2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之无理数（含答案）

一(3) 定义新运算题型之无理数
★无理数★
【范例详解】
例.若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣2]＝﹣3等），求[]+[]+…+
[]的值．
【解析】先化简(分母有理化)，再取整，最后利用规律求和；
解：∵，
∴[]=[]=1,∵n是从2开始到2023结束，共有2022个，
∴[]+[]+…+ []＝1+1+…+1＝2022．
【巩固练习】
1．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：a*b，如：3*2＝，那么7*（6*3）
＝ ．
2.在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n）．
已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1 x2+y1 y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量：
①＝（2，1），＝（﹣1，2）； ②＝（，1），＝（1，）；
③＝（﹣，﹣2），＝（+，）； ④＝（π0，2），＝（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）．
3.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
4.“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如，除此之外，我们也可用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如:对于，设，易知，故x>0，由，解得，即，根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A. B. C. D.
5．2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知＜＜，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 　　．
6.《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
7.无理数是无限不循环小数，任何一个无理数都有整数部分和小数部分，如是一个无理数，其整数部分是1，所以可以用-1来表示它的小数部分.阅读以上材料，回答下列问题：
(1)求+3的小数部分；
(2)已知6-的小数部分是x，6+的小数部分是y，且(m+1)2=x+y，请求出满足条件的m的值.
8.我们把形如a(a,b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数
9.对于任意不相等的两个实数a,b，定义一种运算“*”，运算如下：a*b=,如2*3=，
那么-3*(-2)=_____.
10.两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，如与、+1与-1，2+3与2-3等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：=___________;(2)比较与的大小关系；
(3)计算：()()
11. 依据平方根和立方根的定义可给出四次方、五次方根的定义：①若x4=a(a≥0),那么x叫做a的四次方根；②若x5=a，那么x叫做a的五次方根。请依据以上定义，解决下列问题：
(1)求81的四次方根；(2)求-32的五次方根；(3)求下列各式中的x值；①x4=625;②100000x5=243.
12.按如图所示的运算程序计算，若输入的数是6，则输出的结果是_______
13.我们将与称为一对“对偶式”，因为()( )=( )2-()2=a-b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉。如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化。根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)分母有理化的值为______________;
(2)如图所示，数轴上表示1、的点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值.
14.对于任意实数a,b，规定两种运算：a*b=，a○b=,按照上述规则(5*12)+[2○(-8)]=____
15.对于任意的正数a,b定义运算“★”：a★b=则（3★2）×（8★12）的运算结果为_____________.
16.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4,[]=1,现对72进行如下操作：
，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，
①对81只需进行_______次操作后变成1；
②只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的是__________.
17.对于实数a,b，定义min{a,b}的含义为：当ab时，min{a,b}=b，已知min{,a}=a,min{,b}=,且a和b为两个连接正整数，则2a-b的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
18.规定用符号[m]表示一个数m的整数部分，如[]=0,[3.14]=3,按规定[+1]的值为_________
19.若规定：f(x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数)，如f(0.7)=1,f(2.3)=2,f(5)=5,则f(1)+f()+f()+…+f()的值为___________.
20.根据以下程序，当输入x=时，输出结果是_____
【参考答案】
1．【解析】求出6*3＝1，再求出7*1即可．
解：∵6*3＝＝1，∴7*1＝＝，即7*（6*3）＝，
2.【解析】根据向量垂直的定义进行解答．
解：①因为2×（﹣1）+1×2＝0，所以与互相垂直；
②因为×1+1×＝≠0，所以与不互相垂直；
③因为（﹣）（+）+（﹣2）×＝3﹣2﹣1＝0，所以与互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）＝2﹣2＝0，所以与互相垂直．综上所述，①③④互相垂直．
3.【解析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣}=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0时和x≤0时，进而可得答案．
解：min{﹣，﹣}=﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}=1，∴当x＞0时，（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x≤0时，x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
4.【解析】，设，易知，故x<0，由，解得，即，∴原式=,选D.
5．【解析】根据“调日法”逐次进行计算求解．
解：∵＜＜，∴利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：＝，∵
且，∴＜＜，∴再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数为：：＝．
6.【解析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．
解：∵周长为18的三角形的三边满足，设,∴,
解得,a=8,b=6,c=4,
7.【解析】(1)∵2<<3,∴5<<6,即的整数部分为5，∴的小数部分为；
(2)∵4<<5,∴1<<2,10<<11,即的小数部分为x=，的小数部分为y=，∴(m+1)2=,∴m+1=,∴m=0或m=2,故满足条件的m值为0或-2；
8.【解析】，是型无理数，故选C.
9.【解析】-3*(-2)=
10.【解析】(1)
(2)∵, ,∵,∴
(3)原式=()( )=( )( )=2023-2
11.【解析】(1)∵()4=81,∴81的四次方根是；(2) ∵()5=-32,∴-32的五次方根是；
(3)①∵()4=625,∴x=；②∵100000x5=243,∴x5=0.00243,∵0.35=0.00243,∴x=0.3；
12.【解析】由定义可得: 6÷2=3,∵3,∴3,∴(3)(3)=27-16=11,即输出的结果是11.
13.【解析】(1)
(2)∵点B关于点A的对称点为C，∴x=,
∴
14.【解析】由定义规则可得：原式=
15.【解析】由定义规则可知：3★2=，8★12=，
∴（3★2）×（8★12）=()×()=2
16.【解析】（1），故答案是3；
（2），∴最大的是255.
17.【解析】∵min{,a}=a,min{,b}=,∴a<,b>,∵a,b是两个连接的正整数，∴a=5,b=6,
∴2a-b=2×5-6=4，选D.
18.【解析】∵4<<5，∴5<<6，∴[+1]=5.
19.【解析】由运算含义可得：f(1)=1, f()=1, f()=2, f()=2, f()=2, f()=2, f()=3, f()=3, f()=3,∴原式=1+1+2+2+2+2+3+3+3=19.
20.【解析】当x=时，则,结果不大于2，再输入2，则，结果大于2，
则输出结果是.