专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【解题思路】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【解答过程】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出与时的结论，即可得到答案．
【解答过程】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边,
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是，
故选：．
3．（3分）（2022·全国·高二课时练面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．
【解答过程】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．
故选：B．
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解.
【解答过程】解：假设时命题成立，即：被3整除．
当时，
，
故选：A．
5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【解题思路】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.
【解答过程】n＝k时，左边为＋＋…＋，①
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
比较①②可知C正确.
故选：C.
6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋(k－1)d B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
【解题思路】只需把公式中的n换成k即可．
【解答过程】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
故选: C.
7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解题思路】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【解答过程】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除.
A． B． C． D．
【解题思路】假设时命题成立，即能被9整除，计算当时， ，即可得解.
【解答过程】解：假设时命题成立，即能被9整除，
当时，
,
能被9整除,
要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除,
故选：.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．时证明正确
C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确
【解题思路】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.
【解答过程】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.
故选：BD.
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，命题不成立
B．当时，命题可能成立
C．当时，命题不成立
D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
【解题思路】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.
【解答过程】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；
如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；
当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.
故选：AD.
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.
【解答过程】当时，，不合要求，舍去
当时，，不合要求，舍去；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
下证：当时，成立，
当时，成立，
假设当时，均有，解得：
当时，有，
因为，
所以成立，
由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，
故选：CD.
12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A．
B．
C．对任意正数，都存在正整数使得成立
D．
【解题思路】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；
对于B，将原式化简为，由得到结果；
对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；
对于D，利用数学归纳法可证得结论.
【解答过程】对于A，，若，则，
又，可知，，
又，，A正确；
对于B，由已知得：，
，B正确；
对于C，由及A中结论得：，，
，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；
对于D，（i）当时，由已知知：成立，
（ii）假设当时，成立，
则，
又，即，
，
综上所述：当时，，D正确.
故选：ABCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 .
【解题思路】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.
【解答过程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5
＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6
＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，
∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ k＋1 .
【解题思路】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论.
【解答过程】f(k)＝1＋，
f(k＋1)＝1＋，
∴f(k＋1)－f(k)
＝
＝k＋1，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
故答案为：k＋1.
15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是 ．
【解题思路】根据数学归纳法，结合不等式左边的特征判断增加的项数即可.
【解答过程】当时，左边，
当时，左边，
而，
所以时不等式左边增加了项.
故答案为：.
16．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明 (n∈N*)的过程如下：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是 未用归纳假设 .
【解题思路】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.
【解答过程】本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.
故答案为：未用归纳假设.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：．
【解题思路】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.
【解答过程】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，
当时，
＋…＋+
，
即当时等式也成立.，
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，
故.
18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
【解题思路】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.
【解答过程】证明：（1）当时， ，能被9整除，
故当时， 能被9整除．
（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，
则当时，也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．
19．（8分）（2022·全国·高二课时练面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可
【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，
n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【解题思路】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；
（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.
【解答过程】(1)
由可得，又，则，，
则，猜想；
(2)
由（1）得，当时，，
①当时，猜想显然成立；
②假设当时成立，即；
当时，，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即.
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
【解题思路】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.
【解答过程】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；
（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.
22．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
【解题思路】（1）直接由题意求得的值，并猜想出；
（2）求出的值，的值，可得当时，，猜想：当时，，即，然后利用数学归纳法证明即可.
【解答过程】（1）由题意得，，，，，
猜想：.
（2），，，，，，，，，，
则当时，，猜想：当时，，即，
下面利用数学归纳法证明：
①当时，，，，结论成立；
②假设时结论成立，即，
那么当时，，
而时，，即，
所以 ，
所以当时，结论也成立.
由①②可知，当时，结论成立.
综上，当时，，当时，，即.专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·全国·高二课时练面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋(k－1)d B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除.
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．时证明正确
C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，命题不成立
B．当时，命题可能成立
C．当时，命题不成立
D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）
A．
B．
C．对任意正数，都存在正整数使得成立
D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为 .
14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ .
15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是 ．
16．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明 (n∈N*)的过程如下：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；
（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：．
18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
19．（8分）（2022·全国·高二课时练面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
22．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.
（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.
