由 ， 或 ，
由，所以 ，又 ，
即数列是以1为首项， 为公比的等比数列
故 或.
（2）依题意得等差数列公差，则，
由，所以 ，
从而
，
.
10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.
(1)求与的通项公式；
(2)求的前n项和，并求满足的最小正整数n.
【解题思路】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得与的通项公式；
（2）利用裂项求和法求得，然后将代入求解不等式即可得到.
【解答过程】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，
设的公差为，的公比为（），
由已知得，即，
消去，可得，解得或（舍去）.
所以，，则.
所以，，
.
（2）由（1）知，，
所以 .
由知，，即，
解得，，或.
又，，.
所以，最小正整数为2023.
11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】(1) 设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组求解即可；(2)根据题意可得，利用裂项相消和分组求和运算求解.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，即，
整理得，解得，
所以，
∵，所以.
（2）∵，
∴
，
故.
12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解题思路】（1）根据条件，列方程求出 和 ，运用累加法求出 ；
（2）令 ，对 分类讨论即可.
【解答过程】（1）设数列的公比为q，由条件得 ，
即 ，解得或 （舍），，
累加得：
，
，又符合该式，
所以 ；
（2）令，则，
又，则
当时，，当时，，
又当时，，当时，，
时，，
时，
，
.
13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）根据是与的等比中项，利用基本量法可得，进而得到，再根据，可得或；
（2）由（1），化简可得，再根据错位相减可得.
【解答过程】（1）第一步：求数列的通项公式
因为是公差为的等差数列，，是与的等比中项，
所以，（等比数列的性质）
解得或（舍去），（注意）
所以数列的通项公式为．
第二步：求数列的通项公式
所以，又，所以，
所以数列的通项公式为或．
（2）第一步：求数列的通项公式
由（1）得，或，
由，得，
第二步：利用错位相减法求和
于是，
，
则，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号）
即，
整理得，
所以数列的前n项和．
14．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【解题思路】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；
（2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论.
【解答过程】（1）设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
，
故.
15．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．
(1)求；
(2)求数列的前30项和．
【解题思路】（1）由等差数列的公式列方程组即可求解；
（2）分类讨论即可求解.
【解答过程】（1）由题意可得：，
解得或（舍）
故.
（2）由（1）可知：，
设数列的前项和为，
易知当时，，，所以，
当时，，，
，
所以.
16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．
(1)求数列与的通项公式
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式
（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前n项和
【解答过程】（1）解：设的公差为，则，所以
解得，所以；
由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．
所以．所以．
（2）由题得．
所以
则
两式相减得
所以．
17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列，的通项公式
(2)设，求数列的前项和．
【解题思路】（1）根据等比数列的定义，直接写出，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得与公差，即可求得；
（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，直接求解即可.
【解答过程】（1）因为数列满足，，，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以数列的前项和
，即．
18．（2022·广西·模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解题思路】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式；
（2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【解答过程】（1）数列满足,，
可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为,
且偶数项成等比数列,公比为,且，，,
可得,,
解得,
则,化为；
（2）当为偶数时,
数列的前项和
当为奇数时,
，
当时也适合上式.
综上: .
19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和..
【解答过程】（1）由，取可得，又，
所以，则.
当时，由条件可得，两式相减可得，，又，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，
故，
（2），
，
.
相减得，
所以，所以
所以.
20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
【解题思路】对于（1），设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得通项公式.设的前项和为，则，据此可得通项公式；
对于（2），由（1）可得，注意到，据此可得.
【解答过程】（1）设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得，
两式相除得 ，又，得.
将代入，得，故，.
设的前项和为，则，
得，.又
则，结合，得，.
综上：通项公式为，，通项公式为，.
（2）由（1）可得，，.
则，.
注意到，
则
，.
故，.
21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列满足，，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求证：，其中．
【解题思路】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式
（2）通过（1）求出的，的通项公式，表达数列，然后利用公式法和放缩法，分类讨论n为奇数或偶数时前n项的和，进而证明不等式.
【解答过程】（1）由题意，,
在等差数列中，设
解得：
∴
等比数列中，设，
，解得：
∴
（2）由题意及（1）得，，，，
在中，
设，
当n为奇数时，
，
在中，
∵
∴
∴
在中，
，
，
解得：，
∴，
∴，
当n为偶数时，
，
同理可得，，
综上，.
22．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据等比数列性质得到，解得答案.
（2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，
解得或（舍去）.
故.
（2）由（1）可得，
故.
23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和．
【解题思路】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的的通项公式代入，得到，说明数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式求解．
【解答过程】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，
由，，得，即，解得（舍或．
；
（2），，，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列的前项和．
24．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；
（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.
【解答过程】（1）证明：因为，，所以.
因为，所以，
又，则有 ，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知 ，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
条件①：；条件②：；条件③：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
【解题思路】（1）若选①②，则，解出，则可求得；若选②③，则解出，则可求得；若选①③，则，解出，则可求得；
（2）由（1）得，，从而可求出公比和，则可得，然后利用分组求和法可求得.
【解答过程】（1）选①②，由已知，，
得，解得，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，
∴数列的通项公式为.
选②③，由已知，，
得，解得，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，
∴数列的通项公式为.
选①③，由已知，，
得，解得，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，
∴数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，∴，，
∴等比数列的公比，故，
∴等比数列的通项公式为，
∴数列的前项和
.
26．（2022·上海高二期中）已知数列中，，
(1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求的前n项和.
【解题思路】（1）对已知等式变形可得，从而可证得数列为等差数列，进而可求出其通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得结果.
【解答过程】（1）∵，，∴，∴，
又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列.
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
，
∴
，
∴.
27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【解题思路】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.
【解答过程】（1）设数列的公差为，
因为是和的等比中项，
所以，即，
因为，
所以或（舍），
所以，
所以通项公式；
（2）由（1）得，
因为与（）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以.
28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解题思路】(1)根据条件，结合等比数列基本量，列等式求，即可求数列的通项公式；
（2）根据（1），再利用裂项相消法求数列的和，根据数列的单调性，即证明不等式.
【解答过程】（1）设数列的公比为q，由题意知，
即，
因为，，所以，所以，所以．
（2）证明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
显然单调递增，所以，
因为，所以，所以．
29．（2023·山东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足的前项和为，求证:．
【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；
（2）利用裂项相消求和即可.
【解答过程】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，
又，可得方程组，即，
又，解得，故．
（2），
所以
，
因为，所以．
所以．
30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列公差为，前n项和为.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值；
(3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立.
【解题思路】（1）由等差数列的前项和公式求得公差后可得通项公式；
（2）由等比数列性质求得通项公式，设，（都是正整数），代入消元得，因此有，或3，用列举法确定的值，求出，然后再求数列的项；
（3）证明是奇函数，又是增函数，证明与同号，即可证不等式成立．
【解答过程】（1）设的公差为，则，，
所以；
（2）设的公差为，由、、成等比数列得，
，∵，∴，
，
都是正整数，，都是整数，显然是正整数，
设，（都是正整数），
代入得，
∴，，则，
若，，则，不合题意，若，则，，
若，，则，，不合题意，
若，，则，，
所以或，
．
（3）的定义域是R，
，∴是奇函数，
又，设，则，，
从而，即，所以是增函数，
是等差数列，则，
若（），则，
，，，（），
∴，
∴，
若（），则，
，，，（），
∴，
∴，
综上，对任意的等差数列，．
