2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之一元一次方程（含答案）

一(6) 定义“新方法”题型之一元一次方程
★ 一元一次方程 ★
【范例详解】
例.对于实数，定义运算．若，则_____．
【解析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．理解题干中给出的新定义是解题的关键．
解：∵，∴，，
∵，∴，解得，
【巩固练习】
1.对于实数定义运算“※"如下:※例如,5※3=若※则的值为________.
2.若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]=1，[]=3，[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数都满足不等式①，利用这个不等式①，求出满足的所有的解，其所有的解是_______________.
3.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.=x，由0.=0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以l0x﹣x=7，解方程，得x=，于是．得0.=．将0.写成分数的形式是 ．
4.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上
述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝　 　．
5.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
6.定义运算 ，规则是a b=ab-(a+b).(1)求5 7，7 5的值；
(2)求12 (3 4),(12 3) 4的值；
(3)若3 （5 x）=3，求x.
7.按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（ ）个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.规定：*为一种新运算，对任意有理数a,b，有a*b=,若6*x=，试用等式的性质求x的值.
9.a,b,c,d为实数，现规定一种新的运算：,那么当时，x=_______.
10.“△”表示一种运算符号，其意义是a△b=3a-2b,若x△(1△3)=2，则x=______
11.类比推理是一种推理方法，根据两咱事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化为同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，又如：，类比上述方法解决以下问题：
(1)
(2)求解关于x的方法：
12.新定义一种运算“☆”，规定a☆b=ab+a-b，若2☆x=x☆2,则x的值为_______
13.规定：用{m}表示大于 m 的最小整数，例如{} 3，{4} 5，{1.5} 1等；用[m]表示不大于m的最大整数，例如[]3，[2]2，[3.2]4，如果整数 x 满足关系式：3{x}2[x]23，则x ________________.
14.我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b-a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4-2,则该方程2x=4是差解方程，若关于x的一元一次方程3x=m+2是差解方程，则m=_____________
15.阅读下列材料再解方程：我们可以将x+2视为整体，由于绝对值为3的数有两个，所以x+2=3或x+2=-3，解得x=1或x=-5.请按照上面的解法解方程x-.
16.我们把解相同的两个方程称为同解方程，例如方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
（1）若方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；
（2）若关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和=1是同解方程，求k的值。
17.【定义】若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x=-4的解为x=-2，而-2=-4+2，则方程2x=-4为“友好方程”.
【运用】(1)①-2x=4,②3x=-4.5,③三个方程中,为“友好方程”的是________________(填写序号)；
(2)若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值
（3）若关于x的一元一次方程-2x=mn+n(n≠0)是“友好方程”，且它的解为x=n，求m与n的值.
18.对于任意四个有理数a,b,c,d，可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d)，我们规定：(a,b)(c,d)=bc-ad，如(1,2)(3,4)=2×3-1×4=2.根据上述规定解决下列问题：
(1)求(2,-3)(3,-2)；(2)若(-3,2x-1)(1,x+1)=7，求x的值；
(3)当满足等式(-3,2x)(k,x)=5的x是整数时，求整数k的值.
19.已知f(x)是关于字母x的多项式：f(x)=a1xn+a2xn-1+…+an-1x2+anx+c(其中a1,a2,…,an是各项的系数，c是常数项)；我们规定f(x)的伴随多项式是g(x)，且g(x)=na1xn-1+(n-1)a2xn-2+…+2an-1x+an，如f(x)=4x3-3x2+5x-8,则它的伴随多项式g(x)=3×4x2-2×3x+1×5=12x2-6x+5.
请根据上面的材料，完成下列问题：
(1)已知f(x)=x，则它的伴随多项式g(x)=________________;
(2)已知f(x)=3x2-2(7x-1),则它的伴随多项式g(x)=_________;若g(x)=10,求x的值；
(3)已知二次多项式f(x)=(a-3)x2-8x+7，且它的伴随多项式是g(x),若关于x的方程g(x)=-2x有正整数解，求a的整数值；
20.已知当x=-1时，代数式6mx3+2x的值为0，关于y的方程2my+n=5-ny+m的解为y=2.
(1)求mn的值；
(2)若确定[a]表示不超过a的最大整数，如[4.3]=4,请在此规定下求[m-]的值.
【参考答案】
1.【解答】由题意可得，※表示的意义为：,解得x=1
2.【解答】∵对任意的实数都满足不等式,,∴2x-1≤x<2x-1+1,∴03.【解答】设0.=x，则36.=100x，∴100x﹣x=36，解得：x=．
4.【解析】】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
解：根据题意化简＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．
5.【解析】先根据x=2是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
解：∵x=2是关于x的一元一次方程的解，∴，
∴．
6.【解析】(1) 5 7=5×7-(5+7)=23; 7 5=7×5-(7+5)=23;
(2)12 (3 4)=12 (3×4-3-4)=12 5=12×5-(12+5)=43;
(12 3) 4=(12×3-12-3) 4=21 4=21×4-(21+4)=54;
(3) ∵3 (5 x)=3 (5x-x-5)=3 (4x-5)=3(4x-5)-(4x-5+3)=8x-13,∴8x-13=3,∴x=;
7.【解析】由于最后输出的数为656，所以5x+1=656,得x=131>0,5x+1>131,得x=26>0,5x+1=26,得x=5>0,5x+1=5,得x=0.8>0,5x+1=0.8,得x=-0.04<0,不符题意，故x的值可取131、26、5、0.8共4个，故选C.
8.【解析】由定义可得，等号左右两边同时乘以3，得6+2x=2；等式左右两边同时减去6得：2x=-4，等式左右两边同时除以2得：x=-2
9.【解析】由定义可得：2×5-4(1-x)=18，得4x=12，解得x=3.
10.【解析】由定义可得：x△(1△3)=x△(-3)=3x+6=2,解得x=-
11.【解析】(1)原式=
(2)∵，
∴
∴原方程整理得：，解得x=
12.【解析】由定义规则可得：2☆x=2x+2-x=x+2,x☆2=2x+x-2=3x-2,∵2☆x=x☆2,∴x+2=3x-2，解得x=2
13.【解析】由题意可得，求解即可.
解：,解得
14.【解析】由题意可得，方程3x=m+2解为x=m+2-3=m-1，代入方程中可得：3(m-1)=m+2，解得m=
15.【解析】原方程变为，当为非负数时，原方程为，x=6;当为负数时，原方程变为，x=0，又∵x=6时，为正数，∴x=6是原方程的解；∵x=0时，为正数，∴x-为负数，∴x=0不是原方程的解。综上可知原方程的解是x=6.
16.【解析】（1）2x-3=11解得：x=7，由于2x-3=11与4x+5=3k同解，则4x+5=3k中x=7代入方程得4×7+5=3k,解得k=11
(2) 3[x-2(x-)]=4x,解得x=，,解得x=,由于两个方程为同解方程，∴，解得k=
17.【解析】（1）①-2x=4,解得：x=-2,而-2≠-2+4,不是“友好方程”；②3x=-4.5,解得x=.而=-4.5+3,是“友好方程”；③,解得x=-2,-2≠-1+,不是“友好方程”；故答案是：②；（2）方程3x=b的解为x=.所以.解得b=-；（3）∵关于x的一元一次方程-2x=mn+n是“友好方程”，并且它的解是x=n，∴-2n=mn+n，且mn+n-2=n，解得m=-3,n=-.
18.【解析】(1)由定义规则可得：原式=-3×3-2×(-2)=-5.
(2)由定义规则原方程可化简为：(2x-1)+3(x+1)=7,解得x=1；
(3)已知等式化简得：2kx+3x=5,即(2k+3)x=5,解得x=,由x是整数可得2k+3=1或2k+3=5,
解得k=-1、-2、1或-4.
19.【解析】(1)由题意得：g(x)=2x；(2)由题意得：g(x)=6x-14,由g(x)=10，得6x-14=10,解得x=4；
(3)由题意得：g(x)=2(a-3)x-8=(2a-6)x-8,由g(x)=-2x,得(2a-6)x-8=-2x,整理得：(a-2)x=4，∵方程有正整数解，∴a-2≠0,可得x=,∵a为整数，∴a-2=1或2或4，∴a=3或4或6，∵f(x)是二次多项式，∴a-3≠0,
即a≠3,∴a=4或6.
20.【解析】(1)∵x=-1时，代数式6mx3+2x的值为0，∴将x=-1代入，得-6m-2=0，解得m=,
∵y的方程2my+n=5-ny+m的解为y=2,∴将y=2，m=代入，得,解得n=2，∴
(2)由(1)知，m=，n=2，则[-]=[] =-2