专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
2．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．364 B．1094 C．368 D．1092
3．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
4．（3分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．（3分）（2022·广东·一模）已知等比数列的通项公式为，，记的前项和为，前项积为，则使得成立的的最大正整数值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
6．（3分）（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
7．（3分）（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·高二期末）已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．数列的通项公式为
C． D．数列是公差为2的等差数列
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
12．（4分）（2022·全国·高二期末）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是( )
A．数列的通项公式为
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各项均为正数的等比数列中，若，，则 .
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，则数列的通项公式为 ．
15．（4分）（2022·湖北·三模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则的值为 ．
16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，，，求的值.
18．（6分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知等比数列的前n项和为，公比，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
19．（8分）（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．
(1)设从2021年开始的年内火电发电总量为亿千瓦时，清洁电能总发电量为亿千瓦时，求，（约定时为2021年）；
(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？
21．（8分）（2022·上海市高二期末）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．
22．（8分）已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；
(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
【解题思路】利用等比数列的性质可得，代入数据即可得到答案
【解答过程】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
故选：C.
2．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．364 B．1094 C．368 D．1092
【解题思路】根据等比数列可求公比，再按照等比数列求和公式即可得的值.
【解答过程】解：等比数列的前n项和为，若，，设公比为
则，所以，则.
故选：D.
3．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】设公比为，求出首项的公比后可得通项公式．
【解答过程】设公比为，则，解得或，
所以或．
故选：D．
4．（3分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【解题思路】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.
【解答过程】因为等比数列的各项均为正数，
所以由，
当 时，，所以，不符合题意；
当时，由，
或，
因为等比数列的各项均为正数，所以，
故选：B.
5．（3分）（2022·广东·一模）已知等比数列的通项公式为，，记的前项和为，前项积为，则使得成立的的最大正整数值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【解题思路】根据题意求得，，由，得到，解得，进而求得使得成立的的最大正整数值.
【解答过程】由题意，等比数列的通项公式为，
可得数列是首项为、公比为的等比数列，
所以，，
由，得，由，可得，
结合，可得，.当时，，不满足题意；
当时，，，，
所以，不满足题意.
综上，使得成立的的最大正整数值为17.
故选：A.
6．（3分）（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【解题思路】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.
【解答过程】设前n年的总维修费用为，
，，
则，，
即前6年可继续使用.
当时，，
所以，，
，
则，
计算得，，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.
故选：C.
7．（3分）（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等比数列求，进而得，由分组求和得，根据奇偶即可求解最值.
【解答过程】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值 ，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减， ，
综上可得 ，
同理，
故当 时， ，故，
综上：，
故选：D.
8．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
【解题思路】首先由条件分析出等比数列的等比取值，即可得到是正项递减数列，然后利用这个性质结合题设条件即可判断.
【解答过程】∵数列是等比数列，
∴，，∴，∴，
又，∴，有：或，
当时，，有：，
此时：，与矛盾，所以不成立，
当时，，有：，
综上：，
∴数列是，的正项递减数列，
∴，所以A错误；
，
∵，，则有，，，
，∴，所以B错误；
为前项的积，，，，所以C错误；
∵
又：
∴，所以D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·高二期末）已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】因为为等比数列，所以也构成等比数列.根据条件给出的值，求得及公比.
【解答过程】因为为等比数列，所以也构成等比数列.
因为，所以，
得.
因为，所以，解得.
因为，
所以，，故A错误，B正确；
因为，且，所以，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．数列的通项公式为
C． D．数列是公差为2的等差数列
【解题思路】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列的公比和通项及前项和，再逐一分析各选项即可得解.
【解答过程】在等比数列中，，由得或，
而公比为整数，于是得，，，
，A正确；
，B正确；
，C错误；
，即数列是公差为1的等差数列，D错误，
故选：AB．
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【解题思路】根据题意，，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.
【解答过程】因为，，，
所以，，所以，故A正确.
，故B错误；
因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；
又，，所以的最大值为，故D正确.
故选：AD.
12．（4分）（2022·全国·高二期末）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是( )
A．数列的通项公式为
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
【解题思路】根据已知条件可求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和，从而可求，利用裂项相消法可求，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【解答过程】A：由可得，∴等比数列的公比，∴.
由是与的等差中项，可得，
即，解得，∴，∴A不正确；
B：，∴B正确；
C：，∴C不正确；
D：
，
∴数列是递增数列，得，∴，∴D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各项均为正数的等比数列中，若，，则 70 .
【解题思路】利用等比数列的求和公式的基本量运算即得，或利用等比数列前n项和的性质求解.
【解答过程】设等比数列的公比为，由题可知，
方法一：由已知条件可列出方程组
两式作商得，
∴，
∴.
方法二：由性质得，
，即，
∴，
∴.
方法三：运用性质.
由已知条件，，易得，
∴，即，
∴.
由，解得.
方法四：运用性质，，，，…成等比数列解答.
∵，，成等比数列，
而，，∴，
即，
∴.
故答案为：70.
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，则数列的通项公式为 或 ．
【解题思路】分，，由，，利用“”法求解.
【解答过程】当时，，，
∴符合题意，此时．
当时，，，
∴，
∴．
故数列的通项公式为或．
故答案为：或.
15．（4分）（2022·湖北·三模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则的值为 130 ．
【解题思路】根据插入数的规则，先分析在中对应的项数，根据所得可验证在中的项数，据此分析中到中项的情况即可分组求和得解.
【解答过程】因为与之间插入个1，
所以在中对应的项数为
，
当k＝6时，，当k＝7时，，
所以，，且．
为前6项和，
因此
.
故答案为：130.
16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为 4 ．
【解题思路】分别求出，进而可得，可得是等比数列，再利用等边数列求和公式求，利用单调性解不等式即可得答案.
【解答过程】是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以即，
所以，
因为在上单调递减，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次数的最小值为次，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，，，求的值.
【解题思路】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解.
【解答过程】解：设,，
所以,
所以，
所以.
18．（6分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知等比数列的前n项和为，公比，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）根据等比数列通项公式及等比数列前和公式，即可得到方程，解出，再写出其通项即可；
（2）首先得到，利用乘公比错位相减法即可得到通项公式.
【解答过程】（1）因为数列为等比数列，且公比，，
所以，解得，
故；
（2）由(1)得,
①，
②，
①②得
，
.
19．（8分）（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和..
【解答过程】（1）由，取可得，又，
所以，则.
当时，由条件可得，两式相减可得，，又，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，
故，
（2），
，
.
相减得，
所以，所以
所以.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．
(1)设从2021年开始的年内火电发电总量为亿千瓦时，清洁电能总发电量为亿千瓦时，求，（约定时为2021年）；
(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？
【解题思路】（1）设2021年起，每年的火力发电量构成数列，每年的清洁电能发电量构成数列，则根据题意得数列是等比数列，公比为，首项为，数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和即可得答案；
（2）根据题意解即可得答案.
【解答过程】（1）
解：设2021年度火电发电量为亿千瓦时，以后每年度的火力发电量为，
因为根据规划，2021年度以后，火电发电量每年比上一年减少20%，
所以2021年起，每年的火力发电量构成数列，且满足，，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，则，
设2021年度清洁电能发电量为亿千瓦时，以后每年度的清洁电能发电量为，
因为根据规划，2021年度以后清洁电能发电量每年比上一年增长25% ，
所以2021年起，每年的清洁电能发电量构成数列，且满足，，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，则，
（2）
解：根据题意，假设第年清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，
所以，即，
整理得，
令，则，即，解得或（舍）
所以，即
故当时，，
即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量.
21．（8分）（2022·上海市高二期末）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．
【解题思路】（1）利用可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值.
【解答过程】（1）当时，，得，
当时，由，得，
所以，
，
所以，
所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）得，
因为数列中落入区间内，
所以，
所以，
，
所以，
所以数列中落入区间内的项的个数
，
所以，
由，得，
即，
当时，，
当时，，
因为随的增大而增大，
所以的最小整数为5.
22．（8分）已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；
(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据等比数列，等差数列通项公式和前项和的基本量，列出等量关系，求解即可证明；
（2）根据等差数列和等比数列通项公式的基本量，结合为正整数，即可证明；
（3）假设存在三项满足题意，根据等比数列和等差数列基本量的计算，列出方程，即可求得满足题意的.
【解答过程】（1）设数列的公差为，由，可得，；
因为，故，，
故.
（2），由可得，
解得或，但，故，因为为正整数，故是整数；
设数列中任意一项为，只要证明数列中存在某一项，
使得即可，即方程关于有正整数解即可.
则，，
也即，
若，则，那么，；
若，则（舍）；
若，则（舍）；
若，则为正整数，又因为，故只要考虑时的情况，此时是正整数.
数列中任意一项与数列中的第项相等，故结论成立.
（3）设数列中有三项成等差数列，
则有，设，则，
令，则，，因为，故（舍去负根），
故存在使得中有三项成等差数列.
