专题8.6 列联表与独立性检验（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春·山西太原·高二期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图 B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）如表是列联表，则表中的 的值分别为（ ）
合计
8 35
11 34 45
合计 42 80
A．27 38 B．28 38 C．27 37 D．28 37
3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
4．（3分）（2022春·广西河池·高二期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．（3分）（2022春·辽宁丹东·高二期末）利用对随机事件A与B的独立性检验时，提取了关于A，B的如下四组2×2列表，其中认为A与B相互独立的把握性最大的是（ ）
附：
A．
A
B 10 20
30 40
B．
A
B 10 40
20 30
C．
A
B 100 200
300 400
D．
A
B 100 400
200 300
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
已知，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
则以下结论正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”
D．根据小概率值的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”
7．（3分）（2022春·福建莆田·高二期末）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．25 B．45 C．60 D．75
8．（3分）（2022·高二课时练习）某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二课时练习）为了调查，两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行了动物试验.已知参与两种药物试验的动物的品种，状态，数量均相同，图1是药物试验结果对应的等高堆积条形图，图2是药物试验结果对应的等高堆积条形图，则（ ）
A．服用药物的动物的患病比例低于未服用药物的动物的患病比例
B．服用药物对预防该疾病没有效果
C．在对药物的试验中，患病动物的数量约占参与药物试验动物总数量的60%
D．药物比药物预防该种疾病的效果好
10．（4分）（2023·云南红河·统考一模）某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布和，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 37 m 50
女生 n 32 50
合计 55 45 100
参考公式：
α 0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164
C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9
D．依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联
11．（4分）（2022秋·广东汕头·高三期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：
体育 性别 合计
男性 女性
喜欢 280 p 280＋p
不喜欢 q 120 120＋q
合计 280＋q 120＋p 400＋p＋q
附：，．
0.05 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼
C．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异
D．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异
12．（4分）（2022·山东淄博·模拟预测）某工厂有25周岁及以上工人300名，25周岁以下工人200名．统计了他们某日产品的生产件数，然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组，再分别将两组工人的日生产件数分成5组“，，，，”加以汇总，得到如图所示的频率分布直方图．规定生产件数不少于80件者为“生产能手”，零假设：生产能手与工人所在的年龄组无关．（ ）
注：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间内
B．日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”
C．从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为
D．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·上海·高三专题练习）下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表
晚上 白天 总计
男婴 45 A B
女婴 E 35 C
总计 98 D 180
那么 ．
14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有 ．
①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
③若被调查的男女生均为100人，则可以认为喜欢登山和性别有关
④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关
15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
总计
15
50
总计 20 45 65
其中，均为大于5的整数，则 时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：
已知在样本数据中，有60名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有 的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高二专题练习）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.
18．（6分）（2022·高二课时练习）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2020级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：
根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并完善等高条形图．
选物理 不选物理 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀 260
总计 600 1000
19．（8分）（2023·陕西咸阳·校考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
平均每天体育锻炼时间（分钟）
人数 40 72 88 100 80 20
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.
(1)完成下面2列联表，试问：能否有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关
锻炼达标生 锻炼不达标 合计
男
女
合计 400
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
(2)在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.
20．（8分）（2022春·北京朝阳·高二期中）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
(1)求列联表中的数据，，，的值；
(2)能否有把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求的分布列和期望．
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
21．（8分）（2022春·全国·高二期末）2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；
(2)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计
捐款超过500元 30
捐款低于500元 6
合计
(3)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率.
附：临界值表
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
参考公式：，.
22．（8分）（2022秋·福建福州·高三阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024专题8.6 列联表与独立性检验（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春·山西太原·高二期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图 B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表
【解题思路】根据这些统计量的定义逐个分析判断.
【解答过程】散点图是研究两个变量间的关系，
列联表是研究两个分类变量的，
残差图是体现预报变量与实际值间的差距，
等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，
故选：D.
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）如表是列联表，则表中的 的值分别为（ ）
合计
8 35
11 34 45
合计 42 80
A．27 38 B．28 38 C．27 37 D．28 37
【解题思路】根据列联表的数据，补全表格，即可判断选项.
【解答过程】解：，.
故选：A.
3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
【解题思路】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.
【解答过程】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；
对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；
对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；
对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.
故选：C.
4．（3分）（2022春·广西河池·高二期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【解题思路】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.
【解答过程】对于A， ，
对于B，，
对于C，，
对于D，
显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,
故选:B.
5．（3分）（2022春·辽宁丹东·高二期末）利用对随机事件A与B的独立性检验时，提取了关于A，B的如下四组2×2列表，其中认为A与B相互独立的把握性最大的是（ ）
附：
A．
A
B 10 20
30 40
B．
A
B 10 40
20 30
C．
A
B 100 200
300 400
D．
A
B 100 400
200 300
【解题思路】计算出卡方，再根据独立性检验的思想判断即可；
【解答过程】解：对于A：，
对于B：，
对于C：，
对于D：，
因为卡方的值越大，两个事件的相关性就越大，所以认为与相互独立把握最大的为A选项；
故选：A.
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
已知，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
则以下结论正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”
D．根据小概率值的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”
【解题思路】由题计算出，与观测值比较即可求解.
【解答过程】由题知
因为，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.
故选：A.
7．（3分）（2022春·福建莆田·高二期末）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．25 B．45 C．60 D．75
【解题思路】设男生的人数为（），即可得到列联表，计算出卡方，从而得到不等式，解得即可；
【解答过程】解：设男生的人数为（），根据题意列出列联表如下所示：
单位：人
喜爱度 性别 合计
男生 女生
喜欢航天 4n 3n 7n
不喜欢航天 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则，
∵依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴，
即，解得，∴，又，
∴结合选项知B，C，D正确．
故选：A．
8．（3分）（2022·高二课时练习）某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【解题思路】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算,结合表中的数据判断即可.
【解答过程】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为,故经常进行体育锻炼的学生人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为,女生有.列出列联表有：
男生 女生 总计
经常锻炼 110 40 150
不经常锻炼 30 20 50
总计 140 60 200
故,因为.
故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二课时练习）为了调查，两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行了动物试验.已知参与两种药物试验的动物的品种，状态，数量均相同，图1是药物试验结果对应的等高堆积条形图，图2是药物试验结果对应的等高堆积条形图，则（ ）
A．服用药物的动物的患病比例低于未服用药物的动物的患病比例
B．服用药物对预防该疾病没有效果
C．在对药物的试验中，患病动物的数量约占参与药物试验动物总数量的60%
D．药物比药物预防该种疾病的效果好
【解题思路】根据两个等高堆积条形图，逐个分析选项即可判断出结论.
【解答过程】根据题中两组等高堆积条形图，可知服用药物的动物的患病比例低于未服用药物的动物的患病比例，所以正确；
服用药物未患病的动物的频率明显大于未服用药物的，所以可以认为服用药物对预防该疾病有一定效果，所以B不正确；
在对药物的试验中，患病动物的数量占参与药物试验动物总数量的比例为，所以C不正确；
药物试验结果对应的等高堆积条形图显示未服用药与服用药动物的患病数量的差异较药物试验的大，所以药物比药物预防该种疾病的效果好，所以D正确.
故选：AD.
10．（4分）（2023·云南红河·统考一模）某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布和，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 37 m 50
女生 n 32 50
合计 55 45 100
参考公式：
α 0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164
C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9
D．依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联
【解题思路】A选项，根据列联表中数据分析求出，A正确；BC选项，由男、女身高分别近似服从正态分布和，得到平均数和标准差；D选项，计算出卡方，与6.635比较大小后得到结论.
【解答过程】对于A．因为，，算得，，故A正确：
对于B，在正态分布中，μ约为平均数，所以男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164，故B正确；
对于C，在正态分布中，为方差，为标准差，男生身高的标准差为，女生身高的标准差为3，故C不正确；
对于D，由，
依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联，故D正确．
故选：ABD．
11．（4分）（2022秋·广东汕头·高三期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：
体育 性别 合计
男性 女性
喜欢 280 p 280＋p
不喜欢 q 120 120＋q
合计 280＋q 120＋p 400＋p＋q
附：，．
0.05 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼
C．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异
D．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异
【解题思路】根据题意求出q、p，补全列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.
【解答过程】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，
女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，
则，，解得，故A正确；
B：补全列联表如下：
男性 女性 合计
喜欢 280 180 460
不喜欢 120 120 240
合计 400 300 700
所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为，故B错误；
C：，
而，
所以根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异
D：由选项C知，根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·山东淄博·模拟预测）某工厂有25周岁及以上工人300名，25周岁以下工人200名．统计了他们某日产品的生产件数，然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组，再分别将两组工人的日生产件数分成5组“，，，，”加以汇总，得到如图所示的频率分布直方图．规定生产件数不少于80件者为“生产能手”，零假设：生产能手与工人所在的年龄组无关．（ ）
注：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间内
B．日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”
C．从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为
D．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立
【解题思路】A选项，利用分位数的计算公式进行求解；B选项，分别计算出25周岁及以上组的平均数和25周岁以下组的平均数，比较得到结论；C选项，利用组合知识求解古典概型的概率；D选项，计算出卡方，与7.879比较得到结论.
【解答过程】该工厂工人一共有200+300=500人，则，则选取第125名和126名的平均数作为25%分位数，
其中25周岁及以上组在区间的人数为，
25周岁以下组在区间的人数为，
25周岁及以上组在区间的人数为，
25周岁以下组在区间的人数为，
因为，，
故该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间内，A正确；
25周岁及以上组的平均数为，
25周岁以下组的平均数为，
因为，所以日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”，B正确；
生产不足60件的工人一共有25人，其中25周岁及以上组有15人，25周岁以下组有10人，所以从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为，故C错误；
填写列联表，如下：
生产能手 非生产能手 总计
25周岁及以上组 75 225 300
25周岁以下组 75 125 200
合计 150 350 500
则，
故可以推断不成立，D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·上海·高三专题练习）下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表
晚上 白天 总计
男婴 45 A B
女婴 E 35 C
总计 98 D 180
那么 82 ．
【解题思路】根据列联表，可得方程，解之即可得到结论．
【解答过程】解：由题意，，，，，
，，，，
故答案为：82.
14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有 ①③ ．
①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
③若被调查的男女生均为100人，则可以认为喜欢登山和性别有关
④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关
【解题思路】由等高堆积条形统计图可判断A、B；利用独立性检验，计算出，可判断C、D.
【解答过程】因为被调查的男女生人数相同，由等高堆积条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢登山的女生占30%，所以A正确，B错误;
设被调查的男女生人数均为n，则由等高堆积条形统计图可得列联表如下
男 女 合计
喜欢 0.8n 0.3n 1.1n
不喜欢 0.2n 0.7n 0.9n
合计 n n 2n
由公式可得：.
当时，，可以判断喜欢登山和性别有关，故C正确；
而，所以的值与n的取值有关.故D错误.
故答案为：①③.
15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
总计
15
50
总计 20 45 65
其中，均为大于5的整数，则 9 时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
【解题思路】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值.
【解答过程】解：由题意知：,
则，
解得：或，
因为：且，，
综上得：，，
所以：.
故答案为：9.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：
已知在样本数据中，有60名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有 95% 的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解题思路】根据频率分布直方图可得男女同学每周锻炼时间少于4小时和不少于4小时的列联表，计算，根据临界值作出结论即可.
【解答过程】由题意，得从5000名学生中抽取一个容量为300的样本，其中男生、女生各抽取的人数为，，由频率分布直方图，可知每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数的频率为0.75，所以在300名学生中每周平均体育锻炼时间不少于的人数为，又在每周平均体育锻炼时间不少于的学生中，女生有60名，所以男生有（名），可得如下列联表：
性别 体育锻炼情况 男 女 总计
每周平均体育锻炼时间少于 45 30 75
每周平均体育锻炼时间不少于 165 60 225
总计 210 90 300
由列联表可得，因为，
所以有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
故答案为：95%.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高二专题练习）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.
【解题思路】（1）根据2×2的列联表要求列表.
（2）根据列联表中的数据,分别算出女性、男性中休息方式为看电视的频率即可判断.
【解答过程】（1）2×2的列联表：
看电视 运动 合计
女 30 20 50
男 20 40 60
合计 50 60 110
（2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为，男性中休息方式为看电视的频率为，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系.
18．（6分）（2022·高二课时练习）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2020级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：
根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并完善等高条形图．
选物理 不选物理 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀 260
总计 600 1000
【解题思路】根据列联表所给的数据和等高条形图即可完成列联表，进而完善等高条形图即可.
【解答过程】根据题意填写列联表如下：
选物理 不选物理 总计
数学成绩优秀 420 320 740
数学成绩不优秀 180 80 260
总计 600 400 1000
等高条形图，如图所示：
19．（8分）（2023·陕西咸阳·校考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
平均每天体育锻炼时间（分钟）
人数 40 72 88 100 80 20
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.
(1)完成下面2列联表，试问：能否有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关
锻炼达标生 锻炼不达标 合计
男
女
合计 400
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
(2)在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.
【解题思路】（1）利用题意完成列联表，然后计算，与临界值进行比较即可；
（2）根据分层抽样抽取男生3人，女生2人，然后列举出抽取两人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解.
【解答过程】（1）
锻炼达标生 锻炼不达标 合计
男 60 120 180
女 40 180 220
合计 100 300 400
，
故有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关.
（2）“锻炼达标生”中男女人数之比为，故抽取的男生有3人，女生有2人，
用表示男生，用表示女生，基本事件有共10个，
其中至少有一名女生的事件有共7个，
故所求概率为.
20．（8分）（2022春·北京朝阳·高二期中）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
(1)求列联表中的数据，，，的值；
(2)能否有把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求的分布列和期望．
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【解题思路】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及列联表之间的数据关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（3）通过比例可知抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，则的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答过程】（1）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
，解得，
则，，．
（2），
没有把握认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，
故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，
从中抽取3只，
则的可能取值为1，2，3，
，，，
故的分布列为：
1 2 3
故期望为．
21．（8分）（2022春·全国·高二期末）2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；
(2)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计
捐款超过500元 30
捐款低于500元 6
合计
(3)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率.
附：临界值表
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
参考公式：，.
【解题思路】(1)利用频率分布直方图求平均数的方法计算作答.
(2)完善列联表，计算观测值，再与临界值表比对作答.
(3)利用几何概型求出李师傅比张师傅早到小区的概率，再利用独立重复试验的概率公式计算作答.
【解答过程】(1)
由频率分布直方图知，数据落在
的频率依次为：0.3，0.4，0.18，0.06，0.06，
于是得，
所以小区平均每户居民的平均损失3360元.
(2)
由(1)知，经济损失4000元以下占70%，50居民中有35户，
列联表如下：
经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计
捐款超过500元 30 9 39
捐款低于500元 5 6 11
合计 35 15 50
则的观测值为，
所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.
(3)
设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则可视为平面内的点，
试验的全部结果所构成的区域为，其面积为，如图，
事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域，图中阴影部分，其面积，
于是得，
所以连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率为.
22．（8分）（2022秋·福建福州·高三阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【解题思路】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
