专题8.4 一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·天津津南·天津市模拟预测）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系
2．（3分）（2023春·河南·高三阶段练习）经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x（单位：千万元）的关系，对同类型10家企业的相关数据（）进行整理，并得到如下散点图：
由此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2023春·湖南长沙·高三阶段练习）据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
4．（3分）（2023·吉林通化·校考一模）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
苗木长度x（cm） 38 48 58 68 78 88
售价y（元） 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8
若苗木长度x（cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（ ）
A．148cm B．150cm C．152cm D．154cm
5．（3分）（2022春·河南郑州·高二阶段练习）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 6 5 6 8
若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（ ）A．x增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度
B．x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C．当时，y的预测值为8.1万盒
D．线性回归直线，经过点
6．（3分）（2023·河南·高三阶段练习）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月 1 2 3
繁殖数量
A．百只 B．百只 C．百只 D．百只
7．（3分）（2022春·湖南益阳·高二期末）设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
A．32 B．63 C．64 D．128
8．（3分）（2022·高二单元测试）某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中所含某种营养成分x（单位：克）与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型来拟合y与x的关系，根据以下数据：
营养成分含量x/克 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·山东东营·高三阶段练习）已知变量与具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：
2 4 7 10 15 22
8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
若关于的线性回归方程为，则（ ）
A．变量与之间正相关 B．
C． D．当时，的估计值为15.6
10．（4分）（2023秋·江苏无锡·高三期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本的残差为
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程可知，样本点的残差为
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好
12．（4分）（2023·重庆渝中·高三阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
x 1 2 3 4 5
y 10 m 6 n 2
（附：，）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：
X 10 11.3 11.8 12.5 13
Y 1 2 3 4 5
U 10 11.3 11.8 12.5 13
V 5 4 3 2 1
用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是 ．
14．（4分）（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
施肥量x/kg 20 40 50 60 80
产量y/kg 600 800 1200 1000 1400
已知y与x满足线性回归方程，则当施肥量为80kg时，残差为 .
15．（4分）（2022·高二课时练习）年初以来， 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月来 手机的实际销量，如下表所示：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份编号
销量/千部
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法：
；②与正相关；③与的相关系数为负数；④月份该手机商城的 手机销量约为万部．
其中正确的是 ．（把正确的序号填在横线上）
16．（4分）（2023·高二单元测试）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为
.
参考数据：设，，，
参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·山东·高二阶段练习）某大学一男生统计了本宿舍7名舍友的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的数据，见下表：
姓名 吕聪 梁力 李泽文 张天哲 王硕 武勇 商宝清
身高 161 175 169 178 173 168 180
体重 52 62 54 70 66 57 73
(1)若根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，求；
(2)为判断（1）中回归方程的拟合效果，请求出相关指数的值（保留两位小数）．
参考公式及数据：，．
18．（6分）（2023·四川南充·四川省模拟预测）南中数学教研室对高二学生的记忆力 和判断力进行统计分析， 所得数据如下表所示：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出 关于的线性回归方程
(3)根据 （2） 中求出的线性回归方程， 预测记忆力为 11 的学生的判断力．
(参考公式：)
19．（8分）（2022春·陕西西安·高二期中）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告“经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，……，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.”从已经脱贫的家庭中随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，.（是求和符号）
(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程.
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附.线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为.
20．（8分）（2023秋·四川绵阳·高二期末）如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系 （若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.
相关公式：
回归方程中，，.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析.
22．（8分）（2022春·全国·高三专题练习）某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
（1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为)专题8.4 一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·天津津南·天津市模拟预测）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系
【解题思路】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；
对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；
对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；
对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.
故选：C.
2．（3分）（2023春·河南·高三阶段练习）经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x（单位：千万元）的关系，对同类型10家企业的相关数据（）进行整理，并得到如下散点图：
由此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据散点图的变化趋势，分析各选项中方程表示的曲线的特点，看是否合乎题意，即可得答案.
【解答过程】根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，
A中表示直线，变化趋势是定的，不合题意；
B中表示的曲线既有上升又有下降部分，不合题意；
C中表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较快，曲线较“陡峭”，不合题意，
D中表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较平缓，合乎题意，
故选：D．
3．（3分）（2023春·湖南长沙·高三阶段练习）据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
【解题思路】根据直线的斜率大小判断A；求出判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.
【解答过程】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速度变慢，A错误；
对于B，由及得：，因为去除的两个样本点和，
并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，
因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B错误；
对于C，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B知，，解得，
所以重新求得的回归方程为，C正确；
对于D，由选项C知，，当时，，则，
因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D错误.
故选：C.
4．（3分）（2023·吉林通化·校考一模）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
苗木长度x（cm） 38 48 58 68 78 88
售价y（元） 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8
若苗木长度x（cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（ ）
A．148cm B．150cm C．152cm D．154cm
【解题思路】根据表格中的数据求出样本点中心，根据回归直线经过样本点中心求出，再将代入回归方程可求出结果.
【解答过程】因为 ，
，
所以样本点中心为，
又回归直线经过，
所以，所以，
所以回归方程为，
当元时，厘米.
则当售价大约为元时，苗木长度大约为150厘米.
故选：B.
5．（3分）（2022春·河南郑州·高二阶段练习）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 6 5 6 8
若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（ ）A．x增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度
B．x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C．当时，y的预测值为8.1万盒
D．线性回归直线，经过点
【解题思路】首先求得平均数，代入求得回归直线方程，再对选项再对选项逐一判断，即可得出结果.
【解答过程】，，
代入线性回归方程中得，，
故线性回归方程为，
对于A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加0.7个单位长度，A错误；
对于B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少0.7个单位长度，B错误；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：线性回归直线必经过点，故D错误.
故选：C.
6．（3分）（2023·河南·高三阶段练习）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月 1 2 3
繁殖数量
A．百只 B．百只 C．百只 D．百只
【解题思路】将回归模型两边取自然对数，并令，由此构建一个u与t的回归直线模型，根据回归直线必过中心点，可求出a值，利用所得回归模型进行预测..
【解答过程】由题意，两边取自然对数得，
令，则．
，，
∵回归直线必过样本点的中心，∴，
得，∴，则．
当时，．
故选：C.
7．（3分）（2022春·湖南益阳·高二期末）设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
A．32 B．63 C．64 D．128
【解题思路】先通过换元把非线性回归方程转化为线性回归直线方程，从而可以利用公式求系数的值，然后把的值代入即可得到答案.
【解答过程】令，则 ，
，，
所以 ，，
所以，即，
所以当时， .
故选：C.
8．（3分）（2022·高二单元测试）某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中所含某种营养成分x（单位：克）与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型来拟合y与x的关系，根据以下数据：
营养成分含量x/克 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可将函数模型化简后两边同时取对数可得，从而可计算出的平均数，根据线性回归方程经过样本中心的性质进行逐项检验即可.
【解答过程】解析：由得，两边同时取对数，得；
由表中数据可知，的平均数=.
对于A，化简变形可得，两边同时取对数可得，将代入可得，，与题中数据吻合；故选项A正确；
对于B，化简变形可得，两边同时取对数可得，，将代入可得，所以选项B错误；
对于C，，两边同时取对数可得，而表中所给数据为的相关量，所以C错误；
对于D，，两边同时取对数可得，而表中所给数据为的相关量，所以D错误．
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·山东东营·高三阶段练习）已知变量与具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：
2 4 7 10 15 22
8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
若关于的线性回归方程为，则（ ）
A．变量与之间正相关 B．
C． D．当时，的估计值为15.6
【解题思路】根据回归方程可判断选项A，由得到的6组数据可计算样本点中心，可判断B，再根据回归直线过样本点中心可判断C，进而可判断D.
【解答过程】由关于的线性回归方程为，可知变量与之间正相关，即A正确；
由表中数据可知
，故B正确；
因此样本点中心为，将其代入回归方程可得，故C不正确；
因此，关于的线性回归方程为，将代入回归方程可得，，
即当时，的估计值为16；所以D错误；
故选：AB.
10．（4分）（2023秋·江苏无锡·高三期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本的残差为
【解题思路】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D.
【解答过程】，x新平均数，．
y新平均数，∴，∴．
新的线性回归方程，x，y具有正相关关系，A对．
新的线性回归方程：，B对．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
，，，D对．
故选：ABD．
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程可知，样本点的残差为
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好
【解题思路】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项.
【解答过程】对于A项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A项正确；
对于B项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B项错误；
对于C项，当时，，又由散点图知观测值为，所以样本点的残差为，故C项正确；
对于D项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程的预报效果更好，故D项正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2023·重庆渝中·高三阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
x 1 2 3 4 5
y 10 m 6 n 2
（附：，）
A． B． C． D．
【解题思路】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当、时的、相关系数(r)和方差()，进而比较大小即可.
【解答过程】当时，，解得，
则 ，
，，
，
，
所以，
得，
，
；
同理，当时，，，
所以，
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：
X 10 11.3 11.8 12.5 13
Y 1 2 3 4 5
U 10 11.3 11.8 12.5 13
V 5 4 3 2 1
用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是 ．
【解题思路】根据回归系数几何意义得．
【解答过程】因为Y与X之间正增长，所以
因为V与U之间负增长，所以
因此，
故答案为：．
14．（4分）（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
施肥量x/kg 20 40 50 60 80
产量y/kg 600 800 1200 1000 1400
已知y与x满足线性回归方程，则当施肥量为80kg时，残差为 10 .
【解题思路】根据回归直线方程的特点，计算样本中心值，即可求得，得回归方程后进行估计可得，当时，估计值，从而可得残差的数值.
【解答过程】由题意得，，由回归直线过样本点的中心，所以，解得，所以，
则当时，，故残差为.
故答案为：10.
15．（4分）（2022·高二课时练习）年初以来， 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月来 手机的实际销量，如下表所示：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份编号
销量/千部
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法：
；②与正相关；③与的相关系数为负数；④月份该手机商城的 手机销量约为万部．
其中正确的是 ①② ．（把正确的序号填在横线上）
【解题思路】将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得值；由回归方程中的的系数为正可知，与正相关；将代入，可得7月份该手机商城的 手机销量．
【解答过程】由表中数据，计算得，∴，
于是得，解得，则①正确，
由回归方程中的的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，则②正确，③错误，
月份时，，（万部），则④错误，
故答案为：①②.
16．（4分）（2023·高二单元测试）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为
.
参考数据：设，，，
参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【解题思路】由题可得，然后根据最小二乘法即得.
【解答过程】由，可得，
设，则，
因为，，
，
所以，
，
所以，
所以.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·山东·高二阶段练习）某大学一男生统计了本宿舍7名舍友的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的数据，见下表：
姓名 吕聪 梁力 李泽文 张天哲 王硕 武勇 商宝清
身高 161 175 169 178 173 168 180
体重 52 62 54 70 66 57 73
(1)若根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，求；
(2)为判断（1）中回归方程的拟合效果，请求出相关指数的值（保留两位小数）．
参考公式及数据：，．
【解题思路】（1）利用回归直线方程过样本点的中心，根据表格，分别求出，，代入回归方程即可求解.
（2）根据表中数据，分别求出、的值，进而代入公式求解即可.
【解答过程】(1)
由题知，，
，
将代入回归方程，得．
(2)
，
因为，所以，
，
所以，
故相关指数的值约为．
18．（6分）（2023·四川南充·四川省模拟预测）南中数学教研室对高二学生的记忆力 和判断力进行统计分析， 所得数据如下表所示：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出 关于的线性回归方程
(3)根据 （2） 中求出的线性回归方程， 预测记忆力为 11 的学生的判断力．
(参考公式：)
【解题思路】（1）根据表格直接画出散点图即可；
（2）根据公式分别计算出，即可得到线性回归防尘；
（3）根据（2）中的回归方程，将代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）散点图如下：
（2），
，
，
，
则，
故线性回归方程为
（3）由 （2）中线性回归方程可知， 当时，，
所以预测记忆力为11的同学的判断力约为.
19．（8分）（2022春·陕西西安·高二期中）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告“经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，……，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.”从已经脱贫的家庭中随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，.（是求和符号）
(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程.
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附.线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为.
【解题思路】（1）结合已知数据，根据公式计算即可；
（2）根据（1）中的回归方程计算的情况即可
【解答过程】（1）解：由题知，，
所以，由已知数据得，
，
所以，家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程
（2）解：因为家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程
所以，该居民区某家庭月收入为7千元，即时，千元，
所以，根据回归方程，可预测该家庭的月储蓄千元.
20．（8分）（2023秋·四川绵阳·高二期末）如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系 （若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.
相关公式：
回归方程中，，.
【解题思路】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．
【解答过程】（1），，
因为，，，
所以，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）∵，
，，
∴.
∴关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程可得，，
∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析.
【解题思路】（1）代入回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据公式计算；
（3）根据计算的的大小进行分析．
【解答过程】（1）
作出散点图如下：
，
．
．
．
，．
关于的线性回归方程是
（2）
，，，，，．
．
．
．
（3）
，非常接近1，故用回归方程模拟，间的关系的拟合效果非常好．
22．（8分）（2022春·全国·高三专题练习）某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
（1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为)
【解题思路】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型；
（2）由,得，再利用最小二乘法求出，从而得到关于的回归方程；
（3）利用导数求得当时，取得最大值.
【解答过程】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型
若选择，则，此时当接近于0时，必小于0，
故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型
（2）由,得，故与符合线性回归，.
，
，即，
关于的回归方程.
（3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，
由(2)可知人均产能函数，
，
时，，时，
时，单调递增，时，单调递减，
当时，人均产能函数达到最大值，
因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大，
对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，
下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.
