2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之分式方程（含答案）

一(9) 定义“新方法”题型之分式方程
★ 分式方程 ★
【范例详解】
例．对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b，这里等式右边是实数运算．例如：1 3．则
方程x （﹣2）1的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【解析】新定义运算题型，理解及类比新运算的算法是解题关键，“ ”表示的意义或算法是：符号前的数与符号后
的数的平方的差的倒数，故根据题意，得1，即1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），
解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．
【巩固练习】
1.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式。如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式。例如，分式,是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和。例如：==1+
(1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值。
2．阅读材料：一般情形下等式+＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，+＝1
成立，我们称（2，2）是使+＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：
（1）数对（，4），（1，1）中，使+＝1成立的“神奇数对”是　 　；
（2）若（5﹣t，5+t）是使+＝1成立的“神奇数对”，求t的值；
（3）若（m，n）是使+＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．
3.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为________．
4.按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
5.符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定
求=中的x值.
6.定义a b＝2a+，则方程3 x＝4 2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7.阅读材料，并回答问题.
方程的解为x1=2,x2=；方程的解为x1=3,x2=；方程的解为x1=4,x2=；
(1)观察上述方程，则关于x的方程的解为________________；
(2)根据上述规律，则关于x的方程的解为________________；
(3)在解方程可转化成的形式，请按要求写出变形求解的过程；
8.用你发现的规律解答下列问题.
、、…
(1)计算=___________；
(2)探究=________;(用含n的式子表示)
(3)若的值为，求n的值.
9.对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号Min{a,b}表示a,b中的较小的值,如Min{2,4}=2，按照这个规定，方程Min{, }=的解为______
10.阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：
解：设y=,则原方程化为：y=0,
方程两边同时乘以y得：y2-4=0，解得y=±2，经检验：y=±2是方程y=0的解.
∴当y=2时，=2,解得x=-1;当y=-2时，=-2,解得x=;经检验：x=-1或x=都是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=-1或x=上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：模仿上述方法解方程：
11.定义新运算：对于任意实数a,b(a≠0)都有a#b=，如2#1=，
（1）求4#5的值；（2）若x#(x+2)=-5，求x的值；
12.分式可以拆分成两个分式之差的形式，即，
请利用该材料计算：
【参考答案】
1.【解析】理解通过分离常数法将分式化成一个整式与一个真分式的和，是解题关键
解：（1）
（2）,∵的值为正整数，∴>0，x-3>0,∴x-3=1或x-3=3或x-3=9,∴x=-4或x=6或x=12.
2．【解析】考查分式方程在新定义习题和整式化简求值中的应用，正确按定义列式，是解题关键。
(1)按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可；
解：∵，∴（，4）是使+＝1成立的“神奇数对”．∵≠1，∴（1，1）不是是使+＝1成立的“神奇数对”．，答案是（，4）
(2)根据题意得关于t的分式方程，解方程即可；
解：若(5-t,5+t) 是使+＝1成立的“神奇数对”,则+＝1，解得t=,经检验，t=是原方程的解，∴t的值为
(3)根据已知条件，先将m和n用含a,b,c的式子表示，再得出m和n的等式，则可得出a,b,c的等式，通过配方求最值。
解：∵a=b+m,b=c+n,∴m=a-b,n=b-c,由题意可得+＝1,∴+＝1,∴b-c+a-b=(a-b)(b-c),∴a-c=(a-b)(b-c),∴(a-c)2-12(a-b)(b-c)=(a-c)2-12(a-c)=(a-c-6)2-36,∵(a-c-6)2≥0,∴(a-c-6)2-36≥36,∴代数式(a-c)2-12(a-b)(b-c)的最小值为36.
3.【解析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
解：∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴，∵即，∴，解得，经检验是方程的解，
4.【解析】∵输出y的值是2，∴上一步计算为或解得（经检验，是原方程的解），或当符合程序判断条件，不符合程序判断条件故答案为：1
5.【解析】方程由定义可得2×，即，化简得：2+1=x-1，解得x=4，经检验，x=4是分式方程的解，∴x=4
6.【解答】根据题中的新定义得：3 x＝2×3+，4 2＝2×4+，∵3 x＝4 2，
∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的根．故选：B．
7.【解析】(1) x1=5,x2=；(2)x1=a,x2=；
(3)解：原方程可变形为：，由以上规律可得y+1=3，y+1=,∴y1=2,y2=；
8.【解析】(1)原式=++++=1-=；
(2)原式=++++=1-=；
(3)解：原式=+ (+ (+== =,∴,解得n=17,经检验，n=17是分式方程的解.
9.【解析】①当时，x>2,方程变形和：，解得x=2，不符合题意；
②当时，x<2,方程变形和：，解得x=0，经检验： x=0是分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=0
10.【解析】原方程可化为，设y=,则原方程化为：y=0,
方程两边同时乘以y得：y2-1=0，解得y=±1，经检验：y=±1是方程y=0的解.
∴当y=1时，=1,解得x=1,该方程无解;当y=-1时，=-1,解得x=;经检验：x=是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=
11.【解析】(1) 4#5=
(2)由题意可得： ，化简得,方程两边乘以x，得x+2=3x，解得x=1，经检验x=1是分式方程的解，∴x=1
12.【解析】
原式=