专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）
1．数列的概念
数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
7．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有<
，那么称数列{}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.
【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】
【方法点拨】
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特
征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号
之间的规律.
【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式能为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 判断数列的项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.
【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）．
A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（ ）项．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列的通项公式为那么是它的（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项
【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列满足，且，则（ ）
A．4043 B．4044 C．2021 D．2022
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 数列的单调性的判断】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列中， ， ，则（ ）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 数列的周期性】
【方法点拨】
结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.
【例5】（2022·福建·高二期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列满足，，，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．2
【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6 求数列的最大项、最小项】
【方法点拨】
利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.
【例6】（2022·山西·高三期中）已知数列满足，，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项
【变式6-2】（2022·福建省高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）
1．数列的概念
数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
7．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有<
，那么称数列{}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.
【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】
【方法点拨】
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特
征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号
之间的规律.
【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.
【解答过程】解：由题意，
在数列中，
分母是以2为首项，2为公比的等比数列
分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，
∴比例系数为
∴数列的一个通项公式为：
，
故选：C.
【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令，代入各选项直接得出答案.
【解答过程】由题意得，令，
A选项：，不合题意；
B选项：，不合题意；
C选项：，不合题意；
D选项：，符合题意
故选：D.
【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式能为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分母与项数关系是是，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式.
【解答过程】正负相间用表示，∴．
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.
【解答过程】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．
故选：C．
【题型2 判断数列的项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.
【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）．
A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【解题思路】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.
【解答过程】因，因此符合题意的一个通项公式为，
由解得：，
所以是这个数列的第15项.
故选：D.
【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（ ）项．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】利用通项公式直接求解.
【解答过程】令，解得：（舍去）.
故选：B.
【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列的通项公式为那么是它的（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项
【解题思路】由已知条件，根据通项公式求出即可得答案.
【解答过程】因为数列的通项公式为，
令，解得，
所以9是数列的第3项，
故选：C.
【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解题思路】根据数列的通项公式，判断是否存在使得成立，可得答案.
【解答过程】由于数列的通项公式为，
故令，则 ，与 不符，故2不是数列的项；
令，令，令，
即4，8，16是数列的项，
故选:A.
【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案.
【解答过程】由题意得，即
所以数列是以首项为的常数列，
则，得.
故选：A.
【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列满足，且，则（ ）
A．4043 B．4044 C．2021 D．2022
【解题思路】由，可得，即为常数列，进而可得，从而即可求解.
【解答过程】解：因为，所以，
所以，即为常数列，又，
所以，
所以，解得，
故选：A.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用与的关系即得.
【解答过程】①，
当时，
②，
则①－②得，，
故．
当时，，也符合.
故选：D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得.
【解答过程】，
所以，
，
，
累加得，
故选：C.
【题型4 数列的单调性的判断】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列中， ， ，则（ ）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
【解题思路】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与 同号,结合，可判断，即得答案.
【解答过程】由 ，，得 ， ，且可知 ．
再由，两边平方得 ①，
则 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵，∴与 同号,
由 ，可知， ，即 ，
可知数列单调递减．
故选：A．
【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用第项与第项的差来确定数列的单调性即可得到结果.
【解答过程】对于A，，数列为递增数列，A错误；
对于B，，
当时，数列递增；当时，数列递减，B错误；
对于C，，数列为递增数列，C错误；
对于D，，数列为递减数列，D正确.
故选：D.
【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【解题思路】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【解答过程】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】仿照分段函数的单调性求解，同时注意．
【解答过程】由题意，
解得．
故选：C．
【题型5 数列的周期性】
【方法点拨】
结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.
【例5】（2022·福建·高二期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】根据数列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.
【解答过程】由题意可得，，∴，，
，,
∴该数列是周期数列，周期,
又 ，∴ ，
故选：B．
【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列满足，，，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．2
【解题思路】由得，依次列举可得数列是以6为最小正周期的数列，则.
【解答过程】由得，故有
，，
，
，
，
，
，
，
故数列是以6为最小正周期的数列，由得.
故选：C.
【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据递推公式可验证知数列是周期为的周期数列，则由可求得结果.
【解答过程】，，，
，，……，
以此类推，可知数列是周期为的周期数列，
.
故选：A.
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解.
【解答过程】由可知，得
因为,
所以，，，，，
所以是以3为周期的数列，则
故选：A.
【题型6 求数列的最大项、最小项】
【方法点拨】
利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.
【例6】（2022·山西·高三期中）已知数列满足，，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解题思路】根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断和选择.
【解答过程】因为，，所以当时，；
当时，，故 ，
因为函数在区间上单调递减，
所以当，时，是递减数列.
又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.
故选：A.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项
【解题思路】作商当时，；反之.解出的值即可.
【解答过程】因为令，得，解得．
所以当时，，即，
当时，，即，因此当时，最大．
故选：C.
【变式6-2】（2022·福建省高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【解题思路】用不等式法求出最大项的项数.
【解答过程】假设第n项最大（），
有，
又，所以，即数列的最大项为第7项.
故选：D.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解题思路】先对数列的通项公式进行变形，然后判断单调性，结合单调性可求最值.
【解答过程】，
∵，，
∴当时，数列单调递减，且；
当时，数列单调递减，且.
∴在数列的前50项中，最小项和最大项分别是，.
故选：D.
