大庆市让胡路区2023级高一上学期期末考试
数学试题
试题说明： 1.本试题满分150分，答题时间120分钟；
2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题部分
一．单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1.若集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知为第三象限角，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
3.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
5.定义新运算“”：当时，；当时，，则函数，的最大值等于( )
A. B. C. D.
6.定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围( )
A. B.
C. D.
8.已知函数若关于的方程有个根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二．多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列命题中，是真命题的是( )
A. ， B.
C. D.
10.已知幂函数的图象与轴和轴都没有交点，且关于轴对称，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
12.已知函数，若，则实数可以取的值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷非选择题部分
三．填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13.若正数，满足，则的最小值为________．
14.已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有______个．
15.鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，它的特点是，在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为________．
16.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______．
四．解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.分已知全集为实数集，集合，
分别求，，；
已知集合，若，求实数的取值范围．
18.分已知是定义在上的奇函数，当时，．
求当时的解析式；求不等式的解集．
19.分如图所示，角的终边与单位圆交与点，点是射线上异于点的一个动点．
1求和的值，并写出点的坐标；
2若将角的终边逆时针旋转至的位置，设与单位圆交与，若的坐标，求和的值．
20.分已知．
若，求的取值范围；
若关于的方程有解，求实数的取值范围．
21.分近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内以天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足，日销售量单位：件与时间单位：天的部分数据如下表所示：
给出以下四个函数模型：
；；；．
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
设该工艺品的日销售收入为单位：元，求的最小值．
22.分已知是定义在上的奇函数，其中，，且．
求，的值
判断在上的单调性，并用单调性的定义证明
设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．大庆市让胡路区2023级高一上学期期末考试
数学答案
一．选择题（60分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二．填空题（20分）
13. 14. 15. 16.
三．解答题（70分）
17.解：全集为实数集，集合，，
，，故得集合，
，故得集合，，
，；；
Ⅱ集合，，
当时，满足题意，此时，
当时，要使成立，
则需，即，
可得的取值范围是．
18.解：当时，，
当时，，，
又是上的奇函数，
，
，
即时，；
当时，不等式可化为，，显然成立；
当时，是奇函数，成立；
当时，不等式可化为，，，得．
综上可知，不等式的解集为．
19.解：Ⅰ点是射线上异于点的一个动点，
，
的坐标为
Ⅱ由题知角的终边逆时针旋转至得到的角为，
在单位圆上，且坐标为
，
，
20.解：函数，定义域为，
则，
由，
可得，解得，
所以的取值范围为；
方程有解等价于有解，
令
，
因为，当且仅当时取等号，
则，，
故，函数的值域为
所以实数的取值范围为．
21.解：由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而；
；都是单调函数，所以选择模型：，
由，可得，解得，
由，解得，，
所以日销售量与时间的变化的关系式为．
由知：
所以
即
当，时，
由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值．
22.解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
又因为，
所以，解得
由得，在上单调递减．
证明如下：
设，则，
因为，所以，，，
所以在上单调递减．
由可知在上单调递减，
所以，，
记在区间内的值域为
当时，在上单调递减，则，，
得在区间内的值域为．
因为，所以对任意的，总存在，使得成立
当时，，在上单调递减，则，，得在区间内的值域为．
因为，所以对任意的，总存在，使得成立．
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，得在区间内的值域为
，，所以无解
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，得在区间内的值域为不符合题意．
当时，，
易得在上单调递减，，，
故在上的值域为，且，故A，显然成立．
综上，的取值范围为．
